Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу, страница 8
Описание файла
PDF-файл из архива "Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 1 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "математический анализ" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 8 страницы из PDF
Следовательно, по теореме о пределе сложнойфункции g1 ([x]) → e и g2 ([x]) → e при x → +∞. Отсюда и из (3) по теореме о пределе промежуточной функции получаем первое из соотношений (2). Для доказательства второгоиз этих соотношений вновь применим теорему о пределе сложной функции:x−yy−1 1111= lim 1 += lim 1 +1+= e.lim 1 +y→+∞y→+∞x→−∞x−yy−1y−1Итак, справедливость обоих равенств (2) установлена, и теорема доказана.Замечание. Нетрудно убедиться, что утверждение теоремы о втором замечательномпределе равносильно равенству lim(1 + t)1/t .t→0f (x)Если в выражении limчислитель и знаменатель стремятся к нулю, т.е.
еслиx→x0 g(x)lim f (x) = lim g(x) = 0, то нельзя непосредственно применить теорему о пределе част-x→x0x→x00ного. В этом случае говорят, что мы имеем дело с неопределённостью вида . Вычисление0предела в этой ситуации называется раскрытием неопределённости. При этом в некоторыхслучаях может оказаться полезной теорема о первом замечательном пределе. Напримерsin 2x2 sin 2x3x2= lim ··· cos 3x = .x→0 tg 3xx→0 32xsin 3x3limПри вычислении предела степенно-показательного выражения u(x)v(x) могут встретитьсянеопределённости вида 1∞ , 00 и ∞0 .
Первую из них обычно удаётся раскрыть с помощьютеоремы о втором замечательном пределе. При этом используется следующее утверждение. Пусть x → x0 ; тогда, если u(x) → a, a > 0, v(x) → b, то u(x)v(x) → ab . Доказательством этого утверждения мы сейчас заниматься не будем.1→ ∞, иПример. Требуется найти предел lim (1 + sin x)1/x . Здесь 1 + sin x → 1,x→0x∞мы имеем дело с неопределённостью вида 1 . Раскрыть эту неопределённость можно,например, так: sinx x1lim (1 + sin x)1/x = lim (1 + sin x) sin x=e,x→0x→0т.к. выражение в больших скобках стремится к e по теореме о втором замечательномsin xпределе, а показатель степени→ 1 по теореме о первом замечательном пределе.x4кафедра «Математическое моделирование»проф.
П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 7.Бесконечно малые функции. Связь функции, ее предела и бесконечномалой. Свойства бесконечно малых функций. Бесконечно большиефункции, их связь с бесконечно малыми.ОЛ-1 п. 7.6Функция ϕ(x) называется бесконечно малой при x → x0 , если lim ϕ(x) = 0.x→x0Теорема (о связи функции, ее предела и бесконечно малой).
Равенство a = lim f (x)x→x0имеет место тогда и только тогда, когда f (x) = a + ϕ(x), где функция ϕ(x) бесконечномала при x → x0 .Доказательство. Необходимость. Пусть a = lim f (x). Требуется доказать, чтоx→x0f (x) = a + ϕ(x), где ϕ(x) − бесконечно малая функция при x → x0 . Обозначимϕ(x) = f (x) − a. Тогда из определения предела функции получаем, что для любого ε > 0существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что при всех x, 0 < |x − x0 | < δ, выполняется неравенство |f (x) − a| = |ϕ(x)| < ε.
Это означает, что lim ϕ(x) = 0, т.е. ϕ(x) бесконечноx→x0мала при x → x0 . Необходимость доказана.Достаточность. Пусть f (x) = a + ϕ(x), где функция ϕ(x) бесконечно мала приx → x0 . Тогда для любого ε > 0 существует число δ = δ(ε) > 0 такое, что при всехx, 0 < |x − x0 | < δ выполняется неравенство |ϕ(x)| < ε, а т.к. ϕ(x) = f (x) − a, тотакже и неравенство |f (x) − a| < ε. Отсюда следует, что lim f (x) = a. Достаточностьx→x0доказана. Теорема доказана.Рассмотрим свойства бесконечно малых функций.Теорема (о сумме бесконечно малых). Пусть функции ϕ1 (x), ..., ϕn (x) бесконечноnPмалы при x → x0 . Тогда их алгебраическая сумма±ϕi (x) также бесконечно малаi=1при x → x0 .Доказательство.
Очевидно, достаточно доказать теорему для n = 2, т.е. доказать,что бесконечно малой при x → x0 является функция ±ϕ1 (x) ± ϕ2 (x). Пусть заданоε > 0; из того, что ϕ1 (x) и ϕ2 (x) бесконечно малы при x → x0 получаем, чтосуществует число δ1 = δ1 (ε) > 0 такое, что при всех x, 0 < |x − x0 | < δ1 , выполняетсяεнеравенство |ϕ1 (x)| < ; существует также число δ2 = δ2 (ε) > 0 такое, что при всех21εx, 0 < |x − x0 | < δ2 , выполняется неравенство |ϕ2 (x)| < . Если δ = min(δ1 , δ2 ), то при2всех x, 0 < |x − x0 | < δ , имеем| ± ϕ1 (x) ± ϕ2 (x)| 6 |ϕ1 (x)| + |ϕ2 (x)| <ε ε+ = ε.2 2Отсюда lim (±ϕ1 (x) ± ϕ2 (x)) = 0, т.е.
функция ±ϕ1 (x) ± ϕ2 (x) бесконечно мала приx→x0x → x0 , и теорема доказана.Теорема (о произведении бесконечно малой величины на ограниченную). Пусть впроколотой окрестности Ů (x0 ) точки x0 заданы функции f (x) и ϕ(x), причем f (x)ограничена на Ů (x0 ), а ϕ(x) бесконечно мала при x → x0 . Тогда произведение f (x)·ϕ(x)есть бесконечно малая функция при x → x0 .Доказательство. Т.к. f (x) ограничена на множестве Ů (x0 ), то существует числоc такое, что |f (x)| 6 c при всех x ∈ Ů (x0 ). Далее, пусть задано ε > 0. Дляε(т.к. с > 0, то c + 1 6= 0) существует δ > 0 такое, что приположительного числаc+1ε.
Для указанных xвсех x, 0 < |x − x0 | < δ , выполняется неравенство |ϕ(x)| <c+1εимеем |f (x) · ϕ(x)| 6 c ·< ε. Поэтому lim f (x) · ϕ(x) = 0, и функция f (x) · ϕ(x)x→x0c+1бесконечно мала при x → x0 . Теорема доказана.∗ Замечание.В качестве примера на применение теоремы о связи функции,ее предела и бесконечно малой дадим другое доказательство утверждения о пределе частного двух функций. Посколькуlim f (x) = a и lim g(x) = b, тоx→x0x→x0f (x) = a + ϕ(x) и g(x) = b + ψ(x), где ϕ(x) и ψ(x) − бесконечно малые при x → x0 . Приэтом b 6= 0, и g(x) = b + ψ(x) 6= 0 в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Чтобыaf (x) af (x)=достаточно убедиться в том, что разность−доказать равенство limx→x0 g(x)bg(x)bбесконечно мала при x → x0 .
Имеемf (x) aa + ϕ(x) abϕ(x) − aψ(x)− =− =.g(x)bb + ψ(x)bb(b + ψ(x))Из теорем о произведении бесконечно малой величины на ограниченную и о суммебесконечно малых следует, что функция, находящаяся в числителе последней дроби бесконечно мала (при x → x0 ). Далее, lim b(b + ψ(x)) = b2 — это следует из упомянутой вышеx→x0теоремы о связи функции, её предела и бесконечно малой. Поэтому для положительногоb2числанайдется δ > 0 такое, что при 0 < |x − x0 | < δ выполняется неравенство2b2b2b22|b(b + ψ(x)) − b | < , т.е.
−< b(b + ψ(x)) − b < .2222Отсюдаb(b + ψ(x)) >b212, и 0<< 2.2b(b + ψ(x))bМы видим, что при 0 < |x − x0 | < δ функциявательно,bϕ(x) − aψ(x)b(b + ψ(x))1b(b + ψ(x))ограничена. Следо-есть произведение бесконечно малой (находящейся в числи-теле) на ограниченную функцию. Поэтому разностьx → x0 , и, следовательно, limx→x0f (x)a−g(x)bбесконечно мала приf (x)a= . Требуемое утверждение доказано. ∗g(x)b2Функция f (x), определённая в некоторой проколотой окрестности точки x0 , называется бесконечно большой при x → x0 , если lim |f (x)| = +∞.
Аналогично определяютсяx→x0бесконечно большие функции и при других предельных переходах.Теорема (о связи между бесконечно большой и бесконечно малой). Пусть функцияϕ(x) отлична от нуля в некоторой проколотой окрестности точки x0 . Эта функция бес1конечно мала при x → x0 тогда и только тогда, когда функция f (x) =являетсяϕ(x)бесконечно большой (при x → x0 ).Доказательство. Необходимость. Пусть ϕ(x) бесконечно мала при x → x0 , и пустьзадано (сколь угодно большое) положительное число E. Возьмём столь малое ε > 0,11; тогда> E. Т.к. ϕ(x) бесконечно мала при x → x0 , то существуетчто ε <Eεδ = δ(ε) > 0 такое, что при всех x, 0 < |x − x0 | < δ, выполняется неравенство |ϕ(x)| < ε.По условиютеоремыϕ(x) отлична от нуля в проколотой окрестности точки x0 ; отсюда 1 1 > > E, т.е.
|f (x)| > E. Поэтому |f (x)| → +∞ при x → x0 , и f (x) явля|f (x)| = ϕ(x) εется бесконечно большой при указанном предельном переходе. Необходимость доказана.Достаточность доказывается аналогично. Теорема доказана.3кафедра «Математическое моделирование»проф. П. Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 8.Сравнение функций при данном стремлении аргумента. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Теоремы обэквивалентных функциях. Таблица эквивалентных бесконечно малых функций и её применение к вычислению пределов. Относительный порядок малости (или роста) функции при данном стремлении,выделение ее главной части. Теорема о сумме бесконечно малых разных порядков.ОЛ-1, пп. 10.1-10.3Пусть бесконечно малые при x → x0 функции ϕ(x) и ψ(x) отличны от нуля в некоторойϕ(x)= 0, то говорят, что бесконечно малаяпроколотой окрестности точки x0 . Если limx→x0 ψ(x)ϕ(x) имеет более высокий порядок малости по сравнению с ψ(x), а ψ(x) имеет более низкий порядок малости по сравнению c ϕ(x). Записывают это так: ϕ(x) = o(ψ(x)), x → x0 .Последняя запись служит лишь для обозначения указанного соотношения между бесконечно малыми. Привычные свойства равенств могут при этом нарушаться.
Например,очевидно, x2 = o(x) и x3 = o(x) при x → 0. Отсюда, однако, не следует, что x2 = x3 . Еслиϕ(x)ψ(x)lim= ∞, то lim= 0, и на этот раз функция ψ(x) имеет при x → x0 болееx→x0 ψ(x)x→x0 ϕ(x)высокий порядок малости по сравнению с ϕ(x).ϕ(x)Если существует конечный отличный от нуля предел lim= C, то говорят,x→x0 ψ(x)что ϕ(x) и ψ(x) являются при x → x0 бесконечно малыми одного порядка и пишутϕ(x) = O(ψ(x)), обязательно указывая, при каком предельном переходе имеет место этоϕ(x)= 1,соотношение (в данном случае при x → x0 ). В случае C = 1, т.е. если limx→x0 ψ(x)функции ϕ(x) и ψ(x) называют эквивалентными бесконечно малыми и пишут ϕ(x) ∼ ψ(x),x → x0 .
Если при x → x0 не существует ни конечного, ни бесконечного предела отношенияϕ(x), то говорят, что ϕ(x) и ψ(x) не сравнимы при x → x0 .ψ(x)Примеры. 1. При x → 0 имеем 1 − cos x = o(x), т.к.limx→01 − cos x= limx→0xxx2 x2x · sin2sin12 = lim x 22 = · lim x · lim x 22 = 0 .x→0x2 x→0 x→04·222 sin21√√2. Функции ϕ(x) = √2 + x2 − √2 и ψ(x) = x2 являются бесконечно малыми одного порядка12 + x2 − 2x2√√√=. Отсюда следует, чтопри x → 0, т.к.
lim=limx→0x→0 x2 ( 2 + x2 +x22)2 2√√x22 + x2 − 2 ∼ √ при x → 0.2 213. Бесконечно малые при x → 0 функции ϕ(x) = x и ψ(x) = x arctg не сравнимы приxψ(x)1указанном предельном переходе, т.к.= arctg не имеет ни конечного, ни бесконечϕ(x)xπ1π1ного предела при x → 0. В самом деле, lim arctg = , lim arctg = − .x→0−x→0+x2x2Рассмотрим некоторые теоремы о бесконечно малых функциях.Теорема (о транзитивности отношения эквивалентности бесконечно малых). Отношение эквивалентности бесконечно малых (как и всякое отношение эквивалентности)обладает свойствами рефлексивности, т.е. ϕ(x) ∼ ϕ(x), симметричности, т.е.