Иванков П.Л. - Конспект лекций по математическому анализу, страница 11

Л. ИванковМатематический анализконспект лекцийдля студентов 1-го курса 1-го семестравсех специальностей ИУ, РЛ, БМТ (кроме ИУ9)Лекция 10.Свойства функций, непрерывных на отрезке: ограниченность, существование наибольшего и наименьшего значений, прохождение черезлюбое промежуточное значение. Теорема о непрерывности обратнойфункции. Асимптоты графика функции.ОЛ-2 гл. 1, 9.4, 10.5Рассмотрим теоремы о свойствах функций непрерывных на отрезке.Теорема(Больцано-Коши). Если функция определена и непрерывна на некотором отрезке и наего концах принимает значения разных знаков, то эта функция обращается в нуль хотябы в одной точке данного отрезка.∗ Доказательство.

Пусть f : [a, b] → R; функция f (x) непрерывна на отрезке [a, b]и принимает на его концах значения разных знаков. Предположим для определенности,что f (a) < 0 и f (b) > 0. Множество X точек отрезка [a, b], в которых f (x) < 0 непусто и ограничено сверху, поэтому существует точная верхняя грань этого множества:c = sup X.

Заметим сначала, что c ∈ [a, b]. Если это не так, то существует ε > 0 такое,что c − ε > b, а тогда на интервале (c, c − ε) нет точек множества X, что противоречитопределению точной верхней грани. На самом деле c является внутренней точкой отрезка[a, b]. Действительно, f (x), будучи непрерывной в точках a и b, сохраняет знаки чиселf (a) и f (b) соответственно на полуинтервалах [a, a + η) и (b − η, b], где η — некотороеположительное число. Поэтому предположение c = a противоречит тому, что для любогоx ∈ X выполняется неравенство x 6 c. Если же c = b, то полуинтервал (b − η, b] долженсодержать точки множества X, чего на деле нет.

Поэтому a < c < b. В точке c должновыполняться одно (и только одно) из соотношений:f (c) < 0,f (c) > 0,f (c) = 0.(3)пусть f (c) < 0. Тогда найдётся положительное число η такое, что для любогоx ∈ (c − η, c + η) выполняется неравенство f (x) < 0 (это следует из непрерывностифункции f (x) в точке c). Отсюда получаем, что в множестве X есть точки, лежащие наотрезке [a, b] правее точки c, что невозможно, т.к.

c есть точная верхняя грань множестваX. Не может выполняться и неравенство f (c) > 0, т.к. в этом случае, как и выше, найдётся окрестность (c − η, c + η), η > 0, в каждой точке которой f (x) положительна. Этотакже противоречит тому, что c = sup X, т.к.

должны существовать точки множества X,лежащие на интервале (c − η, c). Таким образом, первые два из соотношений (3) не выполняются, и f (c) = 0. Существование требуемой точки установлено. Tеорема доказана.∗1ТеоремаБольцано-Кошиимеетпростойгеометрическийсмысл:точкиa,f(a)иb, f (b) лежат по разные стороны от оси абсцисс, а при вычерчивании графика непрерывной функции f (x) мы соединяем эти точки, «не отрывая карандаша от бумаги». Ясно,что при этом придётся пересечь отрезок [a, b] в некоторой точке c, в которой f (c) = 0.Следствие (теорема о промежуточном значении).

Если функция f (x) непрерывнана отрезке [a, b], и если f (a) = A, f (b) = B, то эта функция принимает все значения,лежащие на отрезке с концами в точках A и B.В самом деле, пусть, например, A < B, и пусть A < C < B. Тогда функция f (x) − Cнепрерывна на [a, b] и на концах этого отрезка принимает значения разных знаков. Следовательно, существует точка c ∈ [a, b] такая, что f (c) − C = 0, т.е. f (c) = C.Теорема (Вейерштрасса об ограниченности непрерывной на отрезке функции). Непрерывная на отрезке функция ограничена и достигает на этом отрезке наибольшего инаименьшего значений.∗ Доказательство.

Пусть функция f (x) определена и непрерывна на отрезке [a, b],но не является ограниченной на этом отрезке. Обозначим I1 = [a1 , b1 ] = [a, b]. Разделимотрезок I1 пополам и обозначим через I2 = [a2 , b2 ] тот из получившихся отрезковa1 + b 1a1 + b 1, b1 , на котором функция f (x) неограничена. Тогда I2 ⊂ I1 , ииa1 ,22b−aдлина отрезка I2 равна. Пусть уже построены отрезки In ⊂ In−1 ⊂ . . .

⊂ I1 , причём2b−aна отрезке Ik = [ak , bk ] функция f (x) неограничена, и длина этого отрезка равна k−1 ,2k = 1, . . . , n. РазделимотрезокIn пополам и обозначимIn+1 = [an+1 , bn+1 ] тот из полуan + b nan + b nчившихся отрезков an ,и, bn , на котором функция f (x) неограничена.22b n − anb−aТогда In+1 ⊂ In , длина In+1 равна=, и построение отрезков по индукции22nможет быть продолжено.

По принципу вложенных отрезков существует точка c, принадлежащая всем построенным отрезкам, в частности c ∈ [a1 , b1 ] = [a, b]. В точке c функцияf (x) непрерывна, и, следовательно, имеет предел (равный f (c)) при x → c. По теореме олокальной ограниченности функции, имеющей конечный предел, f (x) ограничена в некоторой окрестности (c − δ, c + δ) ∩ [a, b], δ > 0, этой точки (окрестность может получитьсяи односторонней, если точка c совпадет с одной из граничных точек отрезка [a, b]). С друb−aгой стороны, при достаточно большом n выполняется неравенство< δ, и отрезок2nIn должен целиком лежать в указанной окрестности, т.к.

этот отрезок содержит точкуc. Поскольку по построению функция f (x) неограничена на отрезке In , то мы получаемпротиворечие. Итак, ограниченность функции f (x) на отрезке [a, b] доказана. Посколькумножество значений функции f (x) на указанном отрезке не пусто и ограничено, то существует точная верхняя грань M = sup f (x) множества значений функции f (x) наx∈[a,b]этом отрезке. Если f (x) < M для всех x ∈ [a, b], то функция M − f (x) непрерывна и2положительна на [a, b], а тогда g(x) = 1/ M − f (x) непрерывна на этом отрезке и подоказанному ограничена на нём. С другой стороны для любого ε > 0 существует точка11> .

Этоξ ∈ [a, b] такая, что f (ξ) > M − ε, т.е. ε > M − f (ξ) > 0, и g(ξ) =M − f (ξ)εпротиворечит ограниченности функции g(x) на [a, b]. Полученное противоречие доказывает существование на отрезке [a, b] точки c такой, что f (c) = M . Ясно, что при этомM будет максимальным значением функции f (x) на [a, b]. Аналогично можно доказать,что минимальное значение функции f (x) на рассматриваемом отрезке также достигаетсяв некоторой его точке. Теорема доказана.

∗Заметим, что для промежутков, не являющихся отрезками, утверждения теоремы могут и не выполняться. Например, функция f (x) = 1/x непрерывна, но неограничена наинтервале (0, 1). Далее, функция f (x) = x непрерывна на (0, 1), но не имеет на этоминтервале максимального и минимального значений.Теорема (о непрерывности обратной функции). Пусть функция f (x) определена, непрерывна и возрастает на отрезке [a, b]. Тогда на отрезке f (a), f (b) определена обратнаяфункция f −1 (y), которая непрерывна и возрастаетна этом отрезке.∗ Доказательство. Пусть y ∈ f (a), f (b) .

По теореме о промежуточном значениисуществует число x ∈ [a, b] такое, что y = f (x). Это число единственно, т.к. еслиx0 6= x, то x0 > x или x0 < x, и, соответственно,f (x0 ) > f (x) = y или f (x0 ) < f (x) = y.Итак, каждому y из отрезка f (a), f (b) можно поставить в соответствие число x ∈ [a, b],являющееся единственнымрешением уравнения y = f (x).

Мы видим, что обратная−1функция f : f (a), f (b) → [a, b] действительно существует. Эта функция возрастает.В самом деле, пусть f (a) 6 y1 < y2 6 f (b). Тогда если f −1 (y1 ) = f −1 (y2 ), тоf f −1 (y1 ) = f f −1 (y2 ) , т. е. y1 = y2 , что невозможно. Еслиже f −1 (y1 ) > f −1 (y2 ), тов силу возрастания функции f (x) получаем отсюда f f −1 (y1 ) > f f −1 (y2 ) , т.е. y1 > y2– противоречие.Остаетсяпризнать, что f −1 (y1 ) < f −1 (y2 ), и функция f −1 (y) возрастает на f (a), f (b) . Докажем, что f −1 (y) непрерывна в произвольной точке y0 этогоотрезка.

Пусть f −1 (y0 ) = x0 , и пусть задано ε > 0. Для определённости точки x0 иy0 будем считать внутренними точками соответствующих отрезков; число ε можно считать столь малым, что a < x0 − ε < x0 + ε < b. Т.к. функция f (x) возрастает, тоf (a) < f (x0 −ε) < f (x0 ) = y0 < f (x0 +ε) < f (b). Пусть δ = min y0 −f (x0 −ε), f (x0 +ε)−y0 .Ясно, что δ > 0. Тогда, если |y−y0 | < δ, то по определениюδ имеем f (x0 −ε) < y < f (x 0 +ε).−1−1−1−1Т.к. функция f (y) возрастает,то f f (x0 − ε) < f (y) < ff (x0 + ε) , т.е.x0 − ε < f −1 (y) < x0 + ε, и f −1 (y) − x0 = f −1 (y) − f −1 (y0 ) < ε, и непрерывность функцииf −1 (y) в точке y0 доказана.

Аналогично можно доказать непрерывность (одностороннюю)этой функции и в граничных точках f (a) и f (b). Теорема доказана. ∗Можно сформулировать и доказать другие варианты этой теоремы. Возрастающуюфункцию f (x) можно заменить убывающей.Отрезки [a, b] и [f (a), f (b)] можно заменитьинтервалами (a, b) и f (a + 0), f (b − 0) , где f (a + 0) = lim f (x), f (b − 0) = lim f (x),x→a+x→b−причем последние пределы могут быть и бесконечными.В качествеh π π i приложения доказанной теоремы рассмотрим функцию f (x) = sin x на от. Все требования теоремы о непрерывности обратной функции выполнены.резке − ,2 2Поэтому функция x = arcsin y непрерывна и возрастает на отрезке [−1, 1].Пусть функция f (x) определена при x > x0 .