Смогунов В.В., Вдовикина О.А., Митрохина Н.Ю., Кузьмин А.В. - Кинематика и статика, страница 4

К3.1Рис. К3.0EγEφ2O11 θ 3αA2BβDφ 4O2Рис. К3.227Bαγθ13DβO2Рис. К3.3O14AbO1 O2 αγ D 4βθ3B1AO12EφθB2αDφРис. К3.5A1O113βbO2bφD2b2 Dα βBφγ3O2θ4EРис. К3.7EγAEγ4Рис. К3.6Bφ1 θαA 2β 4 O2EРис. К3.4O1BD3γ3θβ α O1A1Рис. К3.8Eβ2Aαθ1Bγ 3DO1φРис. К3.9Указания. Задача К3 – на исследование плоскопараллельного движениятвердого тела. При её решении для определения скоростей точек механизма иугловых скоростей его звеньев следует воспользоваться теоремой о проекцияхскоростей двух точек тела и понятием о мгновенном центре скоростей, применяяэту теорему (или это понятие) к каждому звену механизма в отдельности.При определении ускорений точек механизма исходить из векторногоnравенства a B  a A  a BA  a BA , где А – точка, ускорение a A которой или задано, илинепосредственно определяется по условиям задачи (если точка А движется по дугеnокружности, то a A  a A  a A ); В – точка, ускорение a B которой нужно определить(в случае, когда точка В тоже движется по дуге окружности, см.

примечание вконце рассмотренного примера К3).27Пример К3 а. Механизм (рис. К3 а) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 и ползунаВ, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2 шарнирами.Дано:   60 ,   150 ,   90 ,   30 ,   30 , AD = DB, l1 = 0,4 м, l2 = 1,2м, l3 = 1,4 м, 1  2 с-1, 1  7 с-2 (направления 1 и 1 – против хода часовойстрелки).Определить: v B , v E ,  2 , a B ,  3 .E4O2βBφ2γDA3θ1αO1Рис. К3 аРешение. Строим положение механизма в соответствии с заданными углами(рис. К3 б; на этом рисунке изображаем все векторы скоростей).O24ω2C2Av A ω160˚E60˚330˚2vED1O1vBvDB60˚30˚C327ω3Рис.

K3 б1. Определяем v B . Точка В принадлежит стержню АВ. Чтобы найти v B , надознать скорость какой-нибудь другой точки этого стержня и направление v B . Поданным задачи, учитывая направление 1 , можем определить v A ; численноv A  1l1  0,8 м/с; v A O1 A .(1)Направление v B найдем, учтя, что точка В принадлежит одновременноползуну, движущемуся вдоль направляющих поступательно. Теперь, зная v A инаправление v B , воспользуемся теоремой о проекциях скоростей двух точек тела(стержня АВ) на прямую, соединяющую эти точки (прямая АВ). Сначала по этойтеореме устанавливаем, в какую сторону направлен вектор (проекции скоростейдолжны иметь одинаковые знаки).

Затем, вычисляя эти проекции, находимv B cos 30   v A cos 60  и v B =0,46 м/с.(2)2. Определяем v E . Точка Е принадлежит стержню DE. Следовательно, поаналогии с предыдущим, чтобы определить v E , надо сначала найти скорость точкиD, принадлежащей одновременно стержню АВ. Для этого, зная v A и v B , строиммгновенный центр скоростей (МЦС) стержня АВ; это точка С3, лежащая напересечении перпендикуляров к v A и v B , восстановленных из точек А и В (к v Aперпендикулярен стержень 1).

По направлению вектораvAопределяемнаправление поворота стержня АВ вокруг МЦС С3. Вектор v D перпендикуляренотрезку C3D, соединяющему точки D и С3, и направлен в сторону поворота.Величину v D найдем из пропорцииvDv BC3 D C3 B .27(3)Чтобы вычислить С3D и С3В, заметим, что  АС3В – прямоугольный, так какострые углы в нем равны 30° и 60°, и что С3 В = АBsin30° = 0,5АВ = ВD. ТогдаBC 3 D является равносторонним и С В = С D. В результате равенство (3) дает33v D = v B =0,46 м/с; v D  C3 D .(4)Так как точка Е принадлежит одновременно стержню О2Е, вращающемусявокруг О2, то v E  O2 E .

Тогда, восстанавливая из точек Е и D перпендикуляры кскоростям v E и v D , построим МЦС С2 стержня DE. По направлению вектора v Dопределяем направление поворота стержня DE вокруг центра С2. Вектор v Eнаправлен в сторону поворота этого стержня. Из рис. К3б видно, чтоC 2 ED  C 2 DE  30  , откуда С Е = С D. Составив теперь пропорцию, найдем,22чтоvEv DC 2 E C 2 D , v E  v D  0,46 м/с .м/с.(5)3.Определяем 2 . Так как МЦС стержня 2 известен (точка С2) иC 2 D  l 2 / 2 cos 30   0,69 м, то2 vD 0,67C2 Dс-1.(6)4. Определяем a B (рис. К3 в), на котором изображаем все векторыускорений). Точка В принадлежит стержню АВ.

Чтобы найти a B , надо знатьускорение какой-нибудь другой точки стержня АВ и траекторию точки В. Поnданным задачи можем определить a A  a A  a A , где численноa A  1 l1  2,827n2м/с; a A  1 l1  1,6 м/с.(7)O2ExAa Aτ330˚2naA ε1160˚O1DnaBAaBBaBAτy30˚Рис. К3 вnВектор a A направлен вдоль АО1,а a A – перпендикулярно АО1; изображаемэти векторы на чертеже (см. рис.

К3 в). Так как точка В одновременно принадлежитползуну, то вектор a B параллелен направляющим ползуна. Изображаем вектор a Bна чертеже, полагая, что он направлен в ту же сторону, что и v B .Для определения a B воспользуемся равенствомna B  a A  a An  a BA a BA.(8)nИзображаем на чертеже векторы a BA (вдоль ВА от В к А) и a BA (в любуюn2сторону перпендикулярно ВА); численно a BA  3 l3 . Найдя 3 с помощьюпостроенного МЦС С3 стержня 3, получим3 vAvA 0,66nC3 A l3 cos30 с-1 и a BA  0,61 м/с2.(9)Таким образом, у величин, входящих в равенство (8), неизвестны толькочисловые значения a B и a BA ; их можно найти, спроектировав обе части равенства(8) на какие-нибудь две оси.Чтобы определить a B , спроектируем обе части равенства (8) на направлениеВА (ось х), перпендикулярное неизвестному вектору a BA .27Тогда получимna B cos30   a A cos 60   a An cos30   a BA.(10)Подставив в равенство (10) числовые значения всех величин из (7) и (9),найдем, чтоa B  0,72 м/с2.(11)Так как получилось a B  0 , то, следовательно, вектор a B направлен какпоказано на рис.

К3 в.5. Определяем  3 . Чтобы найти  3 , сначала определим a BA . Для этого обечасти равенства (8) спроектируем на направление, перпендикулярное АВ (ось у).Тогда получим a B sin 30   a A sin 60   a An sin 30   a BA.(12)Подставив в равенство (12) числовые значения всех величин из (11) и (7),aa2BABAнайдем, что= –3,58 м/с . Знак указывает, что направлениепротивоположнопоказанному на рис. К3 в.Теперь из равенства a BA   3l3 получим3 a BAl3 2,56с-2.Ответ: v B  0,46 м/с; v E  0,46 м/с;  2  0,67 с-1; a B  0,72 м/с2;  3  2,56 с-2.Примечание. Если точка В, ускорение которой определяется, движется непрямолинейно (например, как на рис. К3.0…К3.4, где В движется по окружностирадиуса О2В), то направление a B заранее неизвестно.В этом случае a Bтакже следует представить двумя составляющими(a B  a B  a Bn ) и исходное уравнение (8) примет вид27na B  a Bn  a A  a An  a BA a BA.(13)nПри этом вектор a B (см., например, рис.

К3.0) будет направлен вдоль ВО2, аnвектор a B – перпендикулярно ВО2 в любую сторону. Числовые значения a A , a A иna BAопределяются так же, как в рассмотренном примере (в частности, по условиямnзадачи может быть a A =0 или a A =0, если точка А движется прямолинейно).nn22Значение a B также вычисляется по формуле a B  v B   v B l , где l –радиусокружности О2В, а v B определяется так же, как скорость любой другой точкимеханизма.После этого в равенстве (13) остаются неизвестными только значения a B иa BAи они, как и в рассмотренном примере, находятся проектированием обеихчастей равенства (13) на две оси.Найдяa B , можем вычислить искомое уравнениеaB a   a  2Bn 2B.Величина a BA служит для нахождения  AB (как в рассмотренном примере).Пример К3 б. Механизм (рисунок К3 г) состоит из стержней 1, 2, 3, 4 иползуна В, соединенных друг с другом и с неподвижными опорами О1 и О2шарнирами.Дано:   60 ,   150 ,   90 ,   30 ,   30 , AD=DB, l1  0,4 м, l2  1,2м, l3  1,4 м, l 4  0,6 м, 1  5 с-1, 1  8 с-2.Определить: vB , vE , DE , aB ,  AB .274VEO2E3C3ω DEVAO1ω11ω ABA120 ˚ 60 ˚C230 ˚2.VDDVBBРис.

К3 гРешение. Звенья 1 и 4 механизма совершают простейшее вращательноедвижение, звенья 2 и 3 – плоское, ползун B движется поступательно.1. Определим скорость точки A как скорость точки, принадлежащей звену 1:v A  l11  0,4  5  2 м / с . Покажемv A  O1 Aс учетом направления угловойскорости 1 .

Точка B принадлежит одновременно звену 2 и ползуну и в силуналоженных связей может двигаться только вдоль направляющих, следовательно,вектор скорости точки B может быть направлен только горизонтально. Дляопределения скорости точки B найдем положение мгновенного центра скоростей(МЦС) звена 2 на пересечении перпендикуляров к скоростям точек A и B (точкаC2).2. Определим угловую скорость вращения звена 2 относительно его МЦС,зная скорость точки A и вычислив расстояние C2A от точки A до МЦСC 2 A  AB  cos 60  1,2 cos 60  0,6 м : АВ vА2 3,333 с 1С 2 А 0,6.Направление  AB покажем с учетом направления вектора v A .3.

Определим скорость точки B, вычислив расстояние C2B от точки B до МЦСC 2 B  AB sin 60  1,2 sin 60  1,039 м :27v B   AB  C 2 B  3,333  1,039  3,463 м / с .Направление вектора vB покажем с учетом направления  AB .4. Точка D также принадлежит звену 2, следовательно, ее скорость можноопределить относительно МЦС звена 2, вычислив расстояние C2D от точки D доМЦС C 2 D  C 2 A  0,6 м . Следовательно, v D  3,333  0,6  2 м / с . Покажем векторскорости точки D ( vD  C2 D ) с учетом направления  AB .Одновременно точка D принадлежит звену 3, также совершающему плоскоедвижение.

Точка E, также принадлежащая звену 3 в силу наложенных на нее связейможет двигаться только по окружности радиусом O2E, следовательно, векторскорости точки E обязательно будет перпендикулярен O2E. МЦС звена 3 находитсяна пересечении перпендикуляров к векторам скоростей точек D и E (точкаC3).Определяем угловую скорость звена 3  DE относительно его МЦС, вычисливрасстояние DE C3 D DE1,4 1,616 мcos30 cos30:vD2 1,238 с 1C3 D 1,616.Направление  DE покажем с учетом направления вектора vD .Скорость точки E определим относительно МЦС звена 3, вычисливрасстояние C3 E  DE  tg 30  1,4tg 30  0,808 м :v E   DE  C3 E  1,238  0,808  1 м / с .a5. Определим ускорение точки B B (рис.