Электромагнитная индукция, страница 3

Соотношение (3.32) является частью общего решениясистемы уравнений (3.22-3.26). Для зависимости (3.32) очевидным условиемявляется υy (0) = 0 , поскольку движение перемычки начинается из состоянияпокоя. Это условие определяет значение константы интегрирования С1:C1 =εB⋅l,после чего зависимость скорости перемычки от времени приобретает вид:υ y (t ) =εB ⋅l(− 1 + cos ω 0 t ) + C 2 sin ω 0 t .Из уравнения (3.22) находим зависимость заряда конденсатора от времени:q = − ε ⋅ C ⋅ cos ω 0 t − B ⋅ l ⋅ C ⋅ C 2 ⋅ sin ω 0 t .В начальный момент времени величина заряда конденсатора равна величине( − ε ⋅ С ).

Этот результат не должен вызывать удивления: «включение» Э.Д.С. в16отсутствиеактивногосопротивленияустановлению«мгновенному»вцепиконденсаторавеличиныприводитзарядакпоследнего.Дифференцированием установленной зависимости по уравнению (3.25) находимвыражение для величины тока I C через конденсатор:I C = ω 0 ⋅ ( ε ⋅ C ⋅ sin ω 0 t − B ⋅ l ⋅ C ⋅ C 2 ⋅ cos ω 0 t ).В начальный момент времени значение тока через конденсатор равноI C (0) = −ω 0 ⋅ B ⋅ l ⋅ C ⋅ C 2 .Обратим внимание читателя на то, что постоянная интегрирования С2 оказываетвлияние не только на величину скорости перемычки, но и на заряд конденсатора иток через конденсатор. Рассматривая совместно уравнения (3.22) и (3.23),получаем уравнениеdI Lq,=dtL ⋅Cв котором зависимость q(t ) , ∀t определена выше, что позволяет проинтегрироватьэто уравнение:IL =B l C 2 cos ω 0 t − ε ⋅ sin ω 0 t+ C3 .ω0LОбратим внимание читателя на появление ещё одной постоянной интегрированияC3 .

Это легко понять, если заметить, что исходная система уравнений (3.22)-(3.26)содержит три дифференциальных уравнения первого порядка. В начальныймомент времени ток через катушку индуктивности I L равенB ⋅ l ⋅ C2ω0+ C3 , т.е.определяется значениями двух постоянных интегрирования.Располагая зависимостями от времени для тока через конденсатор итока через катушку индуктивности, по уравнению (3.24) получаем посленеобходимых преобразований зависимость тока через перемычку:I =m ⋅ω0⋅ ( B ⋅ l ⋅ C 2 ⋅ cos ω 0 t − ε ⋅ sin ω 0 t ) + C 3 .B2 ⋅l2Начальное значение тока через перемычку равноI (0 ) =mω0⋅C2 + C3 .B ⋅l17Таким образом, все искомые переменные задачи определены в общем виде (сточностью до определения констант интегрирования).

При выводе зависимостискорости перемычки от времени нам пришлось дифференцировать исходноеуравнение (3.26), при этом в окончательном результате исчезла постояннаявеличина ускорения свободного падения g. Необходимо убедиться, чтополученноерешениедействительноудовлетворяетдифференциальномууравнению для скорости перемычки. Проверка этого условия – оно должновыполняться для произвольного момента времени - приводит к соотношению:C3 = −g ⋅m.B ⋅lИтак, постоянная интегрирования С1 нами определена единственным образом,постоянная интегрирования С3 нами определена единственным образом,постоянная интегрирования С2 пропорциональна электрическому току черезконденсатор в начальный момент времени, она же участвует в формированииначального тока через катушку индуктивности и, таким образом, в формированииначального тока через перемычку. Формально её значение может бытьпроизвольным.Физическидопустимымиявляютсяначальныеусловия,позволяющие однозначно определить значение постоянной интегрирования С2 .По условию задачи известно, что ток через перемычку в начальный моментвремени равен нулю.

Приравнивая выражение для I(0) нулю, получаемC2=gω0После этого решение задачи приобретает окончательный вид:18υ (t ) =gω0⋅ sinω0t −εB⋅l⋅ (1 − cosω0t ) B⋅l ⋅ gq(t ) = −C ⋅ ⋅ sinω0t + ε ⋅ cosω0t  ω0I C (t ) = C ⋅ (−B ⋅ l ⋅ g ⋅ cosω0t + ε ⋅ ω0 ⋅ sinω0t )I L (t ) =εB⋅l ⋅ gm⋅ gωω⋅t−⋅t−cossin00L ⋅ ω02L ⋅ ω0B⋅l m⋅ g(1 − L ⋅ C ⋅ ω02 )  B ⋅ l ⋅ gI (t ) =⋅ ⋅ cosω0t − ε ⋅ sinω0t  −.ωL ⋅ ω0B⋅l 0Особенностью рассматриваемой задачи является то, что при её решениипотребовалось установить законы изменения с течением времени зарядаконденсатора, тока через конденсатор и тока через катушку индуктивности.Заметим, что в практически интересныхслучаях задание начальных условий дляпараметров сложной электрической цепиможетпредставлятьопределённыетрудности.Задача 3.2.

По двум гладким меднымшинам скользит перемычка массой М,Рис. 3.9закон движения которой задан функциейy (t ) = a exp( − nt ) , где a и n – постоянныевеличины. Сопротивление перемычки равноR,поперечное сечениеS,концентрация носителей заряда (электронов) в проводнике перемычки равна n0 .Сверху шины замкнуты электрической цепью, содержащей индуктивность L всоответствии с рисунком 3.9.

Расстояние l между шинами является постояннойвеличиной. Система находится в однородном переменном магнитном поле с19индукциейB z (t ) = C exp( − mt ) ,перпендикулярномплоскости,вкоторойперемещается перемычка, а C и m в законе изменения индукции магнитного поляявляются положительными постоянными величинами. Сопротивление шин,скользящих контактов, а также самоиндукция контура пренебрежимо малы. Ток Iчерез перемычку в начальный момент времени равен нулю.Найти:- закон изменения электрического тока с течением времени I (t );- закон изменения напряжённости электрического поля E (t ) в перемычке;- силу Fy (t ), действующую на перемычку, необходимую для обеспечениязаданного закона движения;- связь между силой Ампера, действующей на перемычку, и силой Лоренца,действующей на электроны в перемычке.Решение.

Выберем направление единичной нормали n так, чтобы n ↑↑ B ,тогда поток вектора B будет положительным (рис.3.10). Поток вектора B сквозь поверхность, натянутую на контур а L ба, равен Ф = ( B , n ) ly . Э.D.C. индукции,обусловленная изменением этого потока, в соответствии с законом Фарадеяравна:εНаправлениеобходаi=−dФd= − [ Bz (t ) ⋅ y (t ) ⋅ l ]dtdtрассматриваемого.контура(3.34)а L басогласуемсвыбранным направлением вектора нормали n правилом правого винта.

Тогдауравнение Кирхгофа (3.11) применительно к данной задаче принимает вид:ε − LdI / dt = IR.i(3.35)20Рис.3.10.Следует отметить, что в соотношении (3.35) ток I положительный, посколькувыбран так, что его направление совпадает с направлением обхода контура а L ба.Так как в условии задачи заданы закон движения перемычки y (t ) = a exp( − nt ) изакон изменения магнитного поля B z (t ) = C exp( − mt ) , то значение Э.D.C. индукциив соответствии с законом (3.1) равноεi= alC ( m + n ) exp( − ( m + n )t ).(3.36)Тогда для тока I (t ) , протекающего в контуре а L ба, с учётом выражения (3.36) дляεiполучаем неоднородное дифференциальное уравнение с начальным условиемI ( 0) = 0 :21LdI+ IR = alC ( m + n ) exp( − ( m + n ) t )dt.(3.37)При решении уравнения (3.37) воспользуемся методом Лагранжа.

Решениеоднородного уравнения (3.37) запишем в формеI (t ) = A(t ) exp(−Rt) .L(3.38)Подставим (3.38) в исходное уравнение (3.37) и найдём значение A(t ) :A (t ) = RalC ( m + n ) exp   − ( m + n )  t  + const .R − (m + n) L LТогда общее решение уравнения (3.37) примет видI (t ) = const exp( −alC ( m + n )Rt) +exp { [− ( m + n ) ] t } .L( R − (m + n) L)(3.39)В этом выражении const определяем из начального условия I (0) = 0 :const = −alC ( m + n ).R − (m + n) LЧастное решение уравнения (3.37) с нулевым начальным условием имеет видI (t ) =alC ( m + n )  R  exp [− ( m + n )t ] − exp  − t   .( R − (m + n) L)  L (3.40)Динамическое уравнение движения перемычки в проекции на ось OY (аналогуравнения (3.20)) в рассматриваемом случае выглядит следующим образом:MгдеI (t )dυ ydt= Mg + I l B z + F y (t ),определяется зависимостью (3.40), аFy (t ) − проекция(3.41)на ось ууправляющей силы, действующей на перемычку.

Из заданного условием задачизакона движения перемычки найдём производную по времени от проекции на осьOY скорости перемычки:dυ ydt= an 2 exp( − nt ) .Тогда проекция управляющей силы Fy (t ) из уравнения (3.41) с учётом последнегосоотношения будет равна22Fy (t ) = Man 2 exp(−nt ) − Mg − I l Bz = RC 2 a l 2 ( m + n)  = Man exp(−nt ) − Mg −exp[− (2m + n)t ] − exp − − m t  .( R − ( m + n) L )   L2Плотность тока в перемычке определяется зависимостьюj=I (t ),S(3.42)где S − площадь поперечного сечения проводника.Напряжённость электрического поля в перемычке определяем из закона Ома вдифференциальной формеE=jσ= jρ уд ,(3.43)где ρ уд − удельное сопротивление медной перемычки (находим по справочнику«Физические величины»).Среднюю скорость〈u 〉направленного движения электрических зарядов,образующих электрический ток, находим из уравненияj = e n0 〈u 〉 ,где e − модуль заряда электрона, n0 – объёмная концентрация носителей заряда.

Вэтом случае справедливо соотношение〈u 〉 =j,e n0(3.44)где плотность тока j в перемычке определена зависимостью (3.42), модуль зарядаэлектрона e = 1,6 ⋅ 10 −19 Кл. Тогда полная скорость носителей зарядов (электронов)равнаυ = 〈u 〉 + υ п ,где υ n − скорость движения перемычки. При этомυ пy =dy= − an exp( − nt )dt-проекция скорости движения перемычки на ось OY .

Сила Лоренца, действующаяна заряд, определяющий электрический ток, равна F л = e ⋅ [υ × B ] = e ⋅ [( 〈 u 〉 + υ п ) × B ] = e ⋅ [ 〈 u 〉 × B ] + e ⋅ [υ п × B ] .(3.45)23Следует отметить, что векторы первого и второго слагаемых в последнемсоотношении взаимно перпендикулярны. Тогда 1Fл = e ⋅ ( ([〈u 〉 × B] ) 2 + ([υ п × B] ) 2 ) 2 .Сила Лоренца, действующая на все носители зарядов, равна 1F * = Fл S l n0 = S l n0 e ⋅ ( ([〈u 〉 × B] ) 2 + ([υ п × B] ) 2 ) 2 .(3.46)Сила Ампера, действующая на перемычку,Fa = I l B z .Отношение этих сил с учётом соотношенийI = j ⋅ S,j = n0 ⋅ e ⋅ 〈 u 〉послесоответствующих преобразований равно:n 0 ⋅ e ⋅ 〈 u 〉 ⋅ S ⋅ BzFaI l Bz 1 == 2 2 12 = Fл S l n0 e ⋅ ([〈u 〉 × B ] + [υ п × B ] )S l n0 e ⋅ ([〈u 〉 × B ]2 + [υ п × B ]2 ) 21υ 1+  п u 2≤ 1.В рассмотренных задачах закон электромагнитной индукции играетсущественную роль.

Электродинамическое уравнение (второй закон Кирхгофа),полученное с помощью этого закона, входит в общую замкнутую системудифференциальных уравнений. Учёт начальных условий позволяет найтиединственное решение поставленной задачи, обладающее физическим смыслом..