Тройные интегралы

Тройные интегралы.Задача о массе тела с плотностьюQ т. М(x, y, z) - тело Q.Q ( M )   ( x, y, z )  limV 0Тогда разбиение Т-тела в Q наmVс объемом(1)даетmi    M i  Vi   i ,i ,  i  Vinni 1i 1(2)AKF3.RUm  mi   i ,i ,  i  Vid T   maxdi  Qi   0m  limV 0(3)(4)n  , ,  iiiVii 1(5)Определение тройного интеграла.Рис.31. Замкнутая кубируемая область (ЗКуО) QПусть,- объемы многогранников1) существуетисм.(*)V *  inf VQ1(6)Q  Q2иV*  sup VQ1Q1  Q2)V *  V*  V(7)(8)тогда Q-кубируема, а V - его объемAKF3.RUЗамечание:ЗКуО –ограничено.2. Множество меры (объема) нуль (ММ(О)Н)Это множество , которое можно заключить в многограник любогомалого объема.3.

Пример ЗКуО - область с границей из N гладких поверхностью.Гладкая поверхность - такая поверхность, на которой нормальменяется непрерывно от точки к точке.4. Свойства объема-неотрицательность-монотонность-аддитивность-инвариантность5. Пусть в КуЗО Q задана функция f(x, y, z)Сделаем разбиения Т Q на подобластиобъемВозьмемQi (i  1, n)с диаметромd(T)  maxdiСделаем выбор С точек M i c координатами  i , i ,  i Составим интегральную суммуnS T    f i ,i ,  i  Vii 1(8)Определение 1:Если существует конечный предел I ИС S(T), т.е  0    :T : d T    и CS T   I  (9)то I называется тройным интегралом от f по Q, а функцию f(x, y, z) интегрируемой в QТогда:I   f  x, y, z  dxdydz   f  x, y, z  dV  limQd (T )  0Qn f ( x, y, z)Vii 1(10)6.

Физический смысл тройного интеграла:m  limd (T ) 0n  , ,  ii 1iiVi     x, y, z  dxdydz     x, y, z  dVQ(11)QУсловие существования ТИ.Теорема 1.Если функция непреывна, то она интегрируема.Теорема 2.Если f-ограничена в Q и непрерывная всюду кроме ММ(О)Н, то онаинтегрируема.AKF3.RUТеорема 3.Если функции f и g отличны в Q на ММ(О)Н, то если f- интегрируема,то и g - интегрируема и g  x, y, z  dV   f  x, y, z  dVQ(12)QТеорема 4.1Если f и g – интегрируемы, то f×g - интегрируема итожеgинтегрируема.Свойства тройных интегралов.Q - КуЗО, f и g – интегрируемы.Свойство 1. dV  V   dxdydz  VQQ(13)Свойство 2.  f  x, y, z    g  x, y, z   dV    f  x, y, z  dV    g  x, y, z  dVQQ(14)QСвойство 3.Для КуЗО в Q' Q, f - интегрируема и в Q' и в Q"Q"  Q \ Q 'Свойство 4.Если Q  Q1 Q2,intQintQ12то f  x, y, z  dV   f  x, y, z  dV   f  x, y, z  dVQQ1AKF3.RUСвойство 5.Если f(x, y, z)  0,тоQ2 f  x, y, z  dV  0(16)QСвойство 6.(Интегрирование неравенств)Если f(x,y,z)  g(x,y,z) , то f  x, y, z  dV   g  x, y, z  dVQQ(17)Свойство 7.(Оценка ТИ по модулю)Если f - интегрируема, то |f| - интегрируем и f  x, y, z  dV  QСвойство 8.Если в Qm  f(x, y, z)  MQf ( x, y , z ) dV(18)(15)0  g(x, y, z), тоm  g  x, y , z  dV   f  x, y , z  g  x, y , z  dV  M  g  x, y , z  dV (19)QQQСвойство 8’.Если g(x, y, z)  1, тоmV   f  x, y, z  dV  MV(19’)QСвойство 9.Если еще Q линейно связано, f-непрерывна, а g - знакопостоянна, то т.М 0  x0 , y0 , z0   Q,что f  x, y, z  g  x, y, z  dV  f  x , y , z   g  x, y, z  dV000Q(20)QСвойство 10.Если взять g(x, y, z)  1, то f  x, y, z  dV  f  x , y , z VAKF3.RU0Q00(21)Определение 2:Средним интегральным значением функции f в Q называетсяf  x0 , y0 , z0  1f  x, y, z  dVVQm   g  x, y , z  dV  g  x 0 , y 0 , z 0  V(210)(21’’)QЕсли g – непрерывно, а Q – линейно связано, то существуетт.

M 0  x0 , y0 ,z0  Q :Следовательно, среднее значение плотности0    M 0  mV- плотность однородного тела с теми же m и V, что и у неоднородноготела.Вычисление ТИ. Сведение ТИ к повторному.Пустьz-цилиндроидQz   x, y, z  | ( x, y  Dxy ; z1 ( x, y )  z  z2 ( x, y ) (22)Теорема 5.Если существует ТИ от f по Qz , а для  т.

(x,y)  Dxy  О.И.то существует повторный интегралz2 ( x , y ) f  x, y, z  dz(23)z1 ( x , y )z2 ( x , y ) dxdy (  f  x, y, z  dz )Dxy(24)z1 ( x , y )и равен тройному:QzAKF3.RUI   z2  x , y f  x, y, z  dxdydz   dxdy   f  x, y, z  dz  (25) z  x, y Dxy1Частный случай 1 (Поby2 ( x )z2 ( x , y )ay1 ( x )z1 ( x , y ) f  x, y, z  dxdydz  dx  dy  f  x, y, z  dzQz(26)Частный случай 2 (ПоПустьd dyx2 ( y )z2 ( x , y )Qzcx1 ( y )z1 ( x , y ) dx  f  x, y, z  dz(27)x-цилиндроидQx   x, y, z  | ( y, z  Dyz ; x1 ( y, z )  x  x2 ( y, z)I1   f  x, y, z  dxdydz   dydzQzDyzQxx2 ( y , z ) f  x, y, z  dx(29)x1 ( y , z )bz2 ( y )x2 ( y , z )az1 ( y )x1 ( y , z )I 2   f  x, y, z  dxdydz  dy(28) dz  f  x, y, z  dx(30)dy2 ( z )x2 ( y , z )cy1 ( z )x1 ( y , z )I 3   f  x, y, z  dxdydz  dzQxПусть dy  f  x, y, z  dx(31)y-цилиндроидQy   x, y, z  | ( x, z  Dxz ; y1 ( x, z )  x  y2 ( x, z )I1   f  x, y, z  dxdydz   dxdzQyDxzf  x, y, z  dy (33)bz2 ( x )y2 ( x , z )az1 ( x )y1 ( x , z )dx2 ( z )y2 ( x , z )cx1 ( z )y1 ( x , z ) dz  f  x, y, z  dy dx  f  x, y, z  dyAKF3.RUI 3   f  x, y, z  dxdydz  dzQyy1 ( x , z )I 2   f  x, y, z  dxdydz  dxQyy2 ( x , z )(32)(34)(35)ТИ в криволинейных координатахКриволинейные координаты в пространстве.Пусть заданы Ку30 * и Q*И F:R 3  R3 и F: *  Q* x=x( , , )F:  y=y( , , ) z=z( , , )(1)Потребуем, чтобы1) F – биективно2) Непрерывно дифференцируема иxyzxy0zAKF3.RUxD( , ,  ) yJ1 ( , ,  ) D( x, y, z ) z(2)Тогда утверждение 1:1) J сохраняет знак в *2) Существует обратное отображениеF -1: *  Q*   ( x, y , z )   ( x, y , z )   ( x, y , z )Которое биективно(3)x3) J1 ( , ,  )  D( , ,  )  D ( x, y , z )xxТак какJ1 J1J110Jyyyz0zz(4)(5)(6)4) Элемент объема области Q* есть dV  dxdydzВ декартовых координатах Oxyzdxdydz  J ( , ,  ) d  d d  - в криволинейных координатах(7)Доказательство:(8)AKF3.RUVR*   J ( , ,  ) d d dПусть A1 ( , ,  ) даем приращение по Е :A5 (   , ,  )A4 ( ,   ,  )A2 ( , ,    )Всемалы!Если Ai (  i ,  i ,    i ) ,тоBi ( x  xi , y  yi , z  zi )Тогда B1B5   x5 , y5 , z5 Из (1) : x5 y5 xxx 0 0x (10) xyzB1B5     ;   ;    Аналогично xyzB1B4     ; ;  (11) xyzB1B2     ; ;  (12)При малых криволинейные отрезки будут ближе к отрезкампрямолинейных.(криволинейный параллелепипед будет близок к косоугольному с объемом:B1 B4y yy zx zx    zx AKF3.RUV ДК  B1 B5x xB1 B2 x yyyzz J ( , ,  )   zV ДК(14)Следовательно модуль Якобиана, равный J ( , ,  ) V  (15)дает коэффициент сужения объема при переходе от криволинейныхкоординат к декартовым координатам, тогда для бесконечно малых реберd , d , d  в криволинейных координатах:dVкр.к  d , d , dИ из (15) :dV ДК  J ( , ,  )  d  d d (16)То есть доказали (7)Докажем (8) по аддитивности объема (свойству объема):VQ*   1  dVQ*   J ( , ,  )  d  d d (17)QТаким образом доказали (8).Сформулируем теорию о замене переменных в ТИ:Теорема 1: В условиях (1) , (2) утв.1 и если f(x,y,z) непрерывна в Q ( илиограничена или непрерывна всюду кроме ММ((0)Н ) f ( x, y, z)dxdydz   f ( x( ,,  ), y( ,,  ), z( ,,  )) J ( ,,  )  d dd(18)*QЦилиндрические координаты.В цилиндрических координатах: (рис.2.8 стр.119)x  r cos y  r sin AKF3.RU(19)zz r (20) zxrD( x, y, z ) yJ ( , ,  )  J ( r ,  , z )D(r ,  , z ) rzrxyzxzcos y sin z0zzr sin  0r cos 0(21’)J (r ,  , z )  r(21)dV ДК  rdrd dz(22)V   rdrd dz(23)*0 11cos r sin sin r cos  r (cos 2   sin 2  )  rI   f ( x, y, z )dxdydz   f (r cos  , r sin  , z)rdrd dz(24)*QСферические координаты.Рассматривают две разновидности сферических координат.Разновидность 1 сферических координат.В сферических координатах: Рис.2.12 стр.

124x  r sin  cos y  r sin  sin (25)z  r cos rAKF3.RU  sin  cos D ( x, y , z )J ( , ,  )  sin  sin D(r ,  , )cos r sin  sin r cos  cos r sin  cos r cos  sin 0r sin sin  cos  sin  cos  cos =  r sin  sin  sin cos cos  sin 0 sin 2cos =  r 2 sin  (cos ( sin 2   cos  cos2  cos   sin  (sin  cos 2   sin  sin 2  ) = r 2 sin    cos 2   sin 2    r 2 sin (26)ПРОДОЛЖЕНИЕРазновидность 2 сферических координат.В сферической СК1 рис.