Дубинин В.В., Карпачёв А.Ю., Ремизов А.В. - Общие теоремы динамики (МУ к 2 ДЗ)

Îáëîæêà 1/1Ìîñêîâñêèé ãîñóäàðñòâåííûé òåõíè÷åñêèé óíèâåðñèòåòèìåíè Í.Ý. ÁàóìàíàÌåòîäè÷åñêèå óêàçàíèÿÂ.Â. Äóáèíèí, À.Þ. Êàðïà÷åâ, À.Â. ÐåìèçîâÎÁÙÈÅ ÒÅÎÐÅÌÛ ÄÈÍÀÌÈÊÈÈçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓ èìåíè Í.Ý. Áàóìàíà×åðíàÿ êðàñêàМосковский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаВ.В. Дубинин, А.Ю. Карпачев, А.В. РемизовОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИМетодические указания к выполнению курсового заданияМоскваИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана2006УДК 531/534ББК 22.21Д79Рецензент А.В. КопаевД79Дубинин В.В., Карпачев А.Ю., Ремизов А.В.Общие теоремы динамики: Метод.

указания к выполнению курсового задания. – М.: Изд-воМГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. – 48 с.: ил.ISBN 5-7038-2870-8В методических указаниях даны 40 вариантов курсового задания по теме «Общие теоремыдинамики». Рассмотрены примеры решения задач механики на основе общих теорем динамики и,в частности, законов сохранения для механической системы, а также примеры определения количества движения системы, работы сил и т.

д.Для студентов второго курса машино- и приборостроительных специальностей.Ил. 40. Библиогр. 5 назв.УДК 531/534ББК 22.21Методическое изданиеВладимир Валентинович ДубининАндрей Юрьевич КарпачевАлександр Викторович РемизовОБЩИЕ ТЕОРЕМЫ ДИНАМИКИРедактор Е.К. КошелеваКорректор Л.И. МалютинаКомпьютерная верстка А.Ю. УраловойПодписано в печать 15.03.2006. Формат 60×84/8. Бумага офсетная.Печ. л. 6,0. Усл. печ. л.

6,0. Уч.-изд. л. 5,75.Тираж 1500 экз. Изд. № 158. ЗаказИздательство МГТУ им. Н.Э. Баумана.105005, Москва, 2-я Бауманская ул., 5.ISBN 5-7038-2870-8 МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2006ВВЕДЕНИЕКурсовое задание по динамике механической системы является одним из основных заданий, посвященных изучению движения сложных механических систем.Предлагаемая в методических указаниях тема «Общие теоремы динамики»из курса «Теоретическая механика» позволяет студентам усвоить обширный материал по основам динамики системы и научиться использовать общие теоремы динамики системы при решении конкретных задач.Каждое задание состоит из одной комплексной задачи, в которой необходимо определить скорости и ускорения точек тел, угловые скорости и ускорения тел,а также силы давления и реакции в сочленениях системы.Курсовое задание содержит 40 вариантов и индивидуально для каждого студента учебной группы. При выполнении курсового задания необходимо проработатьгл.

14 и 15 учебника [1] и методическое пособие [2], полезным является также пособие[3]. При использовании ЭВМ для выполнения задания помогут пособия [4, 5].ОБЩИЕ УСЛОВИЯ ЗАДАЧПреподаватель выдает студенту вариант курсового задания (условия и схему). Студент согласует с преподавателем возможность использования ЭВМ прирешении задач. Перед началом работы следует ознакомиться с типовыми примерами решения, предложенными в настоящих методических указаниях или в пособиях [2, 3].Сначала необходимо определить скорости и ускорения точек и тел, а затем –силы в соединениях тел.Во всех вариантах принять следующие допущения:– трением в опорах и сочленениях тел пренебречь, если это не оговорено особо;– при качении катков пренебречь трением качения, если не задан коэффициенттрения качения;– массами тел в механической системе, которые не заданы, пренебречь;– считать, что тросы и нити в механических системах нерастяжимы и не скользят по телам, которые они соединяют.Упругие силы Fx линейных пружин пропорциональны деформации: Fx = −cx( c – жесткость пружины, x – ее деформация).

Моменты упругих сил Lz спиральныхпружин равны Lz = −cϕ ( c – жесткость пружины, ϕ – угловая деформация).Знак минус указывает на то, что направления проекций упругих силы или момента на оси x или z противоположны направлениям соответствующих деформаций.Механические системы в вариантах курсового задания имеют одну или две степени свободы. На схемах указываются рекомендуемые при решении обобщенные координаты. Иногда для пояснения условия задания вводится координата, зависящая отобобщенных координат (например, указывается величина деформации пружин).Ниже даны примеры решения различных типовых задач, включенных в варианты задания.3ПРИМЕРЫ РЕШЕНИЯ ТИПОВЫХ ВАРИАНТОВ КУРСОВОГО ЗАДАНИЯПример 1.

Механизм, показанный на рис. 1, а, расположен в вертикальной плоскости и состоит из кривошипа 1, представленного в виде стержня OA , и кулисы 2, изображенной как стержень O1E . В начальный момент звенья покоятся и занимают положение, соответствующее углу ϕ = 0 . Приложение к кривошипу пары сил с моментомM приводит к его вращению вокруг оси O( z ) , перемещению втулки 3 массой m3 ,шарнирно с ним соединенной, деформации спиральной пружины с жесткостью c, недеформированной в исходном положении, и вращению кулисы вокруг оси O1 ( z ) . Принимая массу кулисы равномерно распределенной по длине O1E , а массу втулки сосредоточенной в точке A, определить: 1) скорость точки A и угловое ускорение кривошипа 1 при ϕ = π / 3 рад; 2) силу реакции, с которой кулиса действует на втулку при ϕ = 0 ;3) зависимости ω1z (ϕ), ε1z (ϕ), ϕ(t ), ω1z (t ) ; построить графики, соответствующие изменению угла ϕ в интервале от 0 до π / 3 рад.

Принять: O1E = 3L, c = 18mgL / π2 ,M = 9mgL / π, h = 2 L, h / OA = λ = 2, m3 = 3(1 − 0,5 3)m2 = m = 10 кг, L = 1 м.Рис. 1Решение. Представленная механическая система имеет одну степень свободы. В качестве обобщенной координаты выберем угол ϕ. Для определения скорости втулки A применим теорему об изменении кинетической энергии4NNk =1k =1T − T0 = ∑ A( Fk( e ) ) + ∑ A( Fk(i ) ).(1)Движение системы начинается из состояния покоя, поэтому T0 = 0. Итак,T = T2 + T3 , где T2 = 0,5 I O1 z ω22 z и T3 = 0,5m3v A2 – кинетическая энергия соответст-венно кулисы и втулки; I O1 z – момент инерции кулисы относительно ее оси вращения O1z.

Скорости v τA = ω1z ⋅ OA = ϕ L, ω2 z = α . Связь угловых скоростей кривошипа и кулисы установим дифференцированием по времени геометрического соотношенияOA sin ϕ = ( h − OA cos ϕ )tg(π / 2 − α ).(2)При этом −α / cos 2 (π / 2 − α) = (λ cos ϕ − 1)ϕ /(λ − cos ϕ)2 . Принимая во внимание, чтоcos 2 (π / 2 − α ) = 1/(1 + tg 2 (π / 2 − α )); tg(π / 2 − α ) = sin ϕ /(λ − cos ϕ ), получимα = f ϕ ,(3)f = (1 − λ cos ϕ ) /(λ 2 − 2λ cos ϕ + 1).(4)гдеТогда выражение для кинетической энергии запишем в видеT = 0,5Gϕ 2(G = f 2 I O1 z + m3 L2 ).(5)Подсчитаем работу всех сил при повороте кривошипа на угол ϕ :NNk =1k =1(e)(i )2∑ A( Fk ) + ∑ A( Fk ) = M ϕ + 0,5m2 gO1E (1 − sin α ) −m3 gOA(1 − cos ϕ ) − 0,5cϕ .

(6)Приравнивая (5) и (6), находимϕ = (2M ϕ + m2 gO1E (1 − sin α ) − 2m3 gOA(1 − cos ϕ ) − cϕ 2 ) / G .(7)Задавая угол ϕ и учитывая, что α = π / 2 − arctg [ sin ϕ /(λ − cos ϕ )] , для заданных исходных данных по (7) определяем угловую скорость кривошипа ω1z (ϕ) ; так, дляϕ = π / 3 рад, α = π / 3 рад, f = 0,ω1z = ϕ = 2 g / L = 6,26 рад/с и v A = 2 gL = 6,26 м/с.5Зависимость (7) – первый интеграл дифференциального уравнения, описывающего движение системы.Для определения углового ускорения кривошипа используем теорему об изменении кинетической энергии системы в видеNNk =1k =1dT = ∑ dA( Fk( e ) ) + ∑ dA( Fk(i ) ),(8)dT = Gϕ d ϕ + ϕ 2 I O1z fdf ;(9)гдеNNk =1k =1(e)(i )∑ dA( Fk ) + ∑ dA( Fk ) = Md ϕ − 0,5m2 gO1E cos αd α − m3 gOA sin ϕd ϕ − cϕd ϕ.

(10)Дифференцируя левую и правую части (3), найдем взаимосвязь угловых ускорений кулисы и кривошипа: = f ϕ + F ϕ 2 ,α(11)гдеF = λ (λ 2 − 1)sin ϕ /(λ 2 − 2λ cos ϕ + 1) 2 .С учетом дифференциалов df = Fd ϕ и d α = fd ϕ приравняем левые частивыражений (9) и (10), поделим обе части найденного уравнения на dt и в результате получим + Ff I O z ϕ 2 = M − 0,5m2 gO1E cos αf − m3 gOA sin ϕ − cϕ.Gϕ1(12) = ( M − 0,5m2 gO1E cos αf − m3 gOA sin ϕ − cϕ − Ff I O z ϕ 2 ) / Gϕ1(13)Тогдаесть искомая зависимость углового ускорения кривошипа от угла поворота и приложенных сил.Для угла ϕ = π / 3 рад и заданных исходных данных (π / 3) = (6 − π 3) g /(2πL) = 0,872 рад/с 2 .ϕДля определения силы реакции N , с которой кулиса действует на втулку(рис.

1, б), рассмотрим дифференциальное уравнение вращения кривошипа вместес втулкой6 = M + M yz − NOA sin(α − ϕ ) − m3 gOA sin ϕ ,I Oz ϕ(14)где I Oz – момент инерции кривошипа и втулки относительно оси Oz; M yz – момент, создаваемый упругостью пружины.Принимая M yz = −cϕ, имеем − m3 gOA sin ϕ ) /[ L sin(α − ϕ )].N = ( M − cϕ − m3 L2ϕ(15)Для исходного состояния при ϕ = 0 рад, α = π / 2 рад, f = −1 = 9(2 − 3) g /[ π(4 − 3) L];ϕ ) / L = 18mg /[(4 − 3)π ] = 247,8 Н.N (ϕ = 0) = ( M − m3 L2ϕСистема уравнений (7), (13), (15) позволяет определять величины ε1z , ω1z , Nкак функции угла ϕ, т. е. положения звеньев механизма для заданных его параметров и действующих сил. Зависимости угловых скорости и ускорения кривошипа отϕ изображены в виде графиков на рис.

1, в, г, где по осям абсцисс отложены значения угла ϕ в радианах, а по оси ординат – соответственно ω1z в радианах в секундуи ε1z в радианах в секунду за секунду. Для определения зависимостей ϕ(t ) и ω1z (t )перепишем уравнения ϕ = ω1z и (13) в конечно-разностном виде:∆ϕ i = ω1i −z1∆t ;∆ω1i z = ( M − 0,5m2 gO1E cos α i −1 fi −1 −(16)− m3 gOA sin ϕ i −1 − cϕ i −1 −Fi −1 fi −1I O1 z (ω1i −z1 ) 2 )∆t / Gi −1;ϕ i = ∆ϕ i + ϕ i −1, ω1i z = ∆ω1i z + ω1i −z1, ti = ∆t + ti −1;fi −1 = (1 − 2cos ϕ i −1 ) /(5 − 4cos ϕ i −1 ), Gi −1 = fi −21I O1z + m3 L2 .Результат численного интегрирования с их помощью по времени t от 0 до0,6 с с шагом t = 0,001 с при начальных условиях ϕ = 0, ω1z = 0 представлен в виде графиков на рис.

1, д, е.Пример 2. Однородный диск 1 массой M и радиусом R может вращатьсявокруг неподвижной вертикальной оси Bz , проходящей через одни из диаметровдиска (рис. 2). Внутри гладкого паза 2 в диске, наклоненном к оси Bz под углом α,7движется материальная точка 3 массой m. На точку 3 вдоль паза диска действуетсила сопротивления F . В начальный момент диску сообщена угловая скорость ω 0 .Материальная точка 3 находится в верхней точке паза A0 , ее скорость по отношению к диску равняется нулю.