1. Линейные пространства. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 4

В матричной записи координат этому соответствует матричная суммастолбцов координат.Аналогично для произвольного действительного числа λÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПример 1.8. Векторы ортонормированного базиса в V3 имеют стандартное обозначение ипорядок: i, j, k. В матричной записи это будет выглядеть так: b = (i j k). Вектор, например,с координатами −1, 2, 2 может быть представлен в виде*−1x = {−1; 2; 2} = −i + 2j + 2k = (i j k) 2  = bx,2ÔÍ-12ÔÍ-12(1.3)ÌÃÒÓÌÃÒÓx = bx.ÌÃÒÓÔÍ-12Тогда разложение x = x1 b1 + .

. . + xn bn вектора x по базису b1 , . . . , bn можно записать какпроизведение матрицы-строки на матрицу-столбец:ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ13J Если вектор a равен линейной комбинации векторов a1 , . . . , ak , т.е.a = α1 a1 + . . . + αk ak ,то его столбец координат a в заданном базисе b равен такой же линейной комбинации столбцовкоординат a1 , . .

. , ak векторов a1 , . . . , ak в этом же базисе:ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓba = a = α1 a1 + . . . + αk ak = α1 (ba1 ) + . . . + αk (bak ) = b(α1 a1 + . . . + αk ak ).Из совпадения коэффициентов двух линейных комбинаций вытекает, что линейная зависимость(независимость) векторов эквивалентна линейной зависимости (независимости) их столбцов координат. IПример 1.9. В линейном арифметическом пространстве Rn векторыe1 = (1, 0, .

. . , 0),e2 = (0, 1, . . . , 0),...,en = (0, 0, . . . , 1)(1.4)образуют базис e = (e1 , b2 , . . . , en ), так как они линейно независимы (см. пример 1.4) и любойвектор x = (x1 , . . . , xn ) ∈ Rn представи́м в виде x = x1 e1 + . . . + xn en . #ÔÍ-12ÔÍ-12Это следует из равенствÌÃÒÓÌÃÒÓa = α1 a1 + . . . + αk ak .a3 = (4, −1, 1)образует базис и найдем в этом базисе координаты вектора c = (2, 1, 3).Для того чтобы доказать, что система векторов a1 , a2 , a3 образует базис, надо убедиться влинейной независимости этих векторов и в том, что любой вектор b = (b1 , b2 , b3 ) ∈ R3 являетсяих линейной комбинацией.В стандартном базисе e в R3 векторы a1 , a2 , a3 , b, c имеют следующие столбцы координат:     124b12a1 = −1 , a2 = 1 , a3 = −1 , b = b2 , c = 1 .201b33и рассмотрим квадратную систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) Ax = b, гдетx = (x1 x2 x3 ) .

Так как det A = −9, то матрица A невырожденная, ее ранг равен 3 и все ееÔÍ-12Из столбцов координат векторов a1 , a2 , a3 составим матрицу1 24A = −1 1 −1 2 01ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12a2 = (2, 1, 0),ÌÃÒÓÌÃÒÓa1 = (1, −1, 2),ÌÃÒÓÔÍ-12Пример 1.10. Покажем, что в R3 система векторовÔÍ-12Замечание 1.3. В линейном арифметическом пространстве Rn для произвольного вектотра x = (x1 , .

. . , xn ) его столбец координат x в стандартном базисе совпадает с x . Как и ваналитической геометрии, удобно при фиксированном базисе отождествлять вектор с его координатами. Для стандартного базиса это равносильно записи вектора не как матрицы-строки, акак матрицы-столбца. Отметим, что запись элементов арифметического пространства в видестолбца не противоречит определению арифметического пространства, понимаемого как множество упорядоченных совокупностей чисел.

Порядок же элементов можно указывать как припомощи записи в строку, так и при помощи записи в столбец.ÌÃÒÓÌÃÒÓБазис (1.4) в пространстве Rn называют стандартным.ÌÃÒÓВ частности, решив СЛАУ Ax = c, которая в координатной форме имеет вид x1 + 2x2 + 4x3 = 2,−x1 + x2 − x3 = 1,2x1 +x3 = 3,находим координаты вектора c в базисе (a1 , a2 , a3 ): x1 = 2, x2 = 2, x3 = −1.1.7. Размерность линейного пространстваЭта важнейшая характеристика линейного пространства связана со свойствами системвекторов в этом пространстве.Определение 1.5.

Максимальное количество линейно независимых векторов в данномлинейном пространстве называют размерностью линейного пространства.который является нулевым (т.е. равен постоянной функции 0), только если все его коэффициенты (они же коэффициенты линейной комбинации) равны нулю. #Теорема 1.4. Если линейное пространство L n-мерно, то любая упорядоченная линейнонезависимая система из n векторов является его базисом.Теорема 1.5. Если в линейном пространстве L существует базис из n векторов, тоdim L = n. #ÔÍ-12Оказывается, что размерность линейного пространства тесно связана с количеством векторов, которое может иметь базис линейного пространства.ÌÃÒÓПример 1.11.

Линейное пространство C[0, 1] функций, непрерывных на отрезке [0, 1](см. 1.1), является бесконечномерным, так как для любого натурального n система многочленов1, x, x2 , . . . , xn , являющихся элементами этого линейного пространства, линейно независима.В самом деле, линейная комбинация этих многочленов, отвечающая набору коэффициентов α0 ,α1 , . . . , αn , есть многочленα0 + α1 x + .

. . + αn xn ,ÔÍ-12Если размерность линейного пространства L равна n, т.е. существует линейно независимаясистема из n векторов, а любая система векторов, содержащая n + 1 вектор или более, линейнозависима, то говорят, что это линейное пространство n-мерно. Размерность такого линейногопространства обозначают n = dim L.Существуют линейные пространства, в которых можно выбрать линейно независимую систему, содержащую сколь угодно большое количество векторов. Такие линейные пространстваназывают бесконечномерными. В отличие от них, n-мерные линейные пространства называют конечномерными.

В этом курсе рассматриваются конечномерные линейные пространства.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓx01 a1 + x02 a2 + x03 a3 = b.ÔÍ-12ÔÍ-12позволяет сделать вывод о выполнении равенстваÌÃÒÓÌÃÒÓa1 x 1 + a2 x 2 + a3 x 3 = bÌÃÒÓÔÍ-12столбцы являются базисными. Поэтому, во-первых, согласно теореме о базисном миноре, этистолбцы линейно независимы, что, согласно следствию 1.1, означает линейную независимостьвекторов a1 , a2 , a3 , а во-вторых, СЛАУ Ax = b при любом столбце b правых частей имееттрешение x = (x01 x02 x03 ) , что после записи этой СЛАУ в векторной формеÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ14ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1.

ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓИз полученного вида находим, что ранг матрицы системы равен 2, в качестве свободных неизвестных можно взять x3 и x4 , а в качестве базисных неизвестных — x1 и x2 . Преобразованнаясистема имеет видx1 − 2x2 + 2x3 − x4 = 0,x2 + x3 + 3x4 = 0.Согласно теории систем линейных алгебраических уравнений, эти два решения линейно независимы, а любое другое решение СЛАУ представляется в виде линейной комбинации x(1) иx(2) . Другими словами, столбцы x(1) и x(2) образуют базис в линейном пространстве решенийрассматриваемой однородной СЛАУ.

Размерность этого линейного пространства равна двум —количеству векторов в базисе.ci = α1i b1 + . . . + αni bn ,i = 1, n.ÔÍ-12В линейном пространстве все базисы равноправны. Тот или иной базис выбирают исходя из конкретных обстоятельств, а может быть, и вообще произвольно. Иногда удобноиспользовать для представления элементов линейного пространства несколько базисов, но тогдаестественным образом возникает задача преобразования координат векторов, которое связанос изменением базиса.Пусть в n-мерном линейном пространстве L заданы два базиса: старый b = (b1 , b2 , . .

. , bn )и новый c = (c1 , c2 , . . . , cn ). Любой вектор можно разложить по базису b. В частности, каждыйвектор из базиса c может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса b:ÌÃÒÓ1.8. Преобразование координат векторапри замене базисаÔÍ-12Полагая x3 = 1, x4 = 0, находим x2 = −1, x1 = −4, а при x3 = 0, x4 = 1 имеем x2 = −3, x1 = −5.Записав найденные решения в виде столбцов, получим фундаментальную систему решений:−4−5 −1  −3 x(1) = x(2) =  1 , 0 .01ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓмножество решений которой образует линейное пространство. Найдем размерность этого линейного пространства и какой-либо базис в нем.Решим эту систему, определив ее фундаментальную систему решений.

Для этого запишемматрицу системы и при помощи элементарных преобразований строк приведем ее к ступенчатому виду:  1 −2 2 −11 −22 −11 −2 2 −1 1 −3 1 −4  ∼  0 −1 −1 −3  ∼  01 13 .2 −5 3 −50 −1 −1 −300 00ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 1.13.

Рассмотрим однородную СЛАУ x1 − 2x2 + 2x3 − x4 = 0,x1 − 3x2 + x3 − 4x4 = 0,2x1 − 5x2 + 3x3 − 5x4 = 0,ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 1.12. В линейном арифметическом пространстве Rn стандартный базис (1.4)состоит из n векторов, поэтому dim Rn = n, что и отражено в обозначении этого линейногопространства.ÌÃÒÓÔÍ-12Из теорем 1.4 и 1.5 следует, что в каждом линейном пространстве любые два базиса содержатодно и то же количество векторов, и это количество равно размерности линейного пространства.ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ15ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓЗапишем эти представления в матричной форме:α1ici = b  ...  ,αniÔÍ-12ÌÃÒÓ16ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓi = 1, n,илиСогласно данному определению, i-й столбец матрицы перехода есть столбец координат i-говектора нового базиса в старом.

Поэтому говорят, что матрица перехода состоит из координатвекторов нового базиса в старом, записанных по столбцам.Обсудим некоторые свойства матрицы перехода.1◦ . Матрица перехода невырождена и всегда имеет обратную.J Действительно, столбцы матрицы перехода — это столбцы координат векторов нового базисав старом. Следовательно, они, как и векторы базиса, линейно независимы. Значит, матрица Uневырожденная и имеет обратную матрицу U −1 . I2◦ .

Если в n-мерном линейном пространстве задан базис b, то для любой невырожденнойквадратной матрицы U порядка n существует такой базис c в этом линейном пространстве,что U будет матрицей перехода от базиса b к базису c.J Из невырожденности матрицы U следует, что ее ранг равен n, и поэтому ее столбцы, будучи базисными, линейно независимы. Эти столбцы являются столбцами координат векторовсистемы c = bU . Линейная независимость столбцов матрицы U равносильна линейной независимости системы векторов c.