Электромагнитная индукция, страница 2

Сам расчёт цепей состоит из нахождения токов вотдельных её ветвях, зарядов конденсаторов и их полярности, скорости движенияподвижной перемычки, входящей в состав рассматриваемой цепи. Для этогонеобходимо, в частности, воспользоваться двумя законами Кирхгофа и вторымзаконом динамики Ньютона. При составлении уравнения движения перемычки стоком в магнитном поле необходимо учесть действующую на неё помимо другихсил силу Ампера.Согласно первому правилу Кирхгофа, алгебраическая сумма токов,сходящихся в узле цепи, равна нулю.∑Ik= 0.(3.10)kФизический смысл первого правила Кирхгофа: узел электрической цепи поопределениюнакапливатьнеобладаетэлектрическийэлектрическойзаряд,поэтомуёмкостью,весьт.е.способностьюпоступающийвузелэлектрический заряд должен его покинуть.При составлении уравнений по первому правилу Кирхгофа сначалапроизвольно выбирают направления токов во всех узлах цепи, при этом токи,идущие к узлу, и токи, исходящие из узла, следует считать величинами разныхзнаков, например: первые – положительными, вторые – отрицательными илинаоборот, а затем, непосредственно следуя соотношению (3.10), записывают самоуравнение.Второе правило Кирхгофа справедливо для любого выделяемого в цепизамкнутого контура: алгебраическая сумма произведений сил токов в отдельныхучастках произвольного замкнутого контура на их сопротивления соответственно,плюс алгебраическая сумма падений напряжений на конденсаторах, находящихся7в отдельных участках цепи рассматриваемого замкнутого контура, равнаалгебраической сумме Э.D.C.

, действующих в этом контуре:∑ε = ∑ IiiЗдесь подεijRj + ∑jmqm.Cm(3.11)понимаются все возможные Э.D.C. , обусловленные различнымиисточниками сторонних сил (например: химическими реакциями, силамиЛоренца, вихревым электрическим полем и т.д.). Следует заметить, что припрактическомиспользованиисоотношениянадо(3.11)сначалавыбратьположительное направление обхода по контуру, что определяет знаки слагаемыхв обеих частях этого уравнения. Кроме того, если возникает необходимостьdФ, то в этом случае надо согласовывать направлениеdtобхода по контуру с выбранным ранее направлением нормали n к плоскости,использовать величинуограниченной контуром.

Когда направление обхода контура и направлениенормали n связаны правилом правого винта, тоεiв левую часть соотношения(3.11) входит со знаком плюс и в свою очередь определяется законом ε i = −dФ.dtОтдельно подробнее рассмотрим влияние на электрическую цепь Э.D.C.самоиндукции катушки индуктивностиεsi= − L dI / dt,где L − индуктивностькатушки как элемента цепи. Если электрическая цепь в задаче домашнего заданиясодержит катушку с индуктивностью L , то по схеме, как правило, неизвестнонаправлениенамоткивитковкатушкиотносительновыбранногоранееположительного направления обхода контура (правое или левое), тем более чтодля одной и той же катушки, рассматриваемой как элемент одного или другогоконтура, это направление может бытьразличным.определённыеПоследнеетрудностииспользовании законаРис.3.1.представляетεsi= − L dI / dtпривлевой части соотношения (3.11).Рассмотрим правило использованияданного закона в двух возможных случаях сочетания выбранного ранее8направления тока на участке цепи с индуктивностью L и положительногонаправления обхода по рассматриваемому контуру.

Первый случай (рис.3.1):направление тока I и положительное направление обхода по контуру совпадают,следовательно,⇒Тогда Э.D.C. самоиндукцииεsiεsi= −LdIdt.в левую часть соотношения (3.11) входит сознаком плюс: (+ ε si ), а последняя определяется законом ε si = − L dI / dt.Второйслучай(рис.3.2):направление тока I и положительноенаправлениеобходапоконтурупротивоположны, следовательно,εРис. 3.2.si= −( − L⇒ -dIdI)=L .dtdtЗдесь Э.D.C. самоиндукцииεsiв левуючасть соотношения (3.11) входит со знаком минус: (- ε si ).Формально в идее этого правила можно увидеть некоторую аналогию справилом знаков для первого слагаемого∑IjR j в соотношении (3.11): еслиjнаправление тока на участке цепи с R j и положительное направление обходасовпадают, то произведение I j R j считается положительным, а если нет – тоотрицательным. Итак, сумма Э.D.C. по замкнутому контуру включает в себя иЭ.D.C.

самоиндукции, определённую закономεsi= − L dI / dt.,а учёт последнего влевой части соотношения (3.11) должен быть выполнен в соответствии сописанным выше правилом. После окончательного решения всей задачивыясняется истинное направление тока на рассматриваемом участке и истинноенаправление Э.D.C. самоиндукции.Уравнения (3.10), (3.11) составляются при выполнении следующих условий,являющихся следствием законов Кирхгофа и позволяющих получить системулинейно независимых уравнений для определения токов на всех участках цепи:9- если в разветвлённой цепи имеется N узлов, то независимые уравнениятипа (3.10) можно составить лишь для N-1 узлов;- если в разветвлённой цепи можно выделить несколько замкнутыхконтуров, то независимые уравнения типа (3.11) можно составить только для техконтуров, в которых присутствует хотя бы один новый элемент (сопротивление,ёмкость, Э.D.C.

любого типа), не встречающийся в уже рассмотренных контурах;- если предположительное направление тока в цепи совпадает с выбраннымнаправлением обхода, то соответствующее слагаемое I j R j в уравнении (3.11))надо брать со знаком плюс, если эти направления противоположные, то со знакомминус;- в свою очередь слагаемое видаqmв (3.11) формируется следующимCmобразом. Пусть выбрано направление обхода. Тогда, если конфигурация,состоящая из заряда пластин конденсатора q m и направления обхода, совпадает сконфигурацией, указанной на рис.3.3, то соответствующее слагаемое имеет видqmq, если совпадает с конфигурацией, указанной на рис.

3.4, то (- m ).CmCmРис. 3.3Рис. 3.4В нестационарных процессах на обкладках конденсаторов, входящих в тот илииной контур электрической цепи, с течением времени изменяются величиныэлектрических зарядов. Ток, протекающий по участку контура, в которомнаходится конденсатор, либо заряжает, либо разряжает его ( рис.3.5 и 3.6) .10Рис. 3.5Рис. 3.6В первом случае уравнение «сохранения» электрического заряда имеет видdq m = I ⋅ dt ,поскольку такой ток увеличивает положительный заряд на соответствующейобкладке конденсатора, а во втором случае -dq m = − I ⋅ dt ,поскольку при этом положительный заряд «уходит» с соответствующей обкладкиконденсатора.Уравнение динамики, описывающее движение подвижной перемычки, ипредставленные выше уравнения, основанные на законах Кирхгофа, образуютзамкнутую систему с заданными начальными условиями.

При составленииуравнения динамики практически во всех задачах необходимо знать силу Ампера,действующую на подвижную часть контура (например, в декартовой системекоординат):i Fa = I l × B = I l xBx[]jlyByklz .Bz(3.12)Здесь I − ток, протекающий по перемычке, l − вектор, длина которого совпадает сдлиной подвижной перемычки, а направление совпадает с выбраннымнаправлением протекания тока. Следует отметить, что зависимость (3.12)справедлива, если выполнены следующие условия: I = const , Bx , B y , Bz − постоянныи угол между векторами l и B одинаков вдоль всего подвижного участка цепи.11Примеры выполнения домашнего задания потеме “Электромагнитная индукция”.Задача 3.1. По двум гладким медным шинам, установленным вертикально, воднородном магнитном поле B , которое не изменяется с течением времени,скользит без трения под действием силы тяжести вдоль оси OY прямолинейнаяметаллическая перемычка массы m .

Во время движения перемычка остаётсяпараллельной самой себе и перпендикулярной направляющим шинам. В цеписодержится источник тока с электродвижущей силойεи ключ K , который приего включении замыкает электрическую цепь. Вектор индукции B магнитногополя перпендикулярен плоскости рисунка. Параметры электрической цепиРис. 3.7приведены на рисунке 3.7.

Расстояние между шинами равно постоянной величинеl.Сопротивлениешин,перемычкиискользящихконтактов, атакжесамоиндукция контура пренебрежимо малы.Внутренним сопротивлением источника тока и сопротивлением катушкипренебречь.12Найти закон изменения скорости движения перемычки при условии, чтоскорость движения перемычки и ток через перемычку в начальный моментвремени равны нулю. Перемычка приходит в движение с одновременнымзамыканием ключа K .Решение. Для определения величины потока Ф вектора магнитной индукции Bчерез плоскую поверхность, ограниченную рассматриваемойцепью, выберем из соображений удобства расчётов направление вектора нормалиn к плоскости рисунка так, чтобы оно совпадало с направлением вектораиндукции магнитного поля n ↑↑ B (тогда поток вектора B будет положительным).Рассмотрим два независимых контура аСба и аLба (рис.

3.8). ПотокиРис. 3.8вектора B через плоские поверхности, ограниченные этими контурами, будутсоответственно равны Ф 1 = ( B , n ) l ( y − y 0 ), Ф 2 = ( B , n ) l y.13Единственной величиной в этих выражениях, изменяющейся с течением времени,является вертикальная координата y=y(t). Э.D.C. индукции, обусловленныеизменениями этих потоков, в соответствии с законом Фарадея равныεi1=−dФ1dy= −B l= − B lυ y ,dtdtεi2=−dФ 2dy= −B l= − B lυ y ,dtdt(3.13),(3.14)где υ y − проекция скорости перемычки на ось OY. Направления обхода указанныхконтуров аСба и аLба согласуем с выбранным направлением вектора нормали nправилом правого винта.Тогда уравнения Кирхгофа (3.11) принимают вид:для контура аСбаε − ε = + Cq ,(3.15)i1для контура аLбаε − ε − L dIdtLi2= 0.(3.16)Для токов в контурах, например для узла А на рисунке 3.8,справедливо следующее уравнение баланса (3.10):I = IC + I L .(3.17)Таким образом, электродинамические уравнения (3.15), (3.16), (3.17) с учётомсоотношений (3.13) и (3.14), правила записи которых подробно рассмотрены вметодических указаниях и теоретической части настоящего пособия, принимаютвид:− B lυ y −ε = + Cq ;− B lυ y −ε − L dIdtL= 0.

I C + I L = I .(3.18)Система уравнений (3.18) замыкается уравнением, связывающим ток I C с зарядомпластины конденсатора q (см. рис. 3.8):IC =dqdt(3.19)14и динамическим уравнением, описывающим движение перемычки, которое врассматриваемой задаче имеет вид:mdυ ydt= mg + F ay .(3.20)Здесь Fay − проекция силы Ампера (3.12), действующей на перемычку,Fay = I l B .(3.21)Уравнения (3.18), (3.19), (3.20) сведём в систему:ε=+−LdI L=0dt− B lυ y −− B lυ y −εqC,(3.22),(3.23)IC + I L = IIC =m(3.24)dq,dtdυ ydt(3.25)= mg + F ay .(3.26)Исключая заряд q из уравнений (3.22) и (3.25), получим фактически зависимостьускорения перемычки от мгновенного значения силы тока через конденсатор:− Bldυ ydtДалее, дифференцируя по времени t=+IC.Cполученное соотношение, находимвыражение для производной по времени от величины силы тока черезконденсатор:d 2υdI C= −B l C 2y .dtdtИз уравнения (3.23) определяем(3.27)dI L:dtB lυ y + εdI L=−dtL(3.28)Дифференцируя по t уравнение (3.24) и учитывая уравнения (3.27) и (3.28),получаем:d 2υ y B l υ y + εdI dI C dI L=+= −B l C−.dtdtdtdt 2L(3.29)15Дифференцируя по t уравнение (3.26), с учётом уравнения (3.21) для проекциискорости перемычки υ y получаем дифференциальное уравнение второго порядкаmd 2υ ydI=lB.2dtdt(3.30)Объединяя два последних уравнения (3.29) и (3.30), получим уравнение длянахождения υ y :d 2υ y+dt 2Заметим,чтоуравнениеB 2l 2εlBυy = −.2 2L (m + B l C )L ( m + B 2 l 2C )(3.31)представляетсобой(3.31)неоднородноедифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами,описывающее некоторый колебательный процесс.Общее решение уравнения (3.31) имеет вид:υ y ( t ) = C 1 cos ω 0 t + C 2 sin ω 0 t +−ε,lB(3.32)B2 l 2где ω =− квадрат частоты колебательного процесса перемычки.L (m + B 2 l 2 C )20Для определения констант интегрирования С1 и С2 необходимо выписать общеерешение системы уравнений (3.22-3.26), поскольку скорость движения перемычкифункционально связана с остальными искомыми переменными физическимипараметрами системы.