1. Линейные пространства. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций)

ÔÍ-12ÌÃÒÓМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. Êàíàòíèêîâ, À.Ï. ÊðèùåíêîÌÃÒÓÀËÃÅÁÐÀÔÍ-12Ýëåêòðîííîå ó÷åáíîå èçäàíèåÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ËÈÍÅÉÍÀßÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÓ÷åáíîå ïîñîáèå ïî äèñöèïëèíå<Ëèíåéíàÿ àëãåáðà è ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõ>äëÿ ñòóäåíòîâ âñåõ ñïåöèàëüíîñòåéÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12МоскваÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 1ÔÍ-123ÔÍ-12Элементы линейного пространства принято называть векторами.

Элемент 0, существование которого постулируется аксиомой в), называют нулевым вектором, а элемент (−x) —вектором, противоположным к вектору x.В понятии «линейное пространство» важно не только рассматриваемое множество L, но изаданные операции сложения элементов и умножения на число. Одно и то же множество Lпри одних операциях может быть линейным пространством, а при других — нет.

Фактически линейным пространством является совокупность (L, +, ·) из множества элементов и двухопераций, которая удовлетворяет условиям определения 1.1. В этой тройке объектов базовымвсе-таки является множество L, так как операции вводятся именно на этом множестве. Поэтому понятие линейного пространства обычно ассоциируют с множеством элементов L и говорят,ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Определение 1.1. Множество L элементов x, y, z, . . .

любой природы называют линейным пространством, если выполнены три условия:1) задано сложение элементов L, т.е. закон, по которому любым элементам x, y ∈ Lставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый суммой элементов x и y и обозначаемый z = x + y;2) задано умножение элемента на число, т.е. закон, по которому любому элементуx ∈ L и любому числу λ ∈ R ставится в соответствие элемент z ∈ L, называемый произведением элемента x на (действительное) число и обозначаемый z = λx;3) указанные законы (линейные операции) подчиняются следующим аксиомам линейного пространства:а) сложение коммутативно: x + y = y + x;б) сложение ассоциативно: (x + y) + z = x + (y + z);в) существует такой элемент 0 ∈ L, что x + 0 = x для любого x ∈ L;г) для каждого элемента x множества L существует такой элемент (−x) ∈ L, что x ++ (−x) = 0;д) произведение любого элемента x из L на единицу равно этому элементу: 1·x = x;е) умножение на число ассоциативно: λ(µx) = (λµ)x;ж) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по числам: (λ+µ)x == λx + µx;з) умножение на число и сложение связаны законом дистрибутивности по элементам:λ(x + y) = λx + λy.ÌÃÒÓÌÃÒÓЦентральное место в линейной алгебре занимает следующее понятие.ÔÍ-12ÔÍ-121.1.

Определение линейного пространстваÌÃÒÓÌÃÒÓАксиомы и примеры линейных пространств. Линейно зависимые и линейно независимые векторы. Критерий линейной зависимости, его следствия. Определение базиса и размерностилинейного пространства. Теоремы о базисе и размерности (без док-ва).

Теорема о единственности разложения по базису. Координаты вектора. Линейные операции над векторами вбазисе. Матрица перехода к новому базису. Преобразование координат вектора при переходек новому базису.ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓλx = (λx1 , . . . , λxn ),ÔÍ-12Пример 1.2. На множестве Rn = {x: x = (x1 , . . . , xn )}, элементами которого являютсяупорядоченные совокупности n произвольных действительных чисел, введем операцииλ ∈ R.ÔÍ-12Тогда получим линейное пространство, так как все аксиомы линейного пространства для данных операций выполняются. Это линейное пространство, по сути, есть линейное пространствоматриц-строк. Отличие лишь формальное, так как первое определено как множество упорядоченных наборов чисел, а второе как множество матриц.

Но элементы матрицы всегдазаписывают в определенном порядке. Линейное пространство Rn называют линейным арифметическим пространством.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ1) множество V3 (V2 ) всех свободных векторов в пространстве (на плоскости) с линейнымиоперациями над векторами — линейное пространство, так как верны все аксиомы линейногопространства;2) множество всех геометрических векторов в пространстве с началом в данной точке ипараллельных данной плоскости (рис. 1.1) с линейными операциями над векторами являетсялинейным пространством;3) множество Mmn (R) матриц типа m×n, элементами котоOрых являются действительные числа, с линейными операцияминад матрицами также удовлетворяет всем аксиомам линейногоРис. 1.1пространства;4) множество матриц-строк (матриц-столбцов) длины (высоты) n является линейным пространством относительно матричных операций сложения и умножения на число (это частныйслучай предыдущего примера);5) множество Kn [x] многочленов переменного x степени, не превышающей n, которые какфункции можно складывать и умножать на действительные числа;6) множество всех решений данной однородной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ).

Решения можно рассматривать как матрицы-столбцы, складывать и умножатьна числа по законам матричных операций. Столбец, получаемый в результате сложения решений или умножения решения на число, снова будет решением системы. Поэтому определеныоперации, о которых говорится в определении 1.1, подчиняющиеся аксиомам линейного пространства;7) множество функций, непрерывных на отрезке, с обычными операциями сложения функцийи умножения функции на число. При сложении непрерывных функций получаем непрерывнуюфункцию, при умножении непрерывной функции на число также получаем непрерывную функцию. Поэтому сложение функций и умножение функции на число, не выводящие за пределымножества непрерывных на отрезке функций, можно рассматривать как операции линейногопространства.

Легко убедиться, что для этих операций верны все аксиомы линейного пространства.ÔÍ-12ÔÍ-12Пример 1.1. Приведем примеры линейных пространств:ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ4что L — линейное пространство. При этом, как правило, очевидно, что понимается под операциями линейного пространства. Если же требуется явно указать используемые операции, тоговорят: множество L — линейное пространство относительно таких-то операций.Согласно определению 1.1 линейного пространства L сумма определена для любых элементов из L и всегда является элементом множества L.

Подчеркивая последнее, говорят, чтомножество L замкнуто относительно операции сложения. Аналогично, согласнотому же определению, множество L замкнуто относительно операции умножения его элементовна действительные числа.x + y = (x1 + y1 , . . . , xn + yn ),ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ1.2. Свойства линейного пространстваНепосредственно из аксиом линейного пространства можно получить ряд простейшихсвойств.Свойство 1.1. Любое линейное пространство имеет только один нулевой вектор.J В аксиоме в) линейного пространства не утверждается, что нулевой вектор должен бытьединственным. Но из аксиом а) и в) в совокупности это вытекает.

Пусть существуют два нулевых вектора 0 и 00 . Тогда0 = аксиома в) = 0 + 00 = аксиома а) = 00 + 0 = аксиома в) = 00 .Здесь в роли нулевого элемента сначала выступает вектор 00 , а затем 0. Видим, что векторы0 и 00 совпадают. IСвойство 1.2. Каждый вектор линейного пространства имеет только один противоположный вектор.= аксиома а) = (−x)0 + 0 = аксиома в) = (−x)0 .IÌÃÒÓJ Пусть для вектора x существуют два противоположных вектора (−x) и (−x)0 . Согласноаксиоме г) линейного пространства это означает, что x+(−x) = 0 и x+(−x)0 = 0. Рассмотримдвойную сумму (−x) + x + (−x)0 элементов линейного пространства. Согласно аксиоме б) этасумма не зависит от порядка выполнения двух операций сложения.

Меняя порядок сложения,получаем:(−x) + x + (−x)0 = (−x) + x + (−x)0 = (−x) + 0 = аксиома в) = (−x),(−x) + x + (−x)0 = (−x) + x + (−x)0 = аксиома а) = x + (−x) + (−x)0 = 0 + (−x)0 =ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ5ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1. ЛИНЕЙНЫЕПРОСТРАНСТВА ÌÃÒÓÔÍ-12x + (−x) = 0,(−x) + x = 0.Справа стоят эквивалентные равенства (в силу аксиомы а) ). Значит, и утверждения слеваравносильны.

IJ С у щ е с т в о в а н и е. Решением уравнения a + x = b является вектор (−a) + b, так какa + (−a) + b = a + (−a) + b = 0 + b = b.Е д и н с т в е н н о с т ь. Пусть x — какое-либо решение указанного уравнения, т.е. выполненоравенство a + x = b. Прибавив к обеим частям этого равенства вектор (−a), получим (−a) +a+x = (−a)+b, откуда x = (−a)+b. Видим, что вектор x совпал с указанным выше решением(−a) + b. Значит, других решений нет.

IПоследнее свойство позволяет ввести еще одну операцию в линейном пространстве, котораяявляется противоположной сложению. Разностью двух векторов b−a называют вектор x,являющийся решением уравнения a+x = b (вспомним, что разностью двух чисел b−a называютÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12⇐⇒⇐⇒ÌÃÒÓСвойство 1.4. Для любых двух векторов a и b уравнение a + x = b относительно x имеетрешение, и притом единственное.«(−x) противоположен x»«x противоположен (−x)»ÔÍ-12J Утверждение опирается на коммутативность сложения. Действительно,ÌÃÒÓСвойство 1.3. Если вектор (−x) противоположен вектору x, то вектор x противоположенвектору (−x).ÌÃÒÓÌÃÒÓСвойство 1.5. Произведение произвольного элемента линейного пространства на число 0равно нулевому вектору: 0 · x = 0.J Отметим, что решением уравнения x + y = x относительно неизвестного y является нулевойвектор (аксиома в) ).

Покажем, что в качестве решения этого уравнения можно взять и вектор0 · x, который тогда, в силу единственности решения, будет совпадать с 0. Итак, проверяем:x + 0 · x = 1 · x + 0 · x = аксиома ж) = (1 + 0)x = 1 · x = аксиома д) = x.IСвойство 1.6. Вектор, противоположный данному вектору x, равен произведению x начисло −1: (−x) = (−1)x.J Благодаря единственности противоположного вектора (свойство 1.2) достаточно доказать,что вектор (−1)x удовлетворяет аксиоме г) линейного пространства.

Для этого используемаксиому дистрибутивности ж) и только что доказанное свойство 1.5:x + (−1)x = 1 · x + (−1)x = 1 + (−1) x = 0 · x = 0.IÌÃÒÓЗамечание 1.1. Эквивалентность равенств a + x = b и x = b − a можно трактовать какправило, согласно которому слагаемое, которое переносят в другую часть равенства, меняетсвой знак. Ясно также, что для α ∈ R из равенства a = b следует равенство αa = αb и наоборот(при α 6= 0), так как1 1(αa) =α a=1·a=aααи аналогично1(αb) = b.αÔÍ-12ÔÍ-12такое число, которое в сумме с вычитаемым a дает уменьшаемое b). Из доказательства свойства1.4 вытекает, чтоb − a = (−a) + b = b + (−a), b − (−a) = b + a.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ6ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 1.