Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу, страница 19
Описание файла
PDF-файл из архива "Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 19 страницы из PDF
Тогда если в соответствующей проколотой окрестности (x0 − δ) ∪ (x0 + δ) функцияf (x) имеет вторую производную, которая меняет знак при переходе через точку x0 , тоточка x0 есть точка перегиба функции y = f (x).Доказательство. Пусть для определенности вторая производная f 00 (x) положительнапри x ∈ (x0 − δ, x0 ) и отрицательна при x ∈ (x0 , x0 + δ). Тогда на (x0 − δ, x0 ) функцияf (x) выпукла вниз, а на (x0 , x0 + δ) выпукла вверх, т.е.
при переходе через точку x0направление выпуклости меняется на противоположное. Отсюда следует, что x0 — точкаперегиба функции f (x). Теорема доказана.Теорема (второе достаточное условие наличия точки перегиба). Пусть функцияf (x) трижды дифференцируема в точке x0 , причем f 00 (x0 ) = 0, f 000 (x0 ) 6= 0. Тогда x0есть точка перегиба функции f (x).Доказательство. Пусть для определенности f 000 (x0 ) > 0. Тогдаf 00 (x)f 00 (x) − f 00 (x0 )= lim.x→x0 − x − x0x→x0 −x − x0f 000 (x0 ) = limВыражениеf 00 (x)x − x0(x0 − δ1 , x0 ), δ1 > 0,внекоторойлевостороннейпроколотойдолжно иметь знак своего пределаf 000 (x0 ), т.е.а тогда (т.к.
x − x0 < 0) выполняется неравенство f 00 (x) < 0. Аналогичноокрестностиf 00 (x)> 0,x − x0f 00 (x) − f 00 (x0 )f 00 (x)= lim,x→x0 +x→x0 + x − x0x − x0f 000 (x0 ) = limиf 00 (x)> 0 при x ∈ (x0 , x0 + δ2 ), δ2 > 0, т.е. f 00 (x) > 0 при указанных x.x − x0Мы видим, что вторая производная f 00 (x) меняет знак при переходе через точку x0 . Попредыдущей теореме x0 есть точка перегиба функции f (x). Теорема доказана.При построении графика функции следует предварительно выяснить его характерныеособенности.
При этом можно руководствоваться, например, такой схемой.1. Найти область определения функции, выяснить, является ли функция четной, нечетной или периодической.2. Найти точки пересечения графика функции с осями координат. Определить интервалы, на которых функция сохраняет знак.3. Определить точки разрыва, выяснить характер разрывов, найти вертикальныеасимптоты.4. Исследовать поведение функции при стремлении аргумента к ±∞ и найти наклонные асимптоты.5.
Определить интервалы монотонности и найти точки экстремумов.6. Определить интервалы выпуклости, найти точки перегиба.√Пример. Пусть √требуется построить график функции y = ln(1 + 3 x). Здесь функцияопределена при 1 + 3 x > 0, т.е. при x > −1. Специальными свойствами, указанными впервом пункте приведенной выше схемы, данная функция необладает (про такую функцию√3говорят, что она «общего вида»).
Решая уравнение ln(1+ x) = 0 находим единственнуюточку x = 0 пересечения графика с осью абсцисс; функция отрицательна на интервале(−1, 0) и положительна на (0, +∞). Данная функция, очевидно, непрерывна всюду,5где она определена;lim ln(1 +√3x→−1x) = −∞. Прямая x = −1 является вертикальнойасимптотой. Далее,√√ln(1 + 3 x)= 0, lim ln(1 + 3 x) = ∞.limx→+∞x→+∞xНаклонных асимптот нет. По результатам проведенного исследования можем нарисоватьпредварительный эскиз графика функции.11√.· √331 + x 3 x2Сведения о производной можно занести в таблицу:Дифференцируем:y0 =x(−1, 0)0y 0 (x)++∞y(x) % возрастает экстремума нет(0, +∞)+% возрастаетДифференцируем еще раз:00y =1!0√√33 x2 (1 + 3 x)√3√x) + 132+33x=− √=− √√√ .333 x4 (1 + 3 x)29x x2 (1 + 3 x)22√(133x+Составляем таблицу для второй производной:8x−1, −27y 00 (x)−_y(x) выпукла вверх88−− ,0027270+не опред.точка^точкаперегиба выпукла вниз перегибаРисуем уточненный эскиз графика функции.y = ln(1 +6√3x)(0, +∞)−_выпукла вверх.