3 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 7

4 предылущего параграфа это соотношение доказано с помощью оператора набла. 11.142. Доказать,что в соленондальном поле поток вектора через замкнутую поверхность, не содержащую внутри особых точек, равен нулю. Проверить соленоидальность следующих полей: 11 143 а (хзу+ уз)1+ (хз ху2)) 11 144 а ху21+ х2у) (х2+ уз)г)с 11.145. н = — 1+ — 3— у . (х+ у) 1пг 1с.

уг хг ху 11.146. а = + х( — у» (х2 — у~)г»с Г 2 + 2 (х2 .» у2)З/2' 11.147'. Доказать, что в соленоидальном поле поток вектора полн через поперечное сечение любой векторной трубки (определенный в одном и том же направлении) сохраняет постоянное значение. Гл. 11. Векторный анализ 40 1с 1 хэ+ щ+ «1с Йг а = дгвс1 — = Й йтас1 2 2 2312 3' х2 + у2 + «2 !х + у + « ) г Но зто — вектор силы пригн кения.

Действительно, он направлен к центру притяжении, поскольку — г/г — единичный вектор радиус-вектора точки Р(г),направленный к началу. координат, а его модуль равен Цг, 2 т.е. обратно пропорционален квадрату расстояния от центра притнжсг ния. Покажем, что с1!га = — асс!1г — =- О. Имеем: г3 эс 7' (х2 + у2 + 2)312 ' да, х« + у2 + «2 — Зх« у« + «2 — 2«2 (т« + у2 + «2)3/2 г3 Аналогично, да, х« + уа — 2«2 = = — lс д« г3 да, х«+ «2 — 2у« — — эс и потому — '+ — + — = — — (1У +« — 2х )+(х +« — 2У )+(«~+12~ — 2«2)) =О. дх ду д«г3 Итак, поле сил тяготении дапласово. 1> 11.148.

Доказать, что плоское векторное поле, потенциалом ко- тарОГО СЛужИт фуНКцнц и =!ПГ (Г = „ээХ2 + уз), ЛаПЛаСОВО. 11.149*. Для гармонических в области С функций и и ю дока- зать следующие формулы Грина: Л" дю а) Я и — сэо =- (Пгас! и, Пгас! и) с)о У дп Ь' С (первая формула Грина), б) и — — пэ — с!о = О 5 (вторая формула Грина), П ример 5. Показать, что потенциал поля сил тяготения, возникающего в пространстве, скруп аюшем некоторую точечную массу, равен 1сээг !й > 0 -- коэффициент пропорциональности) и что поле сил тнготснин лапласово. сэ Поместим начало координат в центре притлжения. Тогда 3 5.

Првьюненнс криволинейных координат в векторнолг анализе 41 й' д(ию) в) ~) г)а = 2 (Кгаг)и, Кгас)иг) гги з.г ди у и (третья формула Грина). Являются ли гармоническими следующие функпии: 1 1 11.150. и = — = г. / г+ 2 11.151. и = т — х = ~/хг + у2 — х 11.152. и = Ах+ Ву+ С.

11.153. и = Ахг + 2Вху + Суг. 11 154 и = Ахз + ЗВх2у+ ЗСхуг 1 Вгуз 11.155. и = Ах+ Ву+ Са+ В. 11.156. и = аых + аггуг + аззл~ + 2аггху + 2аг эха + 2агзул. 11.157. и = агых + агггу' + азззх + Загггх у + Заызх х + з з 3 2 2 + Загггхгу + Заггзу а+ Загззхх + Загззух + баггзхух. . г г 2 2 3 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 1. Криволинейные коорлинаты.

Основные соотношения. В пространстве задана система координат, если каждой точке Р поставлена в соответствие тройка чисел дг, дг, гуз, причем различным тройкам чисел отвечают различные точки пространства. Числа дг дг, дз называют коордвиатаии (или криеолинебнылгв координапгалгв) точки Р = Р(цг, дг, дз). Наиболее употребительными являются следующие системы координат: 1) Декартова прямоугольная система координат. Здесь цг — — х— абсцисса точки Р, дг = у — ордината и дз — — л — аппликата. 2) Нилинлрнческая система координат.

Здесь за дг принимается расстояние т от точки Р ло оси л, ггг —— т (О ( т < +со), ог = гр — — угол, составленный проекцией ралиус-вектора ОР на плоскость Оху с положительным направлением оси Ох (О < уг < 2п), а дз — — л — аппликата точки Р. При этом цилиндрические коорпинаты связаны с лекартовыми прямоугольнымн координатами при помощи формул х = тсоазг, гу = тагпуг, л = л и, обратно, у т = х/х~+ уз., слчг = —.

х 3) Сферическая система координат. Зпесь дг = т --- длина радиус- вектора точки Р(0 ( т < +со), уг —— 0 — угол мсжлу положительным направлением оси Ол и рапиус-вектором ОР тачки Р(0 ( д < и) '), ) Иногла за координату уг сферической системы принимают угол между ралкус-пектором ОР к плоскостью Осу (см. Часть 2, гл. 9, 1 2). Гл. 11.

Векторный анализ 42 Чз = у — угол между положительным направлением оси Ох и проекцией радиус-вектора ОР на плоскость Оху (О < у ( 2х). Имеют место формулы: х = гз!пйсоадд, у = га!пуз!пЧд, г = гсоай и, обратно, г — »г», д= ': у Линия, вдоль которой изменяется только одна координата Чы называется координатной Чылинией, а единичный касательный вектор к этой линии, направленный в сторону возрастания, Чз — единичным ноординатнььм оргпом ед, в точке Р (Чоы Чг, Чз). Аналогично определяются Чг- и Чз-пинии и единйчные орты е „е,. Если векторы ед,, е„, е„попарно ортогонадьны в любой точке простРанства, то соответствУющаЯ система кРиволинейных кооРдинат Чм Чг, Чз называется ортогональной.

Пусть Р (Чы Чг, Чз) — произвольная точка пространства, Р (Чз + ЬЧы Чг, Чз) — точка, лежащая на Чмпинии точки Р, и ~ РР, !— длина дуги РР,. Тогда число !РР,! Хд = !пп дд1-~о |зЧ, называется коэффициентом Ламе координаты Чд в точке Р. Анадогично опРеделЯютсЯ коэффициенты Ламе Ьг и Ьз кооРдинат Чг и Чз.

Если точка Р(х, У, г) имеет кРиволинейные кооРдинаты Чд = Чд(х у~ г), Чг = Чг(х, у|а)~ Чз = Чз(х, у, з), то дифференциалы радиус-векторов Йгд„координатных линий и дифференциалы их дуг Йзд„ опредедяются с помощью равенств .Вх,ду дг Йгд„— — 'д — ЙЧ, + ! — ЙЧ„+ !г — ЙЧ„= |,„ед„ЙЧ„, ВЧ„ВЧ»» В1„ ЙЧ» = В» ЙЧ» (о = 1, 2, 3), где |, — коэффициенты Ламе.

Множество точек Р(Чм Чг, Чз), длЯ котоРых одна из кооРдинат постоянна, называется координатной яоверхностпью. Дифференциалы площадей координатных поверхностей определяются по формулам Йод, = |э| зЙЧгйЧз Йод~ |п|зйЧзЙЧЗ Лодд = | д|гйЧдЙЧг а дифференциал объема Йо = | з|г|зйЧдЙЧгйЧз. З 5. Применение криво.цинсйных координат в векторном анализе 43 Найти вид координатных линий и координатных поверхностей и построить их в произвольной точке для следующих случаев: 11.158. Для декартовой прямоугольной системы координат.

11.159. Для цилиндрической системы координат. 11.160. Для сферической системы координат. Вычислить козффициснты Ламе: 11.161. В декартовой прямоугольной системс координат. 11.162. В цилиндрической системе координат. 11.168. В сферической системе координат. Найти дифференциалы дуг координатных линий, дифференциалы площадей координатных поверхностей и дифференциал объема: 11.164. В декартовой прпмоугольной системс координат. 11.165. В цилиндрической системс координат. 11.166. В сферической системе координат.

2, Дифференциальные операции векторного анализа в криволинейных координатах. Указанные операции определнются следующими формулами: 1 ди 1 ди 1 ди ради = — — ец, + — — е, + — — ец„ г',1 дцй ц' 12 дЧЗ ц' Аз доз 1 г д д д айка = ( — (г гг Зац,) + — (Агйзац,) + — (Е~г Зацц) ц1 дЧ ' цц дЧз (здесь а = ацнец, + ац,ец, +а„,е„), 1 ггд ГО1а — ( (г Зац ) (г Зац )) Ец + ( (г!ац ) 1213 дЧЗ дЧ3 У!13 дЧ3 д — — (г За )) Е + — ( (г.за ) — — (г.га, ) Е ., д . цц ) цц ц У ( д м д е цц~ Для цилиндрических координат т, Чз и 2 найти выражения: 11.167. 8гац) и.

11.168. гзи. 11.169. йиа. 11.170. го1 а. Гл. 11. Векторный анализ Для сферических координат г, д, у найти выражения: 11.171. Пгаг( и. 11.172. Ьи. 11.173. Жч а. 11.174. го1 а. П р и м с р 1. Перейти к цилиндрическим координатам в выражении а 6 цз — *) — Й* Ю г ° т...., ° ,.. . у - *~ ~ М = .,*. ге„— ге, а= ~/г~ + з' По формулам, полученным при решении задач 11.169 н 11.170, находим: 1 / д(га„) да„да,'1 Йча= — ( + — +г — ) г (, дг д~р дз ) 1 ( 2г(гт + гз) — гз (г2 + зз) — зх '1 2зт (гз + зз)зуг (гг + гр!я ) (гг + г)з!з ' ' 1 /д(га„) да„'1 2гз + — ( — ~ — — )е,=— ее. ~> ° (, д. др) ' (гз+.т)Ю ' 11.175.

Вывести формулы: 1 д(АзУ,„) 1 а) дЫе, = ~; б) тосе„= — (Пгаг(Ь„е ). 1 2 3 Чг Ь, 11.176. Используя формулы, выведенные при решении задачи 11.175, найти Жч а и гое а для единичных координатных векторов цилиндрической системы координат: а) а=е,;б) а=е„;в) а=е,. 11.177. Решить задачу, аналогичную 11.176, длп сферической системы координат: а) а=е„;6) а=ее;в) а=е„. 11.178. Найти все гармонические функции вида: а) и = у (г); б) и = у'(~р); в) и = у"(з) (г, ~а, з — цилиндрические координаты). 11.179.

Найти все гармонические функции вида: а) и = ~(г); 6) и = ДО); в) и = У'(у) (г, д, ш сферические координаты). 5. Применение криволинейных координат в векторном анализе 45 11.180. Перейти к сферическим координатам в выражении ска2жу(зг — тг — у') дярного поля и = ' 2 2 и найти и, Егв(1 и и 'ь)ги. г+,г 11.181. Перейти к цилиндрическим координатам в выражении 2т.уз+ гтг уг) скалярного полн и = ' ' и найти и, Егас)и и '72и. (т2 + у2 11.182.

Перейти к сферическим координатам в выражении вск) юр = й*,ы ' .~- У' .~ *' 1ь183. П Р й* Р"" "'" """Рд" " 'Р векторного поля а = тл + уз1 — зх/тг + уЪ и найти а, еП)та и го1 а. 3. Центральные, осевые и осесимметрические скалярные поля. Скалярное поле называется центральным, (сли функция поля и = и(Р) аависит только от расстояния точки Р поля от некоторой постоянной точки — его центра. Если начало координат поместить в центр поля, то функция и примет внд При исследовании таких полей целесообразно пользоватьсн сферическими координатами.

Поверхностлми уровня такого поля будут сферы с центром в центре поля, и потому эти поля часто называют с(рери (ескими. Скалярное поле называют осевым, если функция поля и(Р) зависит только от расстояния точки поля Р от некоторой оси. Если приннть эту ось за ось Оз и обозначить расстояние от точки Р до нее через г, то функция и примет вид и = и(г) = и1.,/х~ + уг). При исследовании таких полей целесообразно пользоватьсн цилиндрическими координатами. Поверхностями уровня таких полей являются круговые цилиндры, оси которых совпадают с осью полн.