Смогунов В.В., Вдовикина О.А., Митрохина Н.Ю., Кузьмин А.В. - Кинематика и статика, страница 2

При поступательном движении твердого тела все его точкиописывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковыепо модулю и направлению скорости и ускорения.Вращательным движением твердого тела называется такое движение, прикотором остаются неподвижными все точки тела, лежащие на некоторой прямой,называемой осью вращения.

При этом все остальные точки тела описываютокружности с центрами на оси вращения.Уравнение вращательного движения абсолютно твердого тела:  f (t ) (  – угловая координата, рад).Угловая скорость и угловое ускорение абсолютно твердого тела:d,dtd 2dt 2.Вектор угловой скорости абсолютно твердого тела направлен по осивращения в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против ходачасовой стрелки. Вектор углового ускорения при ускоренном движении направленпо оси вращения в ту же сторону, что и вектор угловой скорости, а призамедленном движении – в противоположном направлении.Выражение скорости точки вращающегося тела и ее касательного инормального ускорений в виде векторных произведений:27       v    r ; a    r ; an    v .В виде алгебраических значений:v  r ;a  r ; an  v или an  2 r .Плоскопараллельное движение абсолютно твердого тела (движение плоскойфигуры в ее плоскости) – это такое движение, при котором все точки телаперемещаются параллельно некоторой неподвижной плоскости.Движение плоской фигуры в ее плоскости раскладывается на поступательноевместе с полюсом и вращательное вокруг полюса.

Вращательная часть движенияот выбора полюса не зависит, отсюда следует независимость угловой скорости иуглового ускорения фигуры от выбора полюса.Уравнения движения плоской фигуры:x A  f1 (t ), y A  f 2 (t ),   f 3 (t ).Скорость любой точки плоской фигуры определяется как геометрическаясумма скорости полюса и скорости этой точки при вращении фигуры вокругполюса:vМ  v А  vМА ; vМА    MA .Теорема о проекциях скоростей двух точек фигуры: проекции скоростей двухточек абсолютно твердого тела на прямую, соединяющую эти точки, равны другдругу и одинаково направлены:v А cos   v B cos .Мгновенный центр скоростей (МЦС) – это точка ( P ), неизменно связанная стелом, скорость которой в данный момент времени равна нулю.ОпределениескоростейточекплоскойфигурыспомощьюМЦСосновывается на двух свойствах:1) скорость любой точки тела, лежащей в сечении S, равна скорости при ее27вращении вокруг МЦС;2) скорости точек тела пропорциональны их расстояниям до МЦС, т.е.v А    PA, v B    PB,v A vB.PA PB v А , v B,Для определения МЦС надо знать только направления скоростей, дляvvvBАопределения– модуль и направлениеи направление B ; угловая скоростьтела в каждый момент времени равна отношению скорости какой-нибудь точки кее расстоянию до МЦСvB.PBУскорение любой точки плоской фигуры определяется как геометрическаясумма ускорения полюса и ускорения этой точки при вращении фигуры вокругполюсаa M  a A  a MA ,24aгде MA  MA    ;na M  a A  a MA a MA– при движении полюса по прямой;na M  a A  a An  a MA a MA– при движении полюса по окружности.Мгновенный центр ускорений – это точка ( Q ), ускорение которой в данныймоментвременипропорциональныравноихнулю.Ускорениярасстояниямотлюбыхмгновенногодругихцентраточектелаускорений:aaMa A  ...

 N .QM QAQNСложное движение точки и твердого телаАбсолютное и относительное движение точки, переносное движение:абсолютным, или сложным, называется движение точки по отношению кнеподвижной системе координат, выбранной за основную; движение точки по27отношению к подвижной системе координат называется относительным;подпереносным движением понимается движение подвижной системы координатотносительно неподвижной.

Соответственно называются скорости и ускорения вэтих движениях.Теорема о сложении скоростей: при сложном движении абсолютная скоростьточки равна геометрической сумме относительной и переносной скоростей:v абс  v пep  v отн ,22vабс  vотн vпep 2vотн vпep cos .Теорема Кориолиса о сложении ускорений: абсолютное ускорение точкиравно геометрической сумме трех ускорений: относительного (характеризующегоизменениеотносительнойскороститочкивотносительномдвижении),переносного (характеризующего изменение переносной скорости точки впереносномдвижении)икориолисова(характеризующегоизменениеотносительной скорости точки в переносном движении и переносной скороститочки в относительном движении):aабс  aотн  aпep  aкop.Модуль кориолисова ускорения: aкop  2 пep  vотн  sin , vотн Направлениекориолисова.ускорениянаходитсяповоротомвектораотносительной скорости vотн на 90 в сторону переносного вращения.В случае поступательного переносного движения кориолисово ускорениеобращается в нуль.Сложное движение твердого телаСложение поступательных движений: результирующее движение такжеявляется поступательным со скоростью v  v1  v2 .27Сложениемгновенныхвращенийабсолютнотвердоготелавокругпересекающихся и параллельных осей:1.

Сложение движений вокруг двух осей, пересекающихся в точке О:результирующее движение тела можно представить как мгновенное вращениевокруг оси ОС , проходящей через точку О, с угловой скоростью равнойгеометрической сумме относительной и переносной угловых скоростей   1   2 ;2. Сложение вращений вокруг двух параллельных осей:а)   1   2 при вращении в одну сторону;б)   1   2 при вращении в разные стороны ( 1  2 ).Пара мгновенных вращений ( 1   2   ) эквивалентна поступательномудвижению со скоростью v    AB ( AB – расстояние между осями).Кинематический винт – это сложное движение, состоящее из вращательноговокруг оси АО и поступательного параллельно оси АО.27КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ И ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯЗадача К1 аТочка В движется в плоскости ху (рис.

К1.0…К1.9, табл. К1, траекторияточки на рисунках показана условно). Закон движения точки задан уравнениями: x= f1(t), y = f2(t), где х и у выражены в сантиметрах, t – в секундах.Найти уравнение траектории точки, для момента времени t1 = 1с определитьскорость и ускорение точки, а также её касательное и нормальное ускорения ирадиус кривизны в соответствующей точке траектории.Зависимость х=f1(t) указана непосредственно на рисунках, а зависимость y =f2(t), дана в табл. К1 (для рис. 0…2 в столбце 2, для рис.3…6 в столбце 3, для рис. 7…9 в столбце 4).

Номер рисунка выбирается попредпоследней цифре шифра, а номер условия в табл. K1 – по последней.Задача К1 бТочка движется по дуге окружности радиуса R = 2 м по закону s=f(t),заданному в табл. К1 в столбце 5 (s – в метрах, t – в секундах), где s  AM –расстояние точки от некоторого начала А, измеренное вдоль дуги окружности.Определить скорость и ускорение точки в момент времени t1 = 1с.

Изобразить нарисунке векторы v и a , считая, что точка в этот момент находится в положенииМ, а положительное направление отсчета s – от А к М.Таблица К1y  f 2 t Номер27условиярис. 0–2рис. 3–6рис.7–912340 12 sin  t 6 2t 2  2 4 cos t 6 s  f t 5 4 cos t 6 y  f 2 t Номеррис. 0–2рис. 3–6рис.7–912341  6 cos t 3  8 sin  t 4 2  3 sin 2  t 6 2  t 2 4 cos t 3 6t  2t 23 9 sin  t 6 2t 2 10 cos t 6   2 sin  t 6 4 3 cos t 3  2 cos t 4   4 cos2  t 6  4 cos t 3 5 10 sin  t 6 2  3t 2 12 cos t 3   3 sin  t 3 6 6 sin 2  t 6  2 sin  t 4   3 cos t 6 3t 2  10t7  2 sin  t 6 t  13  8 cos t 3   2 cos t 3 8 9 cos t 3 2  t3 9 cos t 6  3 sin  t 6 9  8 sin  t 6  4 cos t 4   6 cos t 3   2 cos t 6 yyBx0 x  6 cos  t   36 Рис.

К1.027s  f t условия 6 cos2  t 6 yBx0 x  4 cos  t 6 Рис. К1.150 2 sin  t 3 Bx x  2  3 cos  t 6 Рис. К1.2yx0yyByBx0Bx0xt4x  4  2tx  2tРис. К1.3Рис. К1.4Рис. К1.5yBx0x0yB x  8 sin  t   26 x  2tРис. К1.6Рис. К1.7yBx0 x  12 sin  t 6 Рис. К1.8Bx0 x  4  6 sin  t 6 Рис. К1.9Указания. Задача К1 относится к кинематике точки и решается с помощьюформул, по которым определяются скорость и ускорение точки в декартовыхкоординатах (координатный способ задания движения точки), а также формул, покоторым определяются скорость, касательное и нормальное ускорения точки приестественном способе задания ее движения.

В задаче все искомые величины нужноопределить только для момента времени t1 = 1c.В некоторых вариантах задачи К1а при определении траектории или припоследующих расчетах (для их упрощения) следует учесть известные изтригонометрии формулы:27cos 2  1  2 sin 2   2 cos2   1 ;sin 2  2 sin  cos  .Пример K1.1 а. Дано: уравнения движения точки в плоскости ху:  x  2 cos t   3, y  2 sin  t   14 8 (х, у – в сантиметрах, t – в секундах).Определить: уравнение траектории точки, для момента времени t1 = 1 c найтискорость и ускорение точки, а также ее касательное и нормальное ускорения ирадиус кривизны в соответствующей точке траектории.Решение. 1. Для определения уравнения траектории точки исключим иззаданных уравнений движения время t.

Поскольку t входит в аргументытригонометрических функций, где один аргумент вдвое больше другого,используем формулу  cos t   1  2 sin 2  t 4 8 .cos 2  1  2 sin  или2(1)Из уравнений движения находим выражения соответствующих функций иподставляем в равенство (1). Получим  3 xcos t  2 ,4    y 1sin  t  2 ,8 следовательно, y  13 x1 224 .2Отсюда окончательно находим следующее уравнение траектории точки(параболы, рис. К1.1а):x   y  1  1 .227(2)y101x-1Рис.

K1.1a2. Скорость точки найдем по ее проекциям на координатные оси:vx dx    dy     sin  t  v y  cos t 22dt 2  4  ,dt 4 8  ; v  vx  v yи при t1 = 1 cv1x  1,11 см/с, v1 y  0,73 см/с, v1  1,33 см/с.(3)3. Аналогично найдем ускорение точки:dv ydvx  22    ax cos t  a y   sin  t 22dt32  8  ; a  a x  a ydt84 ,и при t1=1 ca1x = 0,87 см/с2; а1у = – 0,12 см/c2; а1 = 0,88 см/c2.(4)4.

Касательное ускорение найдем, дифференцируя по времени равенствоv 2  v x2  v 2y2v. Получимdv ydvdv 2v x x  2v ydtdtdt ,откудаa 27dv v x a x  v y a ydtv.(5)Числовые значения всех величин, входящих в правую часть выражения (5),определены и даются равенствами (3) и (4). Подставив в (5) эти числа, находим, чтопри t1 = 1 c a1  0,66 см/с.5. Нормальное ускорение точкиan  a 2  a2. Подставляя сюда найденныечисловые значения a1 и a1 , получим, что при t1 = 1 c a1n = 0,58 см/c2.26.