Борисов Ю.А., Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. - Кинематика, страница 4

Свойство равенства проекцийскоростей точек A и B.Отметим, что равенство проекций скоростей v A и vBявляется следствием неизменности расстояния между точкамиA и B, принадлежащими твердому телу. Поэтому указанноесвойство проекций скоростей будет выполняться при любомдвижении твердого тела.2.3.3Определение скоростей точекплоской фигуры с использованием мгновенногоцентра скоростейМгновенным центром скоростей (МЦС) плоской фигурыназывается точка P, скорость которой в данный моментвремени равна нулю: vP = 0 . МЦС может быть конкретной31Кинематика твердого телаточкой плоской фигуры или может располагаться вне плоскойфигуры.

В последнем случае его следует понимать как точкуподвижной плоскости, жестко скрепленной с плоскойфигурой. При движении плоской фигуры положение МЦСможет изменяться как относительно самой фигуры, так иотносительно неподвижной системы отсчета.Использование МЦС упрощает процедуру определенияскоростей точек плоской фигуры. Пусть в данный моментвремени известно положение МЦС (точка P) и известнаугловая скорость ω плоской фигуры (рис. 11).Рис 11. Определение скоростей точек B и Cс использованием мгновенного центра скоростей P.Возьмем точку P для этого момента времени в качествеполюса, скорость которого vP = 0 . Тогда согласно формуле(2.15) скорость какой-либо точки B vB = vP + vBP = vBP .Направление скорости v B перпендикулярно отрезку PB и еемодуль vB = vBA = ω ⋅PB .

Аналогичный результат получаетсядля другой точки C:vC = vCP ; vC = vCA = ω ⋅PC ; (vC ⊥ PC ).Таким образом, скорости точек плоской фигурыпропорциональны их расстояниям до МЦС и определяются вданный момент времени так, как если бы движение фигурыбыло вращением вокруг МЦС.32Кинематика твердого телаМетоды нахождения положения МЦС1). Известен вектор скоростиv A какой-либо точки A плоскойфигуры и ее угловая скоростьω ≠ 0.МЦС (точка P) находится на перпендикуляре к вектору v A ,проведенном через точку A.

Расстояние AP = vA/ω и откладывается в сторону, которую указывает вектор v A послеповорота на угол π/2 в направлении дуговой стрелки ω. Приэтом получается, что скоростьvP = v A + vPA = v A − v A = 0; ( vPA = ω ⋅PA = v A ) .2).

Известны не параллельныедруг другу скорости v A и vBдвух точек плоской фигуры.МЦС (точка P) находится в точке пересечения перпендикуляров, проведенных через точки A и B к скоростям этихточек. Угловая скорость плоской фигурыω = v A / PA = vB / PB .Отметим, что для нахождения только положения МЦСдостаточно знать лишь направления скоростей двух точек.Кинематика твердого тела33Методы нахождения положения МЦС3). Известны параллельныедруг другу скорости v A и vBточек A и B плоской фигуры,перпендикулярные отрезку AB,направленные в одну сторонуи не равные по модулю( v A ≠ vB ) .МЦС (точка P) находится в точке пересечения продолженияотрезка AB и прямой, проведенной через концы векторов v A иvB .

При заданной длине отрезка AB расстояния от МЦС доточек A и B определяются из пропорции: vA : vB = PA : PB.Угловая скорость фигурыω = v A / PA = vB / PB .Случай равенства v A = vB см. п. 6 на с. 34.4). Известны параллельныедруг другу скорости v A и vBточек A и B плоской фигуры,перпендикулярные отрезку AB,направленные в разные стороны.МЦС (точка P) находится в точке пересечения отрезка AB ипрямой, проведенной через концы векторов v A и vB .

Призаданной длине отрезка AB расстояния от МЦС до точек A и Bопределяются из пропорции: vA : vB = PA : PB. Угловаяскорость фигуры ω = v A / PA = vB / PB .34Кинематика твердого телаМетоды нахождения положения МЦС5). Плоская фигура катитсябез скольжения по неподвижной кривой.МЦС (точка P) находится в точке соприкосновения фигуры скривой, так как скорости точек фигуры и неподвижной кривой,находящиеся в соприкосновении, равны между собой и,следовательно, равны нулю. Если известна скорость какойлибо точки A фигуры, то угловая скорость ω = v A / PA .6). Известно, что скоростиv A и vB двух точек плоскойфигуры параллельны другдругу и не перпендикулярныотрезку AB.МЦС в данный момент времени не существует или, другимисловами, находится в бесконечности.

Угловая скоростьплоской фигуры в данный момент равна нулю. Движениефигуры называется мгновенно-поступательным. Скоростивсех точек фигуры равны ( v A = vB ) .Аналогичный результат получается в случае равенства v A = vB(см. п. 4 на с. 33).Кинематика твердого тела2.3.435Определение ускоренийточек плоской фигурыРассматривая плоское движение плоской фигуры каксумму поступательного движения, при котором все точкифигуры движутся с ускорением a A полюса A, и вращательногодвижения вокруг этого полюса, получаем формулу дляопределения ускорения какой-либо точки B плоской фигуры ввидевц .a B = a A + a BA = a A + a BA+ a BA(2.18)Здесь a A = v& A = &r&A - ускорение полюса A; a BA - ускорениевращательного движения точки B вокруг полюса A, котороекак в случае вращения тела вокруг неподвижной оси векторновскладывается из вращательного ускорения a BAи центроц .

Модули этих ускоренийстремительного ускорения a BAопределяются по формуламвa BA= ε ⋅ AB;цa BA= ω 2 ⋅ AB ,(2.19)где ω = ϕ& - модуль угловой скорости плоской фигуры; ε = ϕ&& вмодуль углового ускорения. Вращательное ускорение a BAнаправлено перпендикулярно отрезку AB в сторону дуговойц направленострелки ε , а центростремительное ускорение a BAпо линии AB от точки B к полюсу A (рис. 12). Модуль полногоускорения a BA точки B относительно полюса A в силу условиявц вычисляется по формулеa BA⊥ a BAв 2ц 2a BA = ( a BA) + ( a BA) = AB ε 2 + ω 4 .(2.20)36Кинематика твердого телаРис 12. Определение ускорения точки Bс использованием полюса A.Для нахождения ускорения a B по формуле (2.18)рекомендуется использовать аналитический способ. В этомспособе вводится прямоугольная декартова система координат(система Bxy на рис.

12) и вычисляются проекции a Bx , a Byискомого ускорения как алгебраические суммы проекцийускорений, входящих в правую часть равенства (2.18):вццa Bx = ( a A ) x + ( a BA) x + ( a BA) x = a Acosα − a BA;a By = ( a A ) y +в( a BA)y+ц( a BA)y= a A sin α +вa BA,(2.21)где α - угол между вектором a A и осью Bx. По найденнымпроекциям можно изобразить на рисунке вектор a B и найтиего модуль22a B = a Bx+ a By.(2.22)Изложенный способ определения ускорений точекплоской фигуры применим для решения задач, в которыхзадано движение полюса A и угол поворота фигуры37Кинематика твердого телауравнениями (2.14). Если зависимость угла поворота отвремени неизвестна, то для заданного положения фигурыприходится определять мгновенную угловую скорость имгновенное угловое ускорение.

Способы их определениярассматриваются далее в примерах выполнения задания 2.Отметим также, что при определении ускорений точекплоской фигуры может использоваться мгновенный центрускорений – точка, ускорение которой в данный моментвремени равно нулю. Однако применение мгновенного центраускорений связано с довольно трудоемкими методаминахождения его положения, поэтому определение ускоренийточек плоской фигуры рекомендуется выполнять по формуле(2.18).2.4 Задание 2. Определение скоростей и ускоренийточек плоского механизмаМеханизмы (см.

с. 5) называются плоскими, если все еготочки движутся в одной или в параллельных друг другуплоскостях, иначе механизмы называются пространственными.В задании 2.1 рассматриваются планетарные механизмы,в задании 2.2 – кривошипно-позунные механизмы, а в задании2.3 помимо названных двух типов изучается движениемеханизмов других типов.

Большинство рассматриваемыхмеханизмов являются механизмами с одной степенью свободы,в которых для определения движения всех звеньев нужнозадать закон движения одного звена.Задание 2.1В планетарном механизме (рис. 13) кривошип 1 длинойOA = 0.8 (м) вращается вокруг неподвижной оси O,перпендикулярнойплоскостирисунка,позакону2ϕOA (t ) = 6t − 2t (рад).

В точке A кривошип шарнирно соединенс центром диска 2 радиуса r = 0.5 (м), находящегося вовнутреннем зацеплении с неподвижным колесом 3, соосным с38Кинематика твердого телакривошипом OA. На диске 2 в момент времени t1 = 1 (с) заданаточка B, положение которой определяется расстоянием AB =0.5 (м) и углом α = 135°. (В заданный момент времени угол αотсчитывается от оси Ax в направлении против хода часовойстрелки при α > 0 или в противоположном направлении приα < 0).Рис 13. Планетарный механизм испособ задания положения точки B.Определить в момент времени t11) скорость точки B двумя способами: с использованиеммгновенного центра скоростей (МЦС) диска 2 и с использованием полюса A;2) ускорение точки B с использованием полюса A.Решение.1) Определение скорости точки B.Вначале требуется выполнить графическое изображениемеханизма в выбранном масштабе (например, в 1 см рисунка –0.1 м отрезка OA и радиуса r) и показать заданное положениеточки B (рис. 14).Кинематика твердого тела39Рис 14.

Определение скорости точки B с использованиеммгновенного центра скоростей Р и полюса А.По заданному закону вращения кривошипа ОА найдемскорость центра А диска 2. Определяем угловую скоростькривошипа в заданный момент времени t1 = 1 (c):ωOA = ϕ&OA = (6t − 2t 2 &) = 6 − 4t ; ωOA (t1 ) = 2 ( рад / с ).Полученная величина ωOA (t1 ) является положительной, поэтому дуговую стрелку ωOA направляем против хода часовойстрелки, то есть в положительном направлении отсчета.Вычисляем модуль скоростиv A = ωOA (t1 ) ⋅ OA = 2 ⋅ 0.8 = 1.6 (м/с)и строим вектор скорости v A перпендикулярно ОА в сторонудуговой стрелки ωOA .40Кинематика твердого телаВ случае, когда ωOA (t1 ) получается отрицательной,дуговая стрелка ωOA и вектор v A изображаются в противоположных направлениях, а для расчета v A используетсямодуль ωOA (t1 ) .Мгновенный центр скоростей (точка Р) диска 2 расположен в точке его соприкостновения с колесом 3 (см.