Борисов Ю.А., Кривошеев А.Г., Мельников Г.И. - Кинематика

Министерство образования Российской ФедерацииСанкт-Петербургский государственный институтточной механики и оптики (технический университет)Кафедра теоретической физики и механикиЮ.А. Борисов, А.Г. Кривошеев, Г.И. МельниковТеоретическая механикаЧасть I. КинематикаСборник заданийдля самостоятельной работы студентовПод общей редакцией проф. Г.И. МельниковаСанкт - Петербург2002УДК 531.2Борисов Ю. А., Кривошеев А. Г., Мельников Г.

И.Теоретическая механика. Часть I. Кинематика.Сборник заданий для самостоятельной работы студентов/ Под общей редакцией проф. Г. И. Мельникова. СПб: СПбГИТМО(ТУ), - 2002. - 66 с.В пособии излагаются следующие разделы кинематики:кинематика точки, кинематика твердого тела и сложноедвижение точки. Даются основные понятия и сведения изтеории в конспективной форме, а также расчетные формулы.Приведены примеры выполнения типовых расчетнографических работ и исходные данные различных уровнейсложности для самостоятельной работы студентов.Предназначено для студентов всех инженерных специальностей, изучающих курс теоретической механики.Рецензенты:д-р физ.-мат. наук, проф.

М. П. Юшков (СПбГУ),к-т техн. наук, доц. Ю. А. Торопов (СПбГЭТУ).Утверждено к изданию Ученым советоместественнонаучного факультета СПбГИТМО(ТУ),протокол №6 от 21 мая 2002 г. Санкт-Петербургский государственный институтточной механики и оптики (технический университет), 2002 Ю.А. Борисов, А.Г. Кривошеев, Г.И. Мельников, 2002ОГЛАВЛЕНИЕВВЕДЕНИЕ ……………………………………………………... 4ГЛАВА 1. КИНЕМАТИКА ТОЧКИ …………………………… 61.1. Векторный способ задания движения точки ……….… 61.2.

Координатный способ задания движения точки .…….. 71.3. Естественный способ задания движения точки ……… 91.4. Касательное и нормальное ускорение …………………… 111.5. Задание 1. Определение скорости и ускоренияточки по заданным уравнениям ее движения ………….... 12Задание 1.1 ………………………..…………………...… 15Задание 1.2 ………………………………………………... 16Задание 1.3 …………………………..…………………….. 17ГЛАВА 2. КИНЕМАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА ………...…… 202.1. Поступательное движение твердого тела ……………….. 202.2. Вращательное движение твердого тела …………………. 222.3. Плоское движение твердого тела ………………………. 272.3.1. Уравнения движение плоской фигурыв плоскости ….…………………………………………...

272.3.2. Определение скоростей точек плоской фигурыс использованием полюса ……………………………… 282.3.3. Определение скоростей точекплоской фигуры с использованиеммгновенного центра скоростей ………………………… 302.3.4. Определение ускорений точек плоской фигуры ……… 352.4. Задание 2. Определение скоростей и ускоренийточек плоского механизма …………………………...…… 37Задание 2.1 ………………………………………………...

37Задание 2.2 ………………………………………………... 45Задание 2.3 ………………………………………………... 51ГЛАВА 3. СЛОЖНОЕ ДВИЖЕНИЕ ТОЧКИ ……………... 533.1. Теоремы о сложении скоростей и ускорений …………. 533.2. Задание 3. Определение абсолютной скорости иасолютного ускорения точки ………………………….. 55ЛИТЕРАТУРА …………………………………………….…… 624ВведениеВВЕДЕНИЕТеоретическая механика – фундаментальная наука озаконах и уравнениях движения материальных систем (тел,механизмов, приборных устройств, множества частиц и т.д.).Одна из главных задач механики – построение и исследованиематематических моделей объектов с применением символьныхи численных расчетов на компьютере. Во многих практическихзадачах математическими моделями являются алгебраическиеили обыкновенные дифференциальные уравнения, либосистемы таких уравнений.

При исследовании этих моделейиспользуются многие разделы высшей математики.В то же время теоретическая механика направлена наширокое применение в инженерной практике. Математическиемодели, создаваемые на основе механики, служат базой дляанализа и синтеза приборных систем, для выбора оптимальныхзначений параметров механических конструкций. Отметимтакже, что многие приборы и устройства работают напринципах теоретической механики.В данном пособии дано изложение кинематики раздела теоретической механики, в котором содержитсяматематическое описание механических движений объектов. Вкинематике рассматриваются способы задания различныхвидов движения тел и механизмов в виде функциональныхуравнений, а также методы определения по этим уравнениямтраекторий, скоростей и ускорений отдельных точек тел имеханизмов.

В этом разделе механики изучаемое движениесчитается заданным и не рассматриваются причины,вызвавшие это движение, то есть не применяется понятиесилы.5ВведениеВ качестве моделей реальных материальных телиспользуются:• геометрическая и материальная точка – тело, формаи размеры которого в условиях данной задачинесущественны;• абсолютно твердое тело – тело, для которого егоформа и расстояния между любыми его точками неизменяются(илиэтиизменениясчитаютсяпренебрежимо малыми).Твердые тела, связанные друг с другом тем или инымобразом (например, с помощью шарниров) образуютмеханизмы, которые используются с целью преобразованиядвижений одного вида к другому.6Кинематика точкиГЛАВА 1.

КИНЕМАТИКА ТОЧКИРассмотрим движение точки в плоскости относительнопрямоугольной декартовой системы координат Oxy (рис.1).Непрерывная линия AB, которую описывает движущаяся точкас течением времени, называется траекторией. В зависимостиот формы траектории различают прямолинейные икриволинейные движения точки.Рис 1. Векторы скорости и ускорения точки,движущейся в плоскости.Для задания положения движущейся точки используютвекторный, координатный или естественный способызадания движения.1.1 Векторный способзадания движения точкиВ векторном способе задания движения точки ееположение в любой момент времени определяют радиусомвектором r = OM , проведенным из начала координат O вдвижущуюся точку M (рис.1), то есть векторной функциейr = r (t ) .(1.1)7Кинематика точкиКонкретная функция (1.1) определяет закон движения точки ввекторной форме. Вектор r (t ) изменяется в общем случае повеличине и по направлению.Основными кинематическими характеристиками движения точки являются скорость и ускорение, которые являютсявекторными величинами.Скоростью точки называют вектор v , равный первойпроизводной по времени t от ее радиуса-вектора r , то есть отвекторной функции r (t ) :v = r& или v =dr.dt(1.2)Здесь использован принятый в механике символ дифференцирования по времени в виде точки, расположенный наддифференцируемой функцией.Вектор скорости направлен по касательной к траекторииточки в сторону ее движения (рис.1).Ускорением точки называется вектор a , равный первойпроизводной по времени t от ее скорости v или второйпроизводной от ее радиуса-вектора r :a = v& = &r& илиd v d2 r.a==d t d t2(1.3)При криволинейном движении точки в плоскости Oxyускорение расположено в этой плоскости и отклонено отскорости в сторону вогнутости траектории точки (рис.1).

Припрямолинейном движении точки векторы скорости иускорения направлены вдоль траектории в одну сторону илипротивоположные стороны.8Кинематика точки1.2 Координатный способзадания движения точкиВ координатном способе задания движения точкиположение точки в любой момент времени определяетсязависимостями ее декартовых координат от времениx = x(t ),y = y (t ).(1.4)Уравнения (1.4) представляют собой уравнения движенияточки в координатной форме. Они одновременно являютсяуравнениями траектории в параметрической форме, в которыхроль параметра выполняет время t.На основании формулы (1.2) проекции vx , v y скороститочки v равны первым производным по времени отсоответствующих координат точки:dydx, vy =.(1.5)dtdtМодуль скорости v и ее направляющие косинусы определяютсяформуламиvx = x& , v y = y& или v x =v = v x2 + v y2 ; cos(v , x) = v x / v , cos(v , y ) = v y / v .(1.6)Проекции a x , a y ускорения точки на координатные осиравны первым производным по времени от проекций скоростиили вторым производным от соответствующих координатточки:a x = v&x = &x&, a y = v& y = &y& .Модуль ускорения a иопределяются по формулам(1.7)егонаправляющиекосинусыa = a x2 + a y2 ; cos(a , x) = a x / a , cos(a , y ) = a y / a .(1.8)9Кинематика точки1.3 Естественный способзадания движения точкиЕстественный способ задания движения точкииспользуется в тех случаях, когда траектория ее движениязаранее известна.

Если кривая AB является траекторией точкиM (рис.2), то положение точки M на этой траектории можнооднозначно определить криволинейной координатой s.Рис 2. Векторы скорости и ускорения точки приестественном способе задания ее движения в плоскости.Координата s отсчитывается от некоторой фиксированнойточки M 0 (начало отсчета) вдоль траектории и берется ссоответствующим знаком. Чтобы знать положение точки M натраектории в любой момент времени, надо задать зависимостькриволинейной координаты от времениs = s(t) .(1.9)Уравнение (1.9) выражает закон движения точки приестественном способе задания ее движения. Отметим, чтовеличина s в общем случае не равна пройденному точкой пути.10Кинематика точкиСкорость и ускорение точки при естественном способезадания движения определяют по их проекциям на подвижныепрямоугольные оси Mτ n , имеющие начало в точке M идвижущиеся вместе с нею (рис.2).

Ось Mτ направлена покасательной к траектории в сторону положительного отсчетакоординаты s, а ось Mn - по нормали к траектории в сторонуее вогнутости. Орты этих осей обозначим соответственно τ иn.Скорость точки v , направленная по касательной ктраектории, определяется одной проекцией vτ , равной первойпроизводной по времени от криволинейной координаты s:v = vτ τ ,vτ = s& .(1.10)Вектор ускорения a = aτ τ + an n имеет проекцию aτ накасательную, равную первой производной по времени отпроекции скорости vτ или второй производной от координатыs, и проекцию на нормаль an , равную отношению квадратаскорости к радиусу кривизны траектории в данной точке:aτ = v&τ = &s&,an = vτ2 / ρ .(1.11)Величины aτ и an называют касательным и нормальнымускорениями точки.