Соболев С.К. - Криволинейные интегралы, страница 5

Если потенциал U ( x, y ) данного векторного поля F еще неизвестен, то его следует найти (лучше вторым способом). Если потенциалU ( x, y ) уже известен, тоBB∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ F id l = U ( B ) − U ( A) .AAУпражнение 5. Напишите формулу для вычисление работы потенциальногополя первым способом по ломаной АСВ, если отрезки АС и СВ параллельныосям ОХ и OY соответственно.Пример 9.

Вычислить интеграл второго рода23∫ ( x − 2 y )dx + ( y − 2 x )dyГпо дуге Г окружности, проходящей через начало координат, от точки A(1; 2)до точки B(4; − 1) .Решение. Векторное поле F = ( x 2 − 2 y )i + ( y 3 − 2 x ) j , как мы уже убедилисьв примере 8, потенциально на всей плоскости, или, на другом языке,подынтегральное выражение является полным дифференциалом.

Поэтомуданный интеграл (работа поля F) по пути из точки А в точку В) не зависит отформы пути. Вычислим этот интеграл по ломаной АСВ, где C (1; − 1) , см. Рис.17, с помощью формулы (12):B (4; −1)∫−123( x − 2 y )dx + ( y − 2 x )dy =A(1; 2)4∫ (y3− 2) dy + ∫ ( x 2 + 2) dx =2= ( 14 y 4 − 2 y )y =−1y =2+ ( 13 x 3 + 2 x )x=4x =11= 29 14 .Проверим наши вычисления по формуле Ньютона – Лейбница.

Потенциалданного векторного поля F мы также уже нашли в том же примере 8:U = 13 x 3 − 2 xy + 14 y 4 . Значит,B (4; −1)∫B( x 2 − 2 y )dx + ( y 3 − 2 x )dy = ∫ dU = U ( B ) − U ( A) =A(1; 2)= U (4; −1) − U (1; 2) = 29 14 .AС.К.Соболев. Криволинейные интегралы274.4. Вычисление циркуляции плоского безвихревого поляв многосвязной областиПусть векторное поле G ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) j является безвихревым вовсех точках некоторой односвязной плоской области Ω, кроме несколькихособых точек P1 , P2 ,..., Pn , в которых данное поле не определено. Согласносвойству (1), циркуляция данного поля по любому замкнутому контуру, одинраз охватывающему только одну из этих точек Pk в положительнымнаправлении (против часовой стрелки), равна одному и тому же значениюCk , называемому циклической постоянной этого поля в данной точке.Чтобы вычислить эту постоянную, надо взять достаточно маленький контурпростой формы, например, окружность, охватывающую только эту точку.Для произвольного замкнутого контура Г надо определить, сколько раз и вкаком направлении (положительном илиотрицательном) он обходит каждую изособых точек Рk.

Тогда циркуляция поP3этому контуру равна:∫ G i d l = n1 ⋅ C1 + n2 ⋅ C2 + ... + nk ⋅ Ck ,ГP2где Ck – циклическая постоянная особойГP1точки– целое числоPk , аnk(положительное, отрицательное или ноль),равное числу обходов контура Г вокругРис. 18точки Pk , k = 1, ..., n .Например, на Рис. 18 замкнутый контур Г два раза охватывает точку Р1 вположительном направлении, ноль раз охватывает точку Р2, и один разточку Р3 в отрицательном направлении.

Если особые точки Р1, Р2 и Р3безвихревого поля G имеют циклические постоянные С1, С2 и С3соответственно, то циркуляция поля G по контуру Г равна:∫ G i d l = 2 ⋅ C1 + 0 ⋅ C2 − 1⋅ C3.ГПример 10. Найти работу векторного поля3x − yx + 3yF= 2⋅i + 2⋅j2x +yx + y2вдоль замкнутой кривой L x = 1 + 2 cos t , y = sin 2t , 0 ≤ t ≤ 2π в направлениивозрастания параметра t.Решение. Данное векторное поле определено во всех точках плоскости XOY,кроме начала координат. Для этого поля∂Q  x + 3 y ′y 2 − 6 xy − x 2  3x − y ′∂P,= 2===22∂x  x + y 2  x( x 2 + y 2 )2 x + y  y ∂yС.К.Соболев.

Криволинейные интегралы28поэтому оно является безвихревым вYдвусвязной области R 2 {O} . ДаннаяLлиния L имеет форму расположеннойгоризонтально восьмерки (как символ30бесконечности) и является одной из такX–1114называемых фигур Лиссажу (см. Рис.19), она охватывает начало координатРис. 19одинразвотрицательномнаправлении15.Вычислим циклическую постоянную поля F в начале координат, т.е.

работуполя F по окружности Г радиуса 1 с центром в начале координат, при обходееё в положительном направлении: x = cos t , y = sin t , t изменяется от t = 0 доt = 2π . ТогдаP = 3cos t − sin t , Q = cos t + 3sin t , dx = − sin t ⋅ dt , dy = cos t ⋅ dt ,поэтому, циклическая постоянная равна2πC=∫Г3x− yx2 + y2dx +x+3 yx2 + y 2dy =∫0 ( (3cos t − sin t )( − sin t ) + (cos t + 3sin t ) ⋅ cos t ) dt =2π=∫0 1⋅ dt = 2π .Следовательно, циркуляция этого поля по контуру L равна −C = − 2π .Если область Ω, в которой задано плоское безвихревое векторное поле, неодносвязна, то можно рассмотреть её некоторую односвязную подобласть Ω1,и в ней, по теореме 3, данное поле уже будет потенциальным.x + 3y3x − yПример 11.

Рассмотрим векторное поле F = 2⋅i + 2⋅ j из2x +yx + y2предыдущего примера в области Ω1, заданной неравенством x > 0 . Этаобласть односвязна, и поэтому данное безвихревое поле в нем потенциально.Можно проверить, что потенциалом поля F в данной области являетсяy3x − y∂UфункцияU ( x, y ) = 32 ln x 2 + y 2 + arctg ,поскольку= 2,x∂x x + y 2x + 3y∂U= 2. Поэтому работу данного поля по любому замкнутому∂y x + y 2(14)Фигура Лиссажу – траектория, прочерчиваемая точкой, совершающей одновременно двагармонических колебания в двух взаимно перпендикулярных направлениях, т.е.

это плоскаялиния, заданная параметрически уравнениями вида x = a cos( mt + ϕ ), y = b cos( nt + θ ) , гдеa, b, m, n, ϕ , θ – параметры. Фигуры Лиссажу удобно наблюдать на осциллографе.15Методы исследования и построения плоских кривых, заданных параметрически и в полярныхкоординатах, с применением элементарной математики, теории предела и дифференциальногоисчисления, изложены в работе [5] В первом приближении эту кривую можно построить поточкам.С.К.Соболев.

Криволинейные интегралы29контуру, расположенному в области Ω1, равна нулю, а работа по любомупути из точки А в точку В, целиком лежащему в Ω1, не зависит от формыпути и может быть найдена по формуле Ньютона – Лейбница. Например,B (2; 2)∫A( 3; −1)3x − yx2 + y2dx +x +3 yx2 + y2dy = U (2; 2) − U ( 3; − 1) == 23 ln8 + arctg1 − 23 ln 4 + arctg13= 32 ln 2 + 125 π .Ответы к упражнениям:d1.∫L f ( x, y ) dl = ∫c f ( x( y ), y ) ⋅( )1 + x ′y2⋅ dy2.

d = 2R .π3. F = ∫ µ ( x, y , z ) ⋅ E ( x, y , z ) dl .Ld4.∫L G ( x, y ) i dl = L∫ Pdx + Qdy = ∫c ( P( x( y ), y ) ⋅ x′( y ) + Q( x( y ), y ) ) ⋅ dy.B ( x2 ; y 2 )5.∫A( x1; y1 )P ( x, y )dx + Q ( x, y )dy =x2y2x1y1∫ P( x, y1 )dx + ∫ Q( x2 , y )dy.Контрольные вопросы1.2.3.4.5.6.7.8.Дайте определение криволинейного интеграла первого рода.Сформулируйте свойства криволинейного интеграла первого рода.Какие геометрические приложения имеет криволинейный интегралпервого рода?Какие физические приложения имеет криволинейный интеграл первогорода?Как вычисляется криволинейный интеграл первого рода вдоль линии,заданной: (а) параметрически; (б) явно на плоскости; (в) в полярныхкоординатах?Дайте определение криволинейного интеграла второго рода.Зависит ли от ориентации кривой: (а) интеграл первого рода;(б) интеграл второго рода?Сформулируйте свойства криволинейного интеграла второго рода.С.К.Соболев.

Криволинейные интегралы9.10.11.12.13.14.15.16.17.18.19.20.21.22.23.24.25.26.30Что такое (а) связная плоская область; (б) односвязная плоская область?Приведите примеры.Что такое циркуляция векторного поля? Как она обозначается?Сформулируйте теорему Грина.Какие приложения имеет формула Грина.Что такое: градиент скалярного поля? Какими свойствами он обладает?Что такое ротор плоского векторного поля?Как можно записать формулу Грина с помощью ротора?Что такое потенциальное векторное поле?Что такое безвихревое плоское векторное поле?Какие два пути называются эквивалентными относительно даннойплоской области?Какими свойствами обладает плоское потенциальное векторное поле?Какими свойствами обладает плоское безвихревое векторное поле?Что такое потенциал векторного поля? Для каких векторных полейсуществует потенциал? Какие способы его нахождения вы знаете?Напишите формулу Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла.В каком случае она справедлива?Чем отличаются: «криволинейный интеграл второго рода от полногодифференциала» и «работа потенциального векторного поля»?Какие способы вы знаете вычисления криволинейный интеграл второгорода от полного дифференциала по незамкнутому пути.В каких случаях циркуляция векторного поля заведомо равна нулю?Что такое циклическая постоянная плоского безвихревого векторногополя? Где она применяется?Литература.1.

Гаврилов В.Р., Иванова Е.Е., Морозова В.Д. Кратные и криволинейныеинтегралы. Элементы теории поля. Серия «Математика в техническомуниверситете», вып. 9. М.: МГТУ, 2001.2. Краснов М.Л., Киселев А.И. и др. Вся высшая математика. Т. 4. М.:УРСС, 2000.3. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. Том 2. М.: Дрофа, 2003.4. Мельников Д.А., Неклюдов А.В., Титов К.В. Криволинейные иповерхностные интегралы.

Методические указания к выполнениютипового расчета. МГТУ, 2002.5. Соболев С. К., Ильичев А. Т. Исследование и построение плоскихкривых, заданных параметрически и в полярных координатах. – М.:Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. – 80 с.С.К.Соболев. Криволинейные интегралы31СодержаниеВведение··················································································································21. Криволинейный интеграл первого рода·············· ······································31.1. Определение криволинейного интеграла первого рода·······························31.2.

Свойства криволинейного интеграла первого рода······································41.3. Вычисление криволинейного интеграла первого рода·································51.4. Геометрические приложения криволинейного интеграла первого рода····61.5. Физические приложения криволинейного интеграла первого рода············71.6. Криволинейный интеграл первого рода от векторной функции·················91.7. Примеры на вычисление и приложения криволинейного интегралапервого рода·····································································································92. Криволинейный интеграл второго рода (работа векторного полявдоль ориентированного пути). ··································································112.1 Определение криволинейного интеграла второго рода·······························112.2.

Свойства криволинейного интеграла второго рода····································132.3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода·······························143. Формула Грина································································································163.1. Предварительные определения·····································································163.2.