5. Линейные операторы в евклидовых пространствах. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 2

Согласно теореме 4.5, она линейно независима и является базисом, так как содержит n векторов(см. теорему 1.4). Этот базис является ортогональным, а чтобы его превратить в ортонормированный, достаточно каждый вектор ei нормировать делением на его длину.Таким образом, в условиях теоремы существует базис из собственных векторов самосопряженного оператора A. По теореме 4.6 матрица линейного оператора в базисе из собственныхÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Но так как A является самосопряженным оператором, то (Ax1 , x2 ) = (x1 , Ax2 ).

Значит,ÌÃÒÓÌÃÒÓ(5.5)ÔÍ-12ÔÍ-12(Ax1 , x2 ) = (λ1 x1 , x2 ) = λ1 (x1 , x2 ).ÌÃÒÓÌÃÒÓJ Рассмотрим самосопряженный оператор A и два его собственных вектора x1 и x2 , отвечающие различным собственным значениям λ1 и λ2 . Тогда Ax1 = λ1 x1 и Ax2 = λ2 x2 . ПоэтомуÔÍ-125.3. Собственные векторысамосопряженного оператораСледствие 5.1. Если матрица A является симметрической, то все корни ее характеристического уравнения det(A − λE) = 0 действительные.ÌÃÒÓСледствие 5.2. Самосопряженный оператор, действующий в n-мерном евклидовом пространстве, имеет n собственных значений, если каждое из них считать столько раз, каковаего кратность.Теорема 5.3.

Все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны.ÔÍ-12линейного оператора в ортонормированном базисе совпадает со своей транспонированной (онаявляется матрицей сопряженного оператора). Такие матрицы и называют симметрическими. IÌÃÒÓÌÃÒÓ59ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓP −1 М P = diag (λ1 , . . . , λn ).Последовательность λ1 , .

. . , λn из n чисел представляет собой перечень всех корней характеристического уравнения матрицы M с учетом их кратностей.J Рассмотрим в n-мерном евклидовом пространстве Rn стандартный ортонормированный базис, и пусть матрица M является матрицей в этом базисе некоторого линейного оператора M .Тогда этот оператор будет самосопряженным. По теореме 5.6 для него существует ортонормированный базис, в котором его матрица M 0 имеет диагональный вид M 0 = diag (λ1 , . . . , λn ).Матрица M 0 получается из исходной матрицы M при помощи матрицы перехода P из стандартного базиса в указанный ортонормированный базис: M 0 = P −1 M P .

I5.4. Ортогональные матрицыи ортогональные операторыгде E — единичная матрица.Пример 5.5. Простейшей ортогональной матрицей является единичная матрица E, тактткак E E = EE = E. Напротив, нулевая матрица не является ортогональной: Θ Θ = Θ 6= E.U=cos ϕ − sin ϕsin ϕcos ϕтявляется ортогональной, поскольку U U = E. Это можно проверить непосредственно. #Из определения 5.3 вытекает ряд свойств ортогональных матриц.ттdet(O O) = det O det O = (det O)2 .ÔÍ-12Свойство 5.1. Определитель ортогональной матрицы O может иметь одно из двух возможных значений: det O = ±1.тJ Согласно равенству (5.8), имеем det O O = det E. Вспомнив, что определитель произведения матриц равен произведению их определителей, а при транспонировании матрицыопределитель не меняется, получимÌÃÒÓПример 5.6.

МатрицаÔÍ-12Определение 5.3. Квадратную матрицу O называют ортогональной, если она удовлетворяет условиютO O = E,(5.8)ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Следствие 5.4. Любая симметрическая матрица M порядка n подобна некоторой диагональной, т.е. существует такая невырожденная матрица P порядка n, чтоÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 5.6. Для любого самосопряженного оператора A существует ортонормированныйбазис, состоящий из собственных векторов этого линейного оператора. Матрица A самосопряженного оператора A в этом базисе имеет диагональный вид, на ее диагонали расположенысобственные значения оператора A, повторяющиеся столько раз, какова их кратность. #ÌÃÒÓÔÍ-12Хотя все корни характеристического уравнения самосопряженного оператора действительны(см.

теорему 5.3), среди них могут быть кратные, и тогда теорема 5.5 неприменима. Однакои в этом случае матрица самосопряженного оператора в некотором базисе имеет диагональныйвид.ÔÍ-12ÌÃÒÓвекторов является диагональной, а диагональные элементы матрицы представляют собой собственные значения. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ60ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5.

ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓÌÃÒÓ61Так как det E = 1, то и (det O)2 = 1. Следовательно, det O = ±1. IСвойство 5.2. Матрица, обратная к ортогональной матрице O, совпадает с ее транспонитрованной матрицей, т.е. O−1 = O .J Согласно свойству 5.1, ортогональная матрица невырождена и потому имеет обратную матрицу O−1 .

Умножая равенство (5.8) справа на матрицу O−1 , получаемÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХтJ Нужно для произвольной ортогональной матрицы O доказать равенствот т т(5.9)(O ) O = E,тпредставляющее собой запись соотношения (5.8) для матрицы O . Так как, согласно свойствут ттоперации транспонирования, (O ) = O, равенство (5.9) эквивалентно равенству OO = E,которое верно в силу свойства 5.3. IСвойство 5.5. Произведение двух ортогональных матриц O и Q одного порядка являетсяортогональной матрицей.J Для доказательства достаточно проверить выполнение равенства (5.8) для матрицы OQ:тт ттттт(OQ) (OQ) = (Q O )OQ = Q (O O)Q = Q EQ = Q Q = E.В этих выкладках E, как обычно, обозначает единичную матрицу. IСвойство 5.6. Матрица, обратная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.J Согласно свойству 5.1, ортогональная матрица невырождена, а потому имеет обратную.Согласно свойству 5.2, матрица, обратная к ортогональной, совпадает с транспонированной.Наконец, согласно свойству 5.4, матрица, транспонированная к ортогональной, является ортогональной.

IТак как ортогональный оператор сохраняет скалярное произведение, то он сохраняет норму(длину) вектора и угол между ненулевыми векторами. Действительно,kAxk2 = (Ax, Ax) = (x, x) = kxk2 .ÔÍ-12Определение 5.4. Линейный оператор A: E → E, действующий в евклидовом пространстве E, называют ортогональным оператором (или ортогональным преобразованием), если он сохраняет скалярное произведение в E, т.е. для любых векторов x, y ∈ Eвыполняется равенство(Ax, Ay) = (x, y).(5.10)ÌÃÒÓПример 5.7.

Рассмотрим матрицу U из примера 5.6. Так как она ортогональна, то обратную матрицу легко найти, используя свойство 5.6:cos ϕ sin ϕт−1U =U =.− sin ϕ cos ϕÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Свойство 5.4. Матрица, транспонированная к ортогональной матрице, тоже является ортогональной.ÌÃÒÓÌÃÒÓтJ Согласно свойству 5.2 и определению обратной матрицы, OO = OO−1 = E. IÔÍ-12ÔÍ-12Свойство 5.3. Произведение ортогональной матрицы O на транспонированную к ней равнотединичной матрице, т.е. OO = E.ÌÃÒÓÌÃÒÓтÔÍ-12ÔÍ-12тоткуда O (OO−1 ) = O−1 .

Но OO−1 = E, поэтому O = O−1 . IÌÃÒÓÌÃÒÓ(O O)O−1 = EO−1 ,ÌÃÒÓТеорема 5.8. Если матрица линейного оператора в некотором ортонормированном базисеортогональна, то этот оператор является ортогональным. Наоборот, матрица ортогональногооператора в любом ортонормированном базисе является ортогональной.J Выберем в евклидовом пространстве E любой ортонормированный базис e. Тогда для любых векторов x и y, имеющих в этом ортонормированном базисе e столбцы координат x итy соответственно, выполнено равенство (x, y) = x y (это запись скалярного произведения вортонормированном базисе, см.

2.7).Пусть матрица A линейного оператора A в ортонормированном базисе является ортогональтной. Тогда выполняется соотношение A A = E. Следовательно, равенствотт ттттт(Ax) (Ay) = (x A )(Ay) = x (A A)y = x Ey = x y(5.11)Теорема 5.9. В евклидовом пространстве матрица перехода от одного ортонормированного базиса к другому является ортогональной.ÔÍ-12J Рассмотрим в произвольном n-мерном евклидовом пространстве E два ортонормированныхбазиса b = (b1 . .

. bn ) и e = (e1 . . . en ). Пусть U — матрица перехода от b к e.Как следует из определения 1.6, столбцы e1 , . . . , en матрицы перехода U — это столбцыкоординат векторов нового базиса e относительно старого базиса b, т.е. U = (e1 . . . en ), гдеei = bei , i = 1, n. Поэтому  тттт e1e1 e1 e1 e2 . . . e1 en10...0 т тe т e2 e1 eт2 e2 . . . eт2 en  2  (e e 0 1 ... 0 .U U =...e)==12n .. . .

. . . . . . . . . .   . . . . . .  . ттт0 0 ... 1тen e1 en e2 . . . en enenÌÃÒÓКак ранее доказано (см. лемму в 5.1), из этого равенства, выполняющегося для любых столбцовтx и y, следует равенство матриц A A = E, что и означает ортогональность матрицы A. IÔÍ-12верно для любых столбцов x и y. Но это равенство представляет собой матричную записьравенства скалярных произведений (Ax, Ay) = (x, y) для векторов x и y, имеющих столбцы координат x и y в этом же ортонормированном базисе. Мы приходим к заключению, чтооператор A ортогональный.Докажем обратное утверждение теоремы.