5. Линейные операторы в евклидовых пространствах. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 3

В любом ортонормированном базисе соотношениетт(Ax, Ay) = (x, y) в координатах имеет вид (Ax) (Ay) = x y, откуда, согласно (5.11), следует,чтот тттx (A A)y = (Ax) (Ay) = x Ey.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 5.7 позволяет привести примеры ортогональных операторов. В пространствах V2 иV3 свободных векторов ортогональными являются линейные операторы, сохраняющие расстояние. Например, линейный оператор поворота вектора на фиксированный угол (см. пример 3.3)является ортогональным, так как при таком повороте длины векторов не изменяются. Линейный оператор симметрии относительно прямой на плоскости или относительно плоскости впространстве также является ортогональным.ÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 5.7.

Если линейный оператор A: E → E в евклидовом пространстве E сохраняетевклидову норму: kAxk = kxk, x ∈ E, то этот оператор ортогональный. #ÌÃÒÓÌÃÒÓМенее очевидно, что верно и обратное утверждение.ÌÃÒÓÔÍ-12(Ax, Ay)(x, y)\dy).cos(Ax,Ay) === cos(x,kAxk kAykkxk kykÔÍ-12ÌÃÒÓОтсюда, в частности, следует, что если векторы x и y ненулевые, то и векторы Ax и Ayненулевые.

При этомÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ62ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Замечание 5.1. Иногда говорят, что ортогональная матрица состоит из ортонормировантных столбцов и строк. Эта терминология мотивируется следующим. Равенства O O = E,тOO = E, верные для любой ортогональной матрицы, означают, что системы столбцов и строкматрицы O, рассматриваемых как элементы n-мерного линейного арифметического пространства, являются ортонормированными. #ÌÃÒÓ5.5. Приведение симметрической матрицык диагональному видуÔÍ-12Теорема 5.10. Для любой симметрической матрицы M существует такая ортогональнаятматрица U , что U M U = Λ, где Λ = diag (λ1 , . . .

, λn ) — диагональная матрица, диагональными элементами которой являются собственные значения матрицы M , повторяющиеся согласноих кратности.J Доказательство теоремы основано на следствии 5.4, теореме 5.9 и свойстве 5.2. Согласноследствию 5.4, для симметрической матрицы M порядка n существует такая невырожденнаяматрица P , что P −1 М P = Λ = diag (λ1 , . . .

, λn ), где в последовательности λ1 , . . . , λn указанывсе собственные значения матрицы M с учетом их кратностей. Из доказательства того жеследствия вытекает, что P является матрицей перехода между ортонормированными базисами.тПоэтому P — ортогональная матрица (см. теорему 5.9) и P −1 = P (см. свойство 5.2). Следотвательно, P М P = P −1 М P = Λ, т.е. в качестве матрицы U в формулировке теоремы можновзять P . IÔÍ-12Преобразование (5.12) с ортогональной матрицей U иногда называют ортогональнымпреобразованием матрицы A.

Поэтому теорему 5.10 можно сформулировать так: любаясимметрическая матрица ортогональным преобразованием приводится к диагональному виду.Чтобы найти соответствующую матрицу U , о которой говорится в этой теореме, необходимо:1) найти собственные значения матрицы M ;2) для каждого собственного значения найти набор собственных векторов, соответствующих этому собственному значению, при этом эти собственные векторы должны быть линейнонезависимыми и их количество должно равняться кратности собственного значения;3) преобразовать системы собственных векторов, полученные для каждого собственногозначения, в ортонормированные при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12(5.12)ÌÃÒÓÌÃÒÓтA0 = U AU.ÔÍ-12ÔÍ-12Матрица A линейного оператора A при замене базиса преобразуется согласно формулеA0 = U −1 AU , где U — матрица перехода (см.

теорему 3.5). Если речь идет об евклидовомпространстве и переходе из одного ортонормированного базиса в другой, матрица переходаU является ортогональной (см. теорему 5.9). Согласно свойству 5.2, такая матрица удовлеттворяет соотношению U −1 = U . Поэтому для случая ортонормированных базисов формулупреобразования матрицы линейного оператора можно записать следующим образом:ÌÃÒÓÌÃÒÓПоследнее равенство в приведенной выкладке следует из того, что столбцы e1 , .

. . , en —это столбцы координат векторов ортонормированного базиса в ортонормированном базисе, атматричное произведение ei ej представляет собой запись в координатах скалярного произведения (ei , ej ), которое в силу ортонормированности базиса e равно нулю при i 6= j и единице приi = j.тМы показали, что U U = E, а это, согласно определению 5.3 ортогональной матрицы, иозначает, что U — ортогональная матрица. IÌÃÒÓÌÃÒÓ63ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓλ3 − 12λ2 + 21λ − 10λ3 − λ2λ −1λ2 − 11λ + 10− 11λ2 + 21λ− 11λ2 + 11λÔÍ-1210λ − 1010λ − 100Получаем разложение(λ − 1)(λ2 − 11λ + 10) = 0,x1 + 2x2 − 2x3 = 0,Ранг матрицы этой системы равен единице (все строки матрицы системы пропорциональны), поэтому можно отбросить второе и третье уравнения, оставив первоеx1 + 2x2 − 2x3 = 0.ÔÍ-122x1 + 4x2 − 4x3 = 0, −2x − 4x + 4x = 0.123ÌÃÒÓоткуда находим оставшиеся два корня λ2 = 1, λ3 = 10.

Таким образом, имеются два собственных значения: 1 кратности 2 и 10 кратности 1.2–3. Найдем для собственного значения λ1,2 = 1 кратности 2 два линейно независимыхсобственных вектора. Для этого нужно найти фундаментальную систему решений однороднойсистемы линейных алгебраических уравнений (A − E)x = 0, т.е. системыÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Это уравнение третьей степени. Так как его коэффициенты являются целыми числами, то целоечисло может быть его корнем лишь в случае, если оно делитель свободного члена.

Поэтому мыможем поискать корни среди чисел ±1, ±2, ±5, ±10. Подстановкой в уравнение убеждаемся,что одним из корней является λ1 = 1.Найденный корень позволяет разложить левую часть характеристического уравнения налинейный и квадратичный множители, например, при помощи деления характеристическогомногочлена на λ − 1 «в столбик»:ÌÃÒÓÌÃÒÓк диагональному виду.1. Находим собственные значения матрицы A.

Для этого составляем ее характеристическоеуравнение2−λ2−2det(A − λE) = 2 5 − λ −4 = −λ3 + 12λ2 − 21λ + 10 = 0. −2−4 5 − λ ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 5.8. Найдем ортогональное преобразование, приводящее симметрическую матрицу22 −25 −4 A= 2−2 −45ÔÍ-12ÌÃÒÓОбъединить ортонормированные системы для каждого собственного значения в единую системувекторов, которая будет ортонормированным базисом евклидова пространства;4) выписать матрицу U , столбцами которой являются координаты векторов построеннойортонормированной системы.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ64ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓНайденные векторы e1 , e2 , e3 образуют ортонормированный базис из собственных векторов.Замечание 5.2.

В случае n = 3 при λ1 = λ2 6= λ3 собственные векторы удобнее с точкизрения экономии вычислений находить в следующем порядке. Сначала для собственного значения кратности 1 (λ3 = 10 в рассмотренном примере) найти собственный вектор и нормироватьÔÍ-12которая и является искомой.Убедиться в том, что матрица U определена правильно, можно при помощи подстановкиматрицы U и заданной матрицы A в следующее тождество:1 0 0тU AU =  0 1 0  .0 0 10ÌÃÒÓ4. Составим из найденных векторов ei матрицу√ −6 2√51 U= √3 42√5  ,3 50 5 −2 5ÔÍ-12В качестве ее фундаментальной системы решений можно взять одно ненулевое решение, напритмер вектор b3 = (1 2 − 2) .

Нормируя этот вектор, получаем11e3 =  2  .3−2ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓДля собственного значения λ3 = 10 система линейных алгебраических уравнений имеет вид(A − 10E)x = 0, или −8x1 + 2x2 − 2x3 = 0,2x1 − 5x2 − 4x3 = 0,−2x1 − 4x2 − 5x3 = 0.ÌÃÒÓÔÍ-12Найденные собственные векторы, соответствующие собственному значению λ1,2 = 1, линейно независимы, но ортогональными не являются. Построим по ним другую, ортонормированнуюпару собственных векторов e1 , e2 при помощи процесса ортогонализации Грама — Шмидта:−21b1= √  1 ,e1 =kb1 k50 21 4 ,g 2 = b2 − (b2 , e1 )e1 =553kg 2 k = √ ,5 21ge2 = 2 = √  4 .kg 2 k3 5 5ÔÍ-12ÌÃÒÓВ качестве независимых переменных выбираем x2 , x3 . Фундаментальную систему решенийсоставляют x2 = 1, x3 = 0, x1 = −2 и x2 = 0, x3 = 1, x1 = 2, т.е. векторы −22b1 =  1  ,b2 =  0  .01ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ65ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5.

ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12его. Обозначим полученный вектор, например, e3 . Затем для собственного значения кратности 2 (λ1,2 = 1 в рассмотренном примере) найти один собственный вектор и нормировать его.Получим вектор e1 . Векторы e1 и e3 будут ортогональными согласно теореме 5.4. Недостающий третий вектор ортонормированного базиса может быть найден при помощи векторногопроизведения: e2 = e1 ×e3 .Описанный прием позволяет избежать процесса ортогонализации.

Точно так же можно неприменять процесс ортогонализации при n = 2, так как, зная один вектор e1 ортонормированного базиса, мы можем получить второй поворотом первого на 90◦ . Для этого достаточнопоменять две координаты вектора e1 местами, а у первой из них к тому же изменить знак.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ66ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПРОСТРАНСТВАХÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 5. ЛИНЕЙНЫЕОПЕРАТОРЫ В ЕВКЛИДОВЫХÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ......................... . . .

.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ..................565658596063ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Линейные операторы в евклидовых пространствах . .Сопряженный оператор . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

.Самосопряженные операторы и их матрицы . . . . . . . . . .Собственные векторы самосопряженного оператора . . . . . .Ортогональные матрицы и ортогональные операторы . . . . .Приведение симметрической матрицы к диагональному видуÔÍ-1267ÌÃÒÓЛекция 5.5.1.5.2.5.3.5.4.5.5.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.