В.В. Дубинин, Г.И. Гатауллина, Г.М. Тушева - Кинематика сложного движения точки (Дубинин В.В., Гатауллина Г.И., Тушева Г.М. - Кинематика сложного движения точки)

Московский государственный технический университет имени Н,Э. Баумана МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ вм. Н.Э, БАУМАНА Под редакцией Е.Е. Дубинина, А.А, Панкратова ВОЗВРАТИТЕ КНИГУ ИЕ НОЗЖЕ обозначенного здесь сдока , аыоолне указании к : Реботц и р ~~ррсоаой енинз теме К они~о зад инем и ен оо 2005 ике оложнос В,В. Дубинин, Г.И. Гатауллиыа, Г.М. Туева Методические указания к выполнению курсовой работы и решению задач но теме «Кинематика сложното движения точки» Москва Издательство МГТУ им. Н.Э.

Баумана 2005 В ГГУ аи. И, В, $атюяа БЕБ|а0тБЕА УДК 531.12 ББК22,21 Д79 Рецензент Л.П, Варлсунава 1. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ 1. Определения Владимир Валентинович Дубинин Галина Ивановна Гатауллина Галина Михайловна Тушева Рне. 1 Редактор О,лк Королева Корректор ЛН. Малюяина Компьютерная верстка А.Ю Ураловай Издательство МГТУ им, Н.З. Баумана. 105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5. Вй МГТУ им. Нтйваумвна, 2005 Дубинин В.В., Гатауллина Г.И., Тушева Г.М.

Д79 Методические указания к выполнению курсовой работы и решению задач по теме «Кинематика сложного движения точки» ! Под ред, В.В, Дубинина, А.А. Панкратова. — М,: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2005. — 50 па ил. Даны краткие теоретические сведения, приведены примеры решения «прямой» н «обратной» задач, а также примеры выполнения курсовой работы. Для студентов, изучакицнх тему «Кинематика сложного движения точки». Ил. 44.

Методические указании к выполнению курсовой работы и решению задач но теме ° <кинематика елоисного движении точки» Подписано в петкгь 29.11.2005. Формат бох34/3. Бумага офсепия, Печ. л. б,25. Уел. печ. л. б,25, Уч.-изд, л. 5,57. Тираж 300 зкз, Изд. га 47.

Заказ Движение точки М по отно1пению к некоторой системе отсчета Орхун (рис. '1), условно принятой за неподвижную, называется сложным 1абсолютным), если оно состоит из двух или более движений. В простейшем случае абсол1отное движение точки М состоит из относительного и переносного движений. Относительным называется движение точки Мпо отношению к подвижной системе отсчета ООУ. Переносным называется движение подвижной системы отсчета ОХИ 1и точки М, связанной в каждый момент времени с определенной точкой этой системы отсчета, например с точкой А), относительно неподвижной системы О,хун .

В задачах кинематики сложного движения точки устанавливаются зависимости между абсолютными, относительными и переносными скоростями и ускорениями точки. Для скоростей и ускорений точки приняты следующие обозначения: р и и — скорость и ускорение точки в абсолютном движении; ~, и и, — в относительном движении; й, и а, — в переносном движении; а~ = 2(оз, и ~,) — ускорение Кориолиса; Б, — угловая скорость переносного движения.

Теоремы о сложении скоростей и ускорений точки в ее сложном движении угВЕРжлаЮт~ Чтс Р =У +ив И а = ггг +а«+ аз* Задачи на сложное движение точки можно условно разбить на два вида— «прямые» и «обратные». 1. В «прямых» задачах известны закон относительного и параметры переносного движений точки. Требуется найти абсолютные скорость и ускорение точки в заданный момент времени г = ~, (см, примеры 5 — 8). 2. В «обратных» задачах известны параметры абсолютного движения точки (полностью или частично) и частично — параметры переносного или относительного движений. Требуется найти кинематические характеристики, оставшиеся неизвестными в абсолютном, относительном и переносном движениях точки (см.

примеры 9 — 15). При решении задач на сложное движение точки необходимо: 1) выбрать подвижную систему отсчета ОХТА, определяющую переносное движение точки (за неподвижную систему координат О,х3уз принимаем систему отсчета, связанную с опорами механизма); 2) найти положение точки (механизма) в заданный момент времени 1 = ~1 в подвижной или в неподвижной системах отсчета. В предлагаемых в учебной литературе задачах в качестве подвижной системы отсчета обычно выбирают оси, связанные с подвижным телом (стержнем, катком, шаром, конусом и т. д.), по которому движется точка М. Если же задан механизм, в котором точка М является точкой касания двух звеньев (1 и 2), то необходимо выделить звено, с которым точка совершает абсолютное движение (например, звено 2), тогда подвижные оси следует связать с другим звеном— звеном 1 (см.

пример 10). 2. Ускорение Кориолиса Ускорение Кориолиса отражает взаимное влияние относительного и переносного движений: Жс 2(Бе у~ ~~ ) о~ 2~од ~к~ з1п(Бе * зуу ) (1) Лример 1. По ободу полукруга (рис. 3), вращающегося вокруг диаметра с угловой скоростью а=2рад~с, движется .точка М с относительной скоростью ~„= 0„4 м/с . Определить для двух заданных положений точки М(М1 и Мз) ускорения Кориолиса (а~ и а~) . Связав подвижную систему отсчета ОХИ с полукругом, для переносного вращательного движения получаем в, = а „тогда, согласно (1), (2), а~ = 2(Б, хч„), а~ =2а, ч„зш60'= 2 2.0,4 0,5 /3 =0,8 ГЗ = 1,4 мус~, ~уоз (~се з; )з ~~ч 2 ое ~у)" зш 0 Оз ~уу ~~ "оа' а, определяется по модулю и направлению по правилу векторного произведения или по правилу Н.Е.

Жуковского (рис. 2): где ~„=~„з1п(й„,~,) =~, зша. Пример 2. Треугольная пластинка (рис. 4) вращается вокруг оси 0(я), перпендикулярной плоскости чертежа, с угловой скоростью в, По краю треугольника движется точка М с относительной скоростью ~у, = и. Определить Пнк указанного попонеккк тонка Муекоренне Йф Кориолиса. б, Подвижную систему отсчета ОХУУ свяжем с пластинкой, тогда а = в, и а~ — — 2Б, х~~„.

а~ =2ш, ~у„з1п90'=2а и, Х Пример 3. Трубка 1 (рис. 5) шарнирно связана с кривошипами 2 и 3 длиной у, вращаю- Рис. 4 щимися вокруг осей б',(з) и Оз(я), перпендикулярных плоскости чертежа, с угловой скоростью в. По трубке движется точка М с относительной скоростью ~,. Определить кориолисово ускорение точки М. Связав подвижную систему отсчета (ОХТУ) с трубкой„убеждаемся, что переносное движение — поступательное движение трубки 1 со скоростью ч, = м, = а1. Тогда а, = О и а, =О.

(3) а„= 2а, х ~, = 2 а, а„а ~х%' ~х, иьг =2(уьтаг -у,.газ) =2а,ъ~„з!п(хз1Й~3; (4) ! ! л~г =-2(~хах -абхаз) =2а,~,зшасоз13; лЫ = 20,гах "хаг) =--2аЮ созпз1Ф Пример 4, Найдем а„в случае движения точки М по произвольной относительной траектории на вращающейся сфере (рис, 6). Введем географически ориентированную подвижную систему координат МХАХ, где ось МХ направлена по касательной к меридиану на север, МУ вЂ” по касательной к параллели на запад, а МЕ- по радиусу сферы вверх.

С плоскостью экватора ось МЕ составляет угол а (широта места) (рис. б, а). Обозначим курс точки М через р (угол между относительной скоростью ~„и направлением на север) (рис, б, б). Тогда где ах =а,соза, аг=0, ах =а,зша, ~„х- — ~„соз13, ~,„=-~„з|п13, ~,з =О, Раскрывая определитель (3), полу ьзем: Можно убедиться, что модуль горизонтальной составляющей а, не зависит от направления движения точки, а зависит от широты места а и модуля скорости ~,; В заключение следует заметить, что ускорение Корнолиса зависит от выбора подвижной системы отсчета (см.пример 13). 2. ПРИМЕРЫ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ 1. Последовательность решения «прямой» задачи Пример 5, Квадратная пластинка (рис, 7, а) со стороной 1=0,3 м вращается вокруг вертикальной оси Оз по закону э=21 (р — в рад,1 — во), По диагонали пластинки движется точка М по закону МсМ = з(~) = 0,1Д(3~-~2) (з — в и, г — в с).

Найти абсолютные скорость и ускорение точки Мв момент времени г, =1 с. Реиселие, Свяжем с опорами 0,02 неподвижную систему отсчета 0,9г, а с пластинкой — подвижную систему координат ОХИ (рис. 7, б). Тогда дввкение точки М по пластинке является относительным движением, а вращение пластинки вокруг оси О,х — переносным, Относительное движение (мысленно можно представить, что пластинка не вращается): траектория относительного движения — прямая, т. е, диагональ пластинки; за время 1, =1 с точка М переместилась вдоль прямой на расстояние МсМ=О,1/2(3~-~т)~,, =0,2 Г2 м. Бе относительная скорость ~„"=я= = 0,1ч*2(3-2т)~,, = 0,1ч'2 мй > О, относительное ускорение(рис. 7, б) а, = а„' = з = ~„= = — 0,2 /2 м/с = сопз1 < О. По теореме о сложении ускорений а =а,+а,+а~ или а =а„"+а,"+а~, где а~ — — 2й,х~„,согласно(1) а~ — -2в, ~„з1п135'=2 2 0,1/2з1п45'=0,4м/с .

Ускорение Кориолиса направлено в соответствии с правилом Жуковского (нли векторного произведения). Модуль вектора а получим с помощью его проекций на подвижные оси: 2 2 2 П~+ПГ+азэ Д где пл = п~ = 0т4м/с э "у = се иусоз45 = 0тз-0т2/2 — =-1,0м/с; аз = а„зш45'=02~Г2 — =0,2 и/с2, а= (04)2+(10) +(0,2)2 =1,1м/с2. 2.

Примеры «прямыки задач Пример 6. Диск радиусом Л = 0,4 и вращается вокруг оси 0~(г) (рис. 8, а) по закону ср(/) = 0,5/+/ (~р- в рад, 2 — в с). По его ободу движется точка М по закону МсМ =х(г) =кЮ~ (з — ам, / — вс). Найти абсолютные скорость и ускорение точки М в момент времени 21 = 1 с и /2=1,225 с, Рис. 7 Таким образом, относительное движение — равнозамедленное. Переносное движение. Пластинка вращается с постоянной угловой скоростью а, =с1„=ф=2 рад/с =сопз1>0 (в =й, =О) в сторону положительного отсчета угла у(/). Переносными скоростью и ускорением точки М называ~от скорость и ускорение той точки (А) подвижной системы отсчета, с которой точка М в данный момент врсмспн (/1) совпала', где Ь, -ртасстояниеточкиМдооснвращения; Ь,=МсМ~, „соз45 =0,2 /2 — =0,2 и; ' с /2 ~„=С2, Ь,~, „=2 0,2=0,4м/с, Переносная скорость направлена перпендикулярно пластинке в соответствии с круговой стрелкой ву,.

ПсрСНОСНОЕ уокорсПИЕ Юр тче + Юм т ПОСКОЛЬКУ Яр Оэ то Ид Пд Сз Ь = 4 0,2 = 0,8 и/с направлено к оси вращения, Абсолютное движение, По теореме о сложении скоростей Г = м„+ й„причем в этот эопооо т„.~1,, поэтому т = Д от, = тп,т./т) э т0,4у = 0,42 мто. Ряс. 8 3 МоМ! ~5! )с ))я и МоМз ~))м!,2250 )," =я =2лЯ/>О,' для точки М2 (см. рис, 8, г) 'и ="г=" ' Йя =йса = й. + а„+йс, а'=е =2,5м/с =сопз1>0. 2 ) В переносном движении Проецируя (6) на осн ОХ и ОУ, получаем а =а," -а~ =23,7-18,2=5,5 м/с; 2, =а,~, Ь, =2,5 0,4Л=Л2 м/с", а2 =а,' = 2,5 и/с ; а,'=з, Ь, =2 0,4Л2=0,8Л2=1„13 м/с2.

))) Уса У + 2) 0,! 1,81 м/с; а, =й,"+й,'+й,"+й'+а,), )о Ре)аение. Связав подвижную систему отсчета ОХУ (рис. 8, б) с диском, для точки М абсолютное движение сложим из относительного (по ободу диска) и переносного — вращения диска вокруг неподвижной оси О)(е). В относительном движении 2а 04=25!а)с!с„', !сам=)03 м)с! а„=а,"са„', а = ф = 0 5+ 2/ (о ~ = 2 5 рад/с > О' е = ф = 2рад/с~ = сопз! > 0 Д/тя точки М) (см, рис. 8, б, е) Ь, =О)М) =Я)/2 — 054Л2 м, а„=а,'+а,', а," =и~~, Ь,=2,5~ 0,4/2=3,54 м/с2; ДляточкиМ2(рис.8,г) Ь,=О, ~, =О, а, =О, В абсолютном движении для точки М, где аг -— 2а, х~„; ая =2и, ),зш90 =2 2,5 2,51=12,55м/с . Проецируя (5) на направления осейХи У(см.