Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу, страница 6

|c − xn | < ε,2 2и последовательность {xn } имеет своим пределом число c. Достаточность доказана. ∗Теорема доказана.Применяя общее определение монотонной функции к последовательности (а последовательность есть по определению (числовая) функция натурального аргумента), приходимк понятию монотонной последовательности. В качестве примера рассмотрим определениенеубывающей последовательности: последовательность {xn } называется неубывающей,если xn 6 xn+1 , n = 1, 2, .

. . .Теорема (о пределе монотонной последовательности). Монотонная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она ограничена.Доказательство. Необходимость. Требуется доказать, что если монотонная последовательность сходится, то она ограничена. Мы знаем однако, что это утверждение справедливо и без предположения о монотонности последовательности (см. выше теорему обограниченности сходящейся последовательности). Необходимость доказана.∗ Достаточность. Требуется доказать, что если монотонная последовательность ограничена, то она имеет предел.

Рассмотрим это утверждение для неубывающей последовательности {xn }. Ограниченность снизу здесь не имеет значения: всякая неубывающая последовательность ограничена снизу, например, числом x1 . Важна ограниченностьсверху. Поскольку непустое множество элементов последовательности ограничено сверху,то это множество имеет точную верхнюю грань M.

Пусть задано ε > 0. Для точнойверхней грани M выполнены, как известно, два условия:1) xn 6 M для n = 1, 2, . . . ;2) существует элемент xN последовательности {xn }, для которого xN > M − ε.Для элементов последовательности xn , у которых n > N неравенство xn > M − εбудет выполнено и подавно, т.к. данная последовательность не убывает, и xn > xN .Таким образом, при всех n > N имеем такое двойное неравенство:M − ε < xn 6 M.5Следовательно, M − ε < xn < M + ε, что равносильно неравенству |M − xn | < ε.

Т.к. последнее неравенство выполняется при всех n > N, то последовательность {xn } сходится(к числу M ). Для неубывающей последовательности достаточность доказана; для невозрастающей последовательности доказательство аналогично. Достаточность доказана. ∗Теорема доказана.Поскольку в этой теореме представляет интерес лишь утверждение о достаточности, причем для неубывающей (возрастающей) последовательности важна ограниченностьсверху, а для невозрастающей (убывающей) последовательности — ограниченность снизу,то обычно используют два следствия из рассмотренной теоремы: если последовательностьне убывает (возрастает) и ограничена сверху, то она имеет предел, а если последовательность не возрастает (убывает) и ограничена снизу, то она также имеет предел.n1. Докажем, что эта последоПример.

Рассмотрим последовательность xn = 1 +nвательностьпредел. Для этого рассмотрим вспомогательную последовательностьимеетn+11yn = 1 +и докажем, что она убывает. В самом деле,nyn=yn+111+nn+1 : 1+=1n+1n+2=11+ 2n + 2nn+1·n+1 n+1·nn+2n+1·n+1=n+2n+1.n+2Применим неравенство Бернулли:n+11n+1ynn+1n+1= 1+ 2> 1+ 2>··yn+1n + 2nn+2n + 2nn+21n+1> 1+= 1, т.е. yn > yn+1 .·n+1n+2Таким образом, последовательность {yn } убывает.

Очевидно, она ограничена снизуn+11(например, нулём). Поэтому существует lim 1 += e. Таким же будет и пределn→∞nисходной последовательности {xn } :lim xn = limn→∞n→∞11+nnn+1n+1lim 1 + n11 + n1 = e.= lim= n→∞1n→∞1+ nlim 1 + n1n→∞Приближенное значение e таково: e ≈ 2, 718281828459045, причем верны все написанные знаки. Запомнить их нетрудно: после 2,7 пишем два раза год рождения писателяЛ.Н.Толстого, а затем углы равнобедренного прямоугольного треугольника.6кафедра «Математическое моделирование»проф. П.

Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 5.Гиперболические функции, их свойства и графики. Два определения предела функции в точке (предел по Коши и предел по Гейне).Теорема об эквивалентности этих определений. Геометрическая иллюстрация предела. Предел функции в бесконечности.

Бесконечныепределы. Единственность предела функции. Локальная ограниченность функции, имеющей конечный предел. Теорема о сохранениифункцией знака своего предела. Предельный переход в неравенстве.Теорема о пределе промежуточной функции.ОЛ-1, пп. 7.1, 7.3, 7.4, 7.8При решении многих задач оказываются полезными гиперболические функции:ex + e−x— гиперболический косинус;сh x =2ex − e−xsh x =— гиперболический синус;2sh xсh xth x =, cth x =— гиперболические тангенссh xsh xи котангенс соответственно.1Свойства гиперболических функций похожи на соответствующие свойства тригонометрических функций. Например,sh(x ± y) = sh x · сh y ± sh y · сh x,сh(x ± y) = сh x · сh y ± sh x · sh y.Из последнего равенства при x = y в случае знака минус получаемсh2 x − sh2 x = 1.Пусть функция f (x) определена в проколотой окрестности точки x0 .

Число aназывается пределом функции f (x) при x → x0 , если для любого ε > 0 существуетположительное число δ = δ(ε) такое, что если 0 < |x − x0 | < δ, то |f (x) − a| < ε.Это — определение предела по Коши. Определение предела по Гейне выглядит так.Пусть функция f (x) определена в проколотой окрестности Ů (x0 ) точки x0 .

Числоa называется пределом функции f (x) при x → x0 , если для любой последовательности{xn } точек из Ů (x0 ), для которой lim xn = x0 , выполняется равенство lim f (xn ) = a.n→∞n→∞Эти определения эквивалентны, т.е. с их помощью вводится одно и то же понятие. ∗Чтобы убедиться в этом, требуется доказать два утверждения.Пусть сначала a является пределом функции f (x) при x → x0 в смысле определения по Коши.

Проверим, что при этом будут также выполнены требования определенияпо Гейне. Пусть задана последовательность точек {xn }, все элементы которой лежат впроколотой окрестности Ů (x0 ), и пусть lim xn = x0 . Если задано ε > 0, то в соотn→∞ветствии с определением предела по Коши найдется δ = δ(ε) > 0 такое, что для всехx ∈ Ů (x0 ), для которых |x − x0 | < δ, выполняется неравенство |f (x) − a| < ε. Посколькуlim xn = x0 , то найдется номер N такой, что при всех n > N выполняется неравенствоn→∞|xn − x0 | < δ, а тогда |f (xn ) − a| < ε.

Таким образом, при n > N выполняется неравенство |f (xn ) − a| < ε, т.е. lim f (xn ) = a, и число a является пределом функции f (x)n→∞при x → x0 в смысле определения по Гейне.Предположим теперь, что a является пределом функции f (x) при x → x0 в смыслеопределения по Гейне.

Доказательство того, что a будет также пределом в смысле определения по Коши удобнее провести методом от противного. Если требования определенияпо Коши не выполняются, то найдется ε0 > 0 такое, что при любом положительномδ существует число x ∈ Ů (x0 ), для которого |x − x0 | < δ, однако |f (x) − a| > ε0 .Зафиксировав такое ε0 , при каждом n = 1, 2, . . . подберем такое xn ∈ Ů (x0 ), что1|xn − x0 | < , и при этом |f (xn ) − a| > ε0 . Из последнего неравенства следует, чтоna не является пределом последовательности {f (xn )} при n → ∞. Чтобы доказать,что lim xn = x0 заметим, что для любого положительного числа ε при некоторомn→∞1натуральном N выполняется неравенство< ε.

Ясно, что тогда при любом n > NN2116< ε, т.е. |xn − x0 | < ε. Это означаетnN, что lim xn = x0 . Таким образом, xn → x0 при n → ∞, и в то же время {f (xn )}n→∞не стремится к a при n → ∞. Полученное противоречие означает, что доказываемоеутверждение справедливо. Эквивалентность двух определений предела доказана. ∗Если a есть предел функции f (x) при x → x0 , то пишут a = lim f (x), иливыполняется также неравенство |xn − x0 | <x→x0f (x) → a при x → x0 .

По ходу доказательства эквивалентности двух определенийпредела мы воспользовались тем, что для любого (сколь угодно малого) числа ε0 > 011найдется натуральное N такое, что< ε0 , т.е. N > . Справедливость этогоNε0утверждения следует из аксиомы Архимеда: для любого вещественного числа существуетпревосходящее его натуральное число. ∗ Опираясь на существование точной верхней граниу всякого непустого ограниченного сверху множества действительных чисел, можно доказать аксиому Архимеда. В самом деле, пусть существует действительное число E такое,что n 6 E для любого n ∈ N (здесь E – заглавная греческая буква эпсилон; эту буквучасто используют для обозначения «сколь угодно большого числа», в отличие от буквыε, служащей для обозначения «сколь угодно малого числа» (например, в определениипредела)). Тогда N — непустое ограниченное сверху подмножество R. Следовательно,у этого множества существует точная верхняя грань n0 .

Для числа n0 выполнены дваусловия:1) для любого n ∈ N выполняется неравенство n 6 n0 ;2) для любого ε > 0 существует n ∈ N такое, что n > n0 − ε.Взяв ε = 1, получим, что n > n0 − 1, т.е. n + 1 > n0 , а т.к. n + 1 — натуральноечисло, то мы получаем противоречие с первым условием. Таким образом, точная верхняягрань n0 не существует, и множество N не является ограниченным сверху, т.е. аксиомаАрхимеда справедлива. ∗На рисунке показана геометрическая иллюстрация предела: чтобы по заданному ε > 0подобрать δ = δ(ε) > 0, о котором говорится в определении предела (по Коши), достаточно взять минимальное из чисел δ1 и δ2 .Рассмотрим теперь функцию f (x), определенную в некоторой окрестности точки +∞,т.е.

на интервале (x0 , +∞). Число a называется пределом функции f (x) при x → +∞,если для любого ε > 0 существует число E (не меньшее x0 ) такое, что при всех x > Eвыполняется неравенство |f (x) − a| < ε. Это — определение по Коши. Можно сформулировать и определение по Гейне: число a называется пределом функции f (x)при x → ∞, если для всякой последовательности точек {xn } интервала (x0 , +∞) изусловия lim xn = +∞ вытекает равенство lim f (xn ) = a.

Эти определения эквиn→∞n→∞валентны; доказательство проводится так же, как и в случае x → x0 . Обозначение:a = lim f (x), или f (x) → a при x → +∞.x→+∞Следует отметить, что в теории последовательностей мы не рассматривали ситуацию3из последнего определения, когда lim xn = +∞. Говорят, что последовательность {xn }n→∞имеет пределом +∞, если для любого числа E существует номер N такой, чтопри всех n > N выполняется неравенство xn > E.