3 часть (Ефимов А.В., Поспелов А.С. - Сборник задач по математике для втузов), страница 11

гк) при 77 = — 1 иа с) получаем бесконечную геометрическую прогрессию!о знаменателем -г: 74 Гл. 12. Ряды н нх применение а Рассмотрим сначала следующее преобразование данной логарифмиче- ской функции: 5 !п(2 — бя) = !п(2 — 5(я+3) +15) = 1п17 1 — — (я+3) 17 = 1п17+ !и 1— 17 5 Воспользуемся разложением г) для !п(1+ и), полагая и = — — (з + 3). 17 Так как разложение г) имеет место при ~и! < 1, то наше разложение 5 будет иметь место при — !г + 3~ < 1.

Таким ооразом, 17 !п(2 — бг) =1п17+ ~~~ ( — 1)вч' ~ — — (я+3)/ 1, 17 ) п в=1 = !п17 — ~ ~~ — ), (а+3! < —. / 5 л " (я + 3)" 17 ~,17) и г я=1 Заметим, что на действительной оси в точке х = 2/5 ряд расходится (гармонический ряд), а в точке х = — 32/5 по признаку Лейбница сходится. Следовательно, ( — 32/5, 2/5) — промежуток сходимости на действительной оси. с Часто для разложения функций в ряд удобно пользоваться дифференцированием или интегрированием известных разложений, а при разложении рациональной дроби разложить ее на простейшие.

Пример 5. Получить разложение г) для функции /(з) =!п(1+ я). < Имеем где путь интегрирования не охватывает точку г = — 1. Заметим, что 1 функция — при !г1~ < 1 является суммой геометрической прогрессии 1+ г! со знаменателем -г1, т.е. причем, если )г!! < )г! < 1, то ряд сходится равномерно и его можно 3 3. Степенные ряды 75 дочленно интегрировать. Позтому для з таких, что ~я~ < 1, имеем: 0 и-~-1 =Е(- ).— ' п+1 Пример 6. Разложить в рнд по степеням з функцию ~з — 2 + 19 (з — 3)з(2я + 5) а Разложим 1'1з) на элементарные дроби. Имеем П)= + 1 2 2з+ 5 (я — 3)з По формуле суммы геометрической прогрессии 1 1 1 1 „ /2я1" 5 — — — (-), (я! < 3. 2 2 1 2 з — 3 31 ~ 3 3 3 =0 Замечал, что я — 3) (я — 3)з ' и учитывая утверждение б) задачи 12,163, получим 2 2 пап ' (, 3)з-ЗЕ Зп (т! = 3.

1 2 Складывая ряды длн и, имеем 2 + 5 ~ - З)з ' и — 0 1п(1+ )=~ Г 51 1+„ 2 и (п+ 1)яп Зх- 3 п=о 00 и ~~п 1 1)пз.! п п=1 76 Гл. 12. Ряды и их применение Пример 7. Разложить в ряд по степеням х (х Е !3) функцию 1' з!пи у(х) = / — с!и. о га-и и а Зная разложение функции зьчи = у ( — 1) ' (см. разложение (2/с + 1)! в)), имеем и ь а (2/с+1)!' а потому, используя свойство в) задачи 12.163, получаем к ОЭ а ее 1 — '- -"1' ° "-, гь .2ь~-1 ""- Е( ') ~ (2 + )! Е( ') (2 + (2 +1) о а=о о а=о хй!3.

с Используя теорему Тейлора (формулу Тейлора с остаточным членом в какой-либо форме для функций действительной переменной), разложить в ряд по степеням х следующие функции, проверив тем самым справедливость соответствующих соотношений из а)-е): 12.203. е'. 12.204. соэ х. 12.205. э!пх. 12.206. (1 + х) . 12.207. 2'. 12.203.

яп (х — — ). 12.209. соэг х. 4/ Написать первые три ненулевых члена разложения в ряд по степеням х следующих функций: 12.210*. 1дх, 12.211. —. 12.212. 1Ьх, 12.213. е'соэх. соэ х Используя разложения основных элементарных функций а)— ж), а также возможность почленного дифференцирования и интегрирования степенных рядов, разложить функции в ряд по степеням х и указать области сходимости полученных рядовг): 12.214. е ' . 12.215. япг х 12 216.

г. 12.217. 4 + хг 3 + 4х ) См. также задачи 12,289-12.294. я 3. Степенные ряды 77 12 218 ~У27 — ж 12.219.. 12.220*. 1 Зв+ 1 ' Л+яг' ( -2)' 3 12.221.. 12.222. (1 — я)е г'. 12.223. ОЬ ж 1 + я 2яг' 12.224. О1п2я+2ясоя2ж 12.225. яш2ясоя2ж 12.227. 1п(яг+ Зя+ 2). 12.226. 1п(1+ я — 222). 12.228. 1п (я + Л + яг) 12.231.

е О 7~Й1. о ЯСОЯ — Я1П2 12.233*. 12.229. агс18 ж 12.230. агсяЗп ж у я1пи 12.232. / — Ит~. П о вяшя — 1+ соя я 12.234*. Найти области сходимости указанных рядов и их суммы: 12.247. ~~> ( — 1)"(и+1)(п+2)2". 12.248. ,'> п(я+1)". п=р п=1 ОЭ 12.249. у ' . 12.250. ~~~ (-1)па г" ~вгп, а ~ О. п+1 =о =о 12.251.

~) ( — 1)п(и+ 1)я~", п=р Разложить функции в ряд по степеням я — яр и определить области сходимости полученных рядов: 1 12235 яз 2яг 5я — 2, во= 4 12236. —, во=2 1 — я 1 12.237., яо = 34. 1 — я 1 12.238., яр = 3. яг — 62+ 5 12.239. 1 яо = — 4 12 240 ~Уг, во = 1. яг+ Зя+ 2' 12.241*. —, яр = 2. 12.242. еп 4~+1, яо = 2. 2) 0 12.243. Оег' ', яо = 1. 12.244. яш(яг+42), вр = — 2 12.245*. 1п (52 + 3), яр = 1. 12.246. 1п(яг+ бе+ 12) яю = 3.

78 Гл. 12. Ряды н их применение 3. Теорема единственности. Аналитическое продолжение. Сформулируем теорему единственности. Если функции у (я) и д(я) аналитичны в области Р и если на множестве р зличных точек (тв)„ен, имеюсаем предельную точку а с Р, выпвлнлютлсл равенства у(яв) = д(св), п б !ч', тв 1(я) = д(я) всюду на Р. Пусть функция У(х) аналитична в области Р, а функция д(я) аналитична в области Р~ такой, что пересечение Р П Р~ —— Рз содержит последовательность различных точек (тв)вен, имеюшую по крайней мере одну предельную точку а Е Рт. Пусть, кроме того, у(х) = д(я) длн х Е Рт. Тогда функция у(я) длл я Е Р, д(я) для я с Р1~Р2 называется аналитическим продолжением функции у(я) с области Р на область Р~~Рт. П р и м е р 8. Доказать, что если функция у (з) непрерывна в области /1 ! ( — 1)" Р, содержашей точку я = О, и если у ~ — ) = — длн и = по+1, по + 1,п) п + 2, ..., то у'(я) не аналитична в области Р (по > 1 — целое).

а Так как у(с) непрерывна в Р, то на отреаке действительной оси она 1 1 также непрерывна, а в соседних точках х = — и х =, п > пв, она и и+1 принимает значения разных знаков. Позтому сушествуют точки х„б ( 1 11 б, — ), в которых 1(х„) = О, причем х„-+ О. Следовательно, !и+1 и) в точках х„б Р функции у(я) совпадает с аналитической функцией д(а) = О, а так как у(я) ф О, то у(я) не может быть аналитической функцией. > Пример 9. Доказать, что функция нвляетсн аналитическим продолжением функции у(с) = 1 + 2я + 2'я' + ... + 2ь як + ... 0 Определим область сходнмости рядов длл д(я) и у(я).

Имеем — !г<" !пп" = — (! <1 с~в-~-1 3 3. Степенные рлдьг т, е, ряд длп д(») гходитсп в области Рг — — (»~ Вс» ( 1гг2) (см, задачу 12 143), а рял для ?(») — в области Рт = ( ~ (»! < 1/2). Определим суммы »тих рядов в указанных областях; 1 гг д( ) ( 2 ''') — (1,) ) -1 1 †» 1 г(») = 1 — 2» Так как Р» С Рг и в ооласти Р» справедливо тождество?(») = д(»), то функция д(») лвлястся аналитическим продолжением функции ?(») с области Р» на область Рг.

о. 12.252. Доказать, что при любом а ф О и (а! ~ 1 функциональное уравнение у (») = у'(а») нс имеет решении, аналитического в точке» = О и се окрестности, отличного от у(») = — сопя1. 12.253*. Доказать теорему единственности в том случае, когда гг» е Р д(») = О, т. е. доказать следующую теорему: если аналитическан в области Р функция ?'(») обрашаетсн в нуль в точках (»ь)век, лсжаших в области Р и таких, что )1пг»ь = а Е Р, то Ь-гсо Ч» Е Р у (») = О. 12.254. Будет ли аналитической в точке» = О и ее окрестности функция ?(»), осли она при всех целых п ) ио удовлетворяет гг11, лп, соотношению ? ~ — ) = яш — '? 1п) 2 Найти аналитические в окрестности точки» = О функции у'(»), удовлетворяющие условиям: /1'1 12.255.

у' ( — ) =, п Е И. п 2п+ 1' 12.256.,? — =,? -- = —, п б Я. (» — 1)" 12.257. Показать, что функция д(») = ~ , является — ~ (2,). гг=о аналитическим продолжением функции у(») = — ~ ( — ) . Найти л=е аналитическое выражение этих функций в общей части областей сходимости рядов. Гл. 12. Ряды и их применение 80 12.258. Показать>что функция (з 1 21)п д( ) = 1п(2+ 27) + ~ ( — 1)"~~ п=1 является аналитическим продолжением функции )'(г) = ОЗ п пз (-1) —. Найти аналитическое выражение этих функций в и п=! обшей части областей сходимости рядов.

94. Применение степенных рядов 1 1 е=~ —,+ 8=О ' 8= -71 Оценим остаток 1 1 8=8->-1 1 1 ~ 1 < — з (и .1 1) й и> ~ (71 1. 1)ь-и 1 — — и->-1 Ь=п->-1 1 и+1 и. 1 п)71 п+1 п Следовательно, равенство е = ~ — имеет предельную абсолк>тную по8=О 1 1 грешность, равную —. Найдем к, для которого — < 0,00001, нли и!и П>71 8 п!71 > 100000, Получаем п > 8. Вычисляя 2+ ~~ —, и округляя, находим 7=2 ответ с требуемой точностью е = 2, 71828. с 12.259.

Определить, сколько нужно взять членов в разложении функции !п(1+ х),чтобы вычислить 1п2 с точностью до 10 >. 1. Вычисление значений функций. Разложения а) — ж) пз З 3 позволяют получать значения соотвстствуюших функций в заданных точках с любой точностью. Пример 1. Найти число е с точностью до 10 8. а Подставив х = 1 в разложение функции е', имеем з 4. Прнмененне отененных рядов 81 12.260. Определить, сколы1о нужно взять членов ряда в разложении функции соз х, чтобы вычислить соз 10' с точностью до 10 ".

12.261. С какой предельной абсолютной погрешностью можно вычислить 1/5 ь/36 = (32+ 4)'/5 = 2 1+ -) ) взяв три члена биномиального ряда? .3, 5 12.262. При каких х многочлен х — — + — дает значение б 120 функции вт х с точностью до 10 4? 12.263.

!!авива предельная абсолютнан погрешность равенства х х2 и2+х = и+— 2и 8из при вычислении ь/5? Используя соответствующие разложения, вычислить указанные значении функций с точностью до 10 4: 1 Я 12.264. ь/ею 12.265. —. 12.266. сйп —. е 5 12.267. е!п12'. 12.268. соз1. 12.269*. з!к!000. 12 270* Л20. 12 271 ъ/Г5.