2. Линейные подпространства. Евклидовы пространства. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 2
Описание файла
PDF-файл из архива "Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "линейная алгебра и аналитическая геометрия" из 2 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГТУ им. Н.Э.Баумана. Не смотря на прямую связь этого архива с МГТУ им. Н.Э.Баумана, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "лекции и семинары", в предмете "линейная алгебра и фнп" в общих файлах.
Просмотр PDF-файла онлайн
Текст 2 страницы из PDF
Напротив, множество всех монотонных функций, непрерывных на отрезке[0, 1], очевидно, является подмножеством C[0, 1], но не является линейным подпространством,так как сумма двух монотонных функций может и не быть монотонной функцией. #ÌÃÒÓПример 2.3. В линейном пространстве Mn (R) квадратных матриц порядка n линейное подпространство образуют: а) все симметрические матрицы; б) все кососимметрические матрицы;в) все верхние (нижние) треугольные матрицы.
При сложении таких матриц или умножении начисло мы получаем матрицу того же вида. Напротив, подмножество вырожденных матриц неявляется линейным подпространством, так как сумма двух вырожденных матриц может бытьневырожденной матрицей: 1 00 01 0+=.0 00 10 1x = x1 e1 + . . . + xk ek ,ÔÍ-12ÌÃÒÓ21ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2.
ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓт12062031323772.99x1 a1 + x2 a2 = a3 ,которая в координатной форме имеет вид= 3,= 2,= 3,= 7.Из четырех уравнений можно оставить любые два. Используя второе и третье уравнения,находим x1 = 1, x2 = 1 и, следовательно, a3 = a1 + a2 . Аналогично находим и разложениевектора a4 : a4 = a1 + 3a2 .ÔÍ-12x1 + 2x22x13x26x1 + x2ÌÃÒÓВычислив ранг матрицы, убеждаемся, что он равен 2. Таким образом, ранг системы векторовравен 2. Легко проверить, что любой минор второго порядка является базисным. Поэтому базисом линейной оболочки этой системы векторов будут любые два вектора системы. Например,базисом является пара векторов a1 , a2 . По этому базису можно разложить, например, остальные векторы системы. Чтобы найти разложение вектора a3 по базису, достаточно решитьсистему линейных алгебраических уравненийÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓт= (3 2 3 7) , a4 = (7 2 9 9) .
Соответствующая матрица A имеет видÔÍ-12ÔÍ-12Пример 2.6. Пусть даны векторы a1 , a2 , a3 , a4 в четырехмерном линейном пространстветтL, имеющие в некотором базисе столбцы координат a1 = (1 2 0 6) , a2 = (2 0 3 1) , a3 =ÌÃÒÓÌÃÒÓЗамечание 2.1. Как следует из приведенного доказательства, столбцы любого базисногоминора матрицы A отвечают набору векторов системы a, являющемуся базисом в span {a} —линейном подпространстве, порожденном этой системой векторов.ÔÍ-12J Пусть g — некоторый базис в L. Составим по столбцам матрицу A из координат в базисеg векторов ai , i = 1, k. Линейные операции над векторами ai соответствуют таким же линейным операциям над столбцами их координат. Поэтому, согласно следствию 1.1, векторылинейно независимы тогда и только тогда, когда столбцы их координат линейно независимы.По теореме о базисном миноре ранг матрицы A равен максимальному количеству ее линейно независимых столбцов.
Это совпадает с максимальным количеством линейно независимыхвекторов в системе a. Следовательно, утверждения а) и б) теоремы эквивалентны.Выберем в матрице A какой-либо базисный минор и зафиксируем столбцы этого минора(базисные столбцы). Соответствующие им векторы будем называть базисными. По теореме обазисном миноре, во-первых, базисные столбцы линейно независимы и поэтому базисные векторы образуют линейно независимую систему, а во-вторых, все остальные столбцы матрицыявляются линейными комбинациями базисных и поэтому небазисные векторы системы выражаются через базисные. Следовательно, любая линейная комбинация векторов системы a сводитсяк линейной комбинации системы базисных векторов, т.е. любой вектор линейной оболочки системы векторов a выражается через базисные векторы.
Значит, базисные векторы образуютбазис линейной оболочки. Количество базисных векторов, с одной стороны, равно количествубазисных столбцов, т.е. рангу матрицы A, а с другой — совпадает с размерностью линейнойоболочки, т.е. с рангом системы векторов a. IÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ22ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓ2.3. Линейные оболочки и системы уравненийПусть L — n-мерное линейное пространство, в котором фиксирован некоторый базис e == (e1 , a2 , . .
. , en ) и выбраны векторы a1 , . . . , ak , b. Запишем разложение выбранных векторов по базису e:aj = eaj , j = 1, k,b = eb,dim span {a1 , . . . , ak , b} = dim span {a1 , . . . , ak } + 1,поскольку базис подпространства span {a1 , . . . , ak , b} можно получить, добавив вектор b к произвольному базису подпространства span {a1 , . . . , ak }. Следовательно, Rg(A | b) = Rg A + 1.Выясним теперь, что означают эти два случая «на координатном уровне». В первом случаеусловие b ∈ span {a1 , .
. . , ak } означает существование разложенияx1 a1 + . . . + xk ak = b(2.1)ÌÃÒÓтÔÍ-12относительно переменных x = (x1 . . . xk ) , которая в матричной форме имеет вид Ax = b.Существование разложения (2.1) означает, что полученная система имеет решение. Во второмслучае представление (2.1) невозможно, т.е. система (2.2) не имеет решений.Итак, следующие четыре утверждения эквивалентны между собой:– b ∈ span {a1 , . . . , ak };– dim span {a1 , . .
. , ak , b} = dim span {a1 , . . . , ak };– Rg(A | b) = Rg A;– система Ax = b из n линейных алгебраических уравнений относительно k неизвестныхсовместна.Эквивалентность последних двух утверждений составляет содержание теоремы Кронекера — Капелли, которая верна для произвольных СЛАУ. Отметим, что любая система из nлинейных алгебраических уравнений относительно k неизвестных может быть получена какÔÍ-12с некоторыми действительными коэффициентами x1 , . . . , xk . Записывая это векторное равенство в координатной форме, получаем систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)a11 x1 + a12 x2 + .
. . + a1k xk = b1 ,a21 x1 + a22 x2 + . . . + a2k xk = b2 ,(2.2). . . . . . . . . . . . . . . . . .an1 x1 + an2 x2 + . . . + ank xk = bnÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓПо теореме 2.1 заключаем, что Rg A = Rg(A | b).Во втором случае, наоборот, добавление вектора b к системе векторов a1 , . . . , ak приводитк расширению линейной оболочки, причемÌÃÒÓÔÍ-12dim span {a1 , . . .
, ak } = dim span {a1 , . . . , ak , b} .ÔÍ-12ÌÃÒÓтгде aj = (a1j . . . anj ) , j = 1, k, b = (b1 . . . bn ) — столбцы координат соответствующихвекторов. Пусть A — матрица типа n×k, составленная из координатных столбцов векторовa1 , . . . , ak , а (A | b) — матрица, полученная из матрицы A добавлением справа еще одногостолбца b.Для вектора b возможны два случая:1) вектор b принадлежит линейной оболочке span {a1 , .
. . , ak };2) вектор b не принадлежит span {a1 , . . . , ak }.В первом случае добавление к системе векторов a1 , . . . , ak вектора b не приводит к расширению линейной оболочки системы и, следовательно,ÌÃÒÓÌÃÒÓтÔÍ-12ÌÃÒÓ23ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓ2.4. Определение евклидова пространстваПример 2.7. В линейном пространстве V3 было введено скалярное умножение согласноправилуdy),(x, y) = |x| · |y| cos(x,dy — угол между векторами x и y, а |x|, |y| — их длины.
Это умножение удовлетвогде x,ряет приведенным аксиомам скалярного умножения и, следовательно, полностью согласуется сÔÍ-12Скалярное произведение часто обозначают так же, как и произведение чисел, т.е. вместо(x, y) пишут xy. Скалярное произведение вектора на себя называют скалярным квадратом(по аналогии с квадратом числа).ÌÃÒÓОпределение 2.3. Линейное пространство E называют евклидовым пространством,если в этом пространстве задано скалярное умножение, т.е. закон или правило, согласнокоторому каждой паре векторов x, y ∈ E поставлено в соответствие действительное число(x, y), называемое скалярным произведением. При этом выполняются следующие аксиомы скалярного умножения:а) (x, y) = (y, x);б) (x + y, z) = (x, z) + (y, z);в) (λx, y) = λ (x, y), λ ∈ R;г) (x, x) > 0, причем (x, x) = 0 лишь в случае, когда x = 0.ÔÍ-12В линейном пространстве свободных векторов V3 кроме линейных операций рассматривались и другие.
Были введены две операции умножения векторов (скалярное и векторное), длявектора использовалась такая естественная характеристика, как длина (модуль). Взаимноерасположение векторов можно было оценивать с помощью угла между ними.Понятие скалярного произведения вводилось исходя из геометрических свойств свободныхвекторов (длины и угла между векторами). В произвольном линейном пространстве этихсвойств пока нет, и поэтому мы не можем ввести скалярное произведение аналогичным способом. Однако такое произведение можно определить исходя из алгебраических свойств, которыебыли установлены для пространства V3 .ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓзаключаем, что линейная оболочка системы векторов a1 , .
. . , an совпадает со всем линейнымпространством Rn . Из этого следует, что ранг этой системы векторов равен размерности линейного пространства n, а так как в системе ровно n векторов, то она, согласно теореме 2.1,линейно независима. Другими словами, столбцы матрицы A линейно независимы, а матрицаA является невырожденной (теорема о базисном миноре).Таким образом, если квадратная СЛАУ Ax = b имеет решение при любой правой части, томатрица A системы невырождена, а решение системы при любой правой части единственно.ÌÃÒÓÔÍ-12x1 a1 + x2 a2 + . .
. + xn an = b,ÔÍ-12ÌÃÒÓрезультат проведенных рассуждений. Для этого достаточно в качестве векторов a1 , . . . , akрассмотреть столбцы коэффициентов при неизвестных, а в качестве вектора b — столбец свободных членов. Все эти столбцы могут рассматриваться как n-мерные векторы в линейномарифметическом пространстве Rn .Таким образом, теорему Кронекера — Капелли можно переформулировать следующим образом: для того чтобы линейная оболочка системы векторов a1 , .
. . , ak совпадала с линейнойоболочкой расширенной системы a1 , . . . , ak , b, необходимо и достаточно, чтобы были равныразмерности этих линейных оболочек.Предположим, что квадратная СЛАУ Ax = b имеет решение при любом столбце b правыхчастей. Рассматривая столбцы матрицы A и столбец b как элементы a1 , . . . , an , b n-мерноголинейного арифметического пространства и записывая СЛАУ в векторной формеÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ24ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 2. ЛИНЕЙНЫЕПОДПРОСТРАНСТВА.ЕВКЛИДОВЫ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓПример 2.9. В произвольном n-мерном линейном пространстве L всегда можно ввестискалярное произведение, причем различными способами.