2. Линейные подпространства. Евклидовы пространства. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 4

. . + αk ak ,ÌÃÒÓОртогональность векторов x и y будем обозначать так: x ⊥ y. Отметим, что, согласносвойству 2.3 скалярного умножения, нулевой вектор ортогонален любому другому.Евклидово пространство — это, согласно определению 2.3, частный случай линейного пространства, и поэтому можно говорить о его линейных подпространствах в смысле определения2.1. Каждое из таких линейных подпространств является евклидовым пространством относительно скалярного умножения, заданного в объемлющем евклидовом пространстве.Говорят, что вектор x в евклидовом пространстве E ортогонален подпространствуH, и обозначают x ⊥ H, если он ортогонален каждому вектору этого подпространства.Если H = span {a1 , .

. . , ak }, то условие x ⊥ H равносильно тому, что вектор x ортогоналенкаждому вектору a1 , . . . , ak . Действительно, если x ортогонален H, то, согласно определению,он ортогонален и каждому вектору a1 , . . . , ak . Докажем противоположное утверждение. Пустьx ⊥ ai , i = 1, k, и y ∈ H. Тогда вектор y является линейной комбинацией векторов ai :ÔÍ-12ÌÃÒÓIÌÃÒÓÌÃÒÓ6 (x, x) + 2 kxk kyk + (y, y) = (kxk + kyk)2 .В частности, если векторы x и a ортогональны, то для любого λ ∈ R векторы x и λa тожеортогональны:(x, λa) = λ (x, a) = 0.Рис. 2.4В пространстве V3 ненулевым ортогональным векторам x и y можно сопоставить катеты прямоугольного треугольника, причем так, что ихсумме, построенной по правилу треугольника, будет соответствовать гипотенуза этого прямоугольного треугольника (рис.

2.4). По аналогии сV3 мы назовем в евклидовом пространстве сумму x + y ортогональныхвекторов x и y гипотенузой треугольника, построенного на x и y. Тогда на произвольное евклидово пространство распространяется известнаятеорема Пифагора.ÌÃÒÓÌÃÒÓ(x, y) = α1 (x, a1 ) + . . .

+ αk (x, ak ) = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12и поэтому, согласно свойству 2.4,kx + yk2 = kxk2 + kyk2 .J Здесь под нормой мы, как обычно, понимаем евклидову норму. Выразим левую часть этогоравенства через скалярное произведение и воспользуемся условием ортогональности (x, y) = 0:IÌÃÒÓkx + yk2 = (x + y, x + y) = (x, x) + 2 (x, y) + (y, y) = kxk2 + kyk2 .ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 2.4. Если векторы x и y из евклидова пространства ортогональны, тоÌÃÒÓ(2.7)Умножим это равенство скалярно на какой-либо вектор ei :(α1 e1 + . . . + αi ei + .

. . + αm em , ei ) = (0, ei ) .В силу свойства 2.3 скалярного произведения правая часть полученного равенства равна нулю,и мы, преобразуя левую часть в соответствии со свойством 2.4, получаемα1 (e1 , ei ) + . . . + αi (ei , ei ) + . . .

+ αm (e1 , ei ) = 0.Так как система векторов ортогональна, то все слагаемые слева, кроме одного, равны нулю,т.е.αi (ei , ei ) = 0.(2.8)Так как вектор ei ненулевой, то (ei , ei ) 6= 0 (аксиома 4 скалярного умножения). Поэтому из(2.8) следует, что αi = 0. Индекс i можно было выбирать произвольно, так что на самом делевсе коэффициенты αi являются нулевыми. Мы доказали, что равенство (2.7) возможно лишьпри нулевых коэффициентах, а это, согласно определению 1.2, означает, что система векторовe1 , . . . , em линейно независима. IПример 2.13.

В евклидовом пространстве C[0, π] система функций cos kx, k = 1, n, является ортогональной, поскольку(cos kx, cos lx) =cos kx cos lx dx = 00при k, l = 1, n, k 6= l.Дополнительное требование к нормам векторов в ортонормированном базисе в принципе неявляется существенным, так как любой ортогональный базис легко преобразовать в ортонормированный, умножая векторы на соответствующие нормирующие коэффициенты (разделивÔÍ-12Определение 2.8. Ортогональный базис называют ортонормированным, если каждыйвектор этого базиса имеет норму (длину), равную единице.ÌÃÒÓЕвклидово пространство является линейным пространством.

Поэтому правомерно говорить о его размерности и его базисах. Как и произвольные линейные пространства, евклидовыпространства можно разделить на бесконечномерные и конечномерные.Если базис евклидова пространства представляет собой ортогональную систему векторов,то этот базис называют ортогональным. В силу теоремы 2.5 любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима, и если она в n-мерном евклидовом пространствесостоит из n векторов, то является базисом.В линейном пространстве все базисы равноправны. В евклидовом же пространстве наличиескалярного умножения позволяет выделить среди всех базисов ортогональные и ортонормированные, которые более удобны и играют в линейной алгебре роль, аналогичную роли прямоугольной системы координат в аналитической геометрии.ÔÍ-12ZπÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓα1 e1 + .

. . + αm em = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12J Рассмотрим произвольную ортогональную систему ненулевых векторов e1 , . . . , em . Предположим, что для некоторых действительных коэффициентов α1 , . . . , αm выполняется равенствоÌÃÒÓÌÃÒÓТеорема 2.5. Любая ортогональная система ненулевых векторов линейно независима.ÌÃÒÓÔÍ-12Следующее свойство ортогональной системы является самым важным.ÔÍ-12ÌÃÒÓОпределение 2.7. Систему векторов евклидова пространства называют ортогональной, если любые два вектора из этой системы ортогональны.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ30ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓИспользование ортонормированных базисов облегчает вычисление скалярного произведенияпо координатам векторов. Пусть в евклидовом пространстве E задан некоторый базис e == (e1 , e2 , . . . , en ). Рассмотрим два произвольных вектора x и y в этом пространстве.

Этивекторы представляются в базисе e своими координатами:x = x1 e1 + . . . + xn en ,Запишем эти разложения векторов по базису в матричной форме:  x1y1 ..  .. x = ex, x =  .  ,y = ey, y =  .  .xnynСкалярное произведение векторов x и y может быть выражено через скалярные произведениявекторов базиса:nnn XnX XX(x, y) =xi ei ,yj ej =xi yj (ei , ej ) .i=1 j=1Составив из скалярных произведений базисных векторов квадратную матрицу Γ = (ei , ej )порядка n, мы можем записать скалярное произведение заданных векторов в матричной форме:т(x, y) = x Γy.тт(x, y) = x Ey = x y = x1 y1 + x2 y2 + .

. . + xn yn .а для косинуса угла ϕ между ненулевыми векторами x и y получаем выражениеx 1 y1 + x2 y2 + . . . + xn ynpcos ϕ = p 2.x1 + . . . + x2n y12 + . . . + yn2(2.10)ÔÍ-12В частности, в ортонормированном базисе норма вектора x, которая выражается через скалярный квадрат этого вектора, может быть вычислена по формулеqpp22(2.9)kxk = (x, x) = x1 + . . . + xn = xт x,ÌÃÒÓМатрица Γ является симметрической в силу коммутативности операции скалярного умножения.Ее называют матрицей Грама системы векторов e1 , . . .

, en .Пусть базис e является ортонормированным. Тогда скалярное произведение (ei , ej ) принесовпадающих i и j равно нулю, а скалярные квадраты базисных векторов равны e2i = kei k2 =1. Это значит, что для ортонормированного базиса матрица Γ является единичной. ПоэтомуÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12j=1ÌÃÒÓÌÃÒÓy = y1 e1 + . . . + yn en .ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 2.15. Векторы i, j образуют ортонормированный базис в пространстве V2 свободных векторов на плоскости.

Точно так же векторы i, j, k образуют ортонормированный базисв пространстве V3 .ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 2.14. Система из трех векторов a = (1, 0, −1), b = (1, 0, 1), c = (0, 1, 0) вевклидовом арифметическом пространстве R3 образует ортогональный базис, потому что(a, b) = (a,pc) = (b, c) = 0. √Этот базис не является ортонормированным, так как, например, kak = 12 + 02 + (−1)2 = 2 6= 1. Чтобы этот базиссделать ортонормированным, нужно√векторы a и b разделить на их нормы, т.е. на число 2.ÌÃÒÓÌÃÒÓкаждый вектор базиса на его длину). Однако дополнительная нормировка векторов упрощаетизложение теории.i=1ÔÍ-12ÌÃÒÓ31ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.

ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓ32В ортонормированном базисе e1 , . . . , en также упрощается вычисление координат вектора:они выражаются через скалярные произведения. Если x = x1 e1 + . . . + xn en , то, умноживравенство скалярно на вектор ei , находим, что(x, ei ) = xi ,i = 1, n.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12−31(−1) · 2 + 1 · (−1) + 0 · 1 + 2 · 0p= √ √ =− .cos ϕ = p2222222226 6(−1) + 1 + 0 + 22 + (−1) + 1 + 0ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 2.16. В евклидовом арифметическом пространстве R4 найдем угол между векторами a = (−1, 1, 0, 2) и b = (2, −1, 1, 0). Согласно формуле (2.10),ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ................................

. . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . ........................1919212324272829ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Линейные подпространства. Евклидовы пространстваОпределение и примеры . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .Ранг системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Линейные оболочки и системы уравнений . . . . . . . . . . . .Определение евклидова пространства . . . . . . . . . . . . . .Неравенство Коши — Буняковского . . . . . . . . . . . . . . .Норма вектора .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ортогональные системы векторов . . . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-1233ÌÃÒÓЛекция 2.2.1.2.2.2.3.2.4.2.5.2.6.2.7.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.