Соболев С.К. - Криволинейные интегралы, страница 2

Криволинейные интегралы83) Определение. Центрóидом линии L (нематериальной, простогеометрической фигуры) называется центр масс этой линии с любойпостоянной плотностью (например, равной единице). Например, еслилиния L расположена в плоскости XOY, то её центроид C ( x0 ; y0 ) имееткоординаты:LyL,x0 = x , y0 =LLгде Lx = ∫ x dl , Ly = ∫ y dl и L = ∫ dl – длина кривой L.LLL74) Первая формула Гульдина .

Площадь поверхности, полученнаявращением вокруг оси кривой, расположенной в плоскости осивращения по одну сторону от неё, равна произведению длины этойлинии на длину окружности, которую описывает при вращениицентроид этой линии, т.е.S = L ⋅ 2π R0 ,где L – длина линии, R0 – расстояние от центрóида линии до осивращения.Упражнение 2. Не выполняя интегрирования, найдите с помощью первойформулы Гульдина расстояние от центроида полуокружности радиуса R допрямой, проходящей через её концы.5) Момент инерции.

Пусть материальная (например, пространственная)линия L имеет в каждой своей точке M ( x, y, z ) ∈ L линейнуюплотность массы µ ( x, y , z ) . Тогда момент инерции линии Lотносительно некоторой оси s равенI s = ∫ R 2 ( x, y, z ) ⋅ µ ( x, y, z ) dlLгде R( x, y , z ) расстояние от точки M ( x, y , z ) ∈ L до оси s. Например,если s есть ось ОХ, то R 2 ( x, y, z ) = y 2 + z 2 .6) Ньютонов (гравитационный или электрический) потенциалматериальной линии L в данной точке M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , расположеннойвне этой кривой L, имеющей линейную плотность (массы илисоответственно заряда) µ ( x, y, z ) :µ ( x, y , z )U (M0 ) = ∫dl ,(3)R( x, y , z )L7Гульдин Пауль (1577–1643) – швейцарский математик.

Написал работу о центрах тяжести тел, в которойтакже трактуются вопросы о поверхностях и объёмах тел. С его именем связан ряд теорем для определенияобъёмов и поверхностей тел вращения.С.К.Соболев. Криволинейные интегралы9где R( x, y , z ) – расстояние от произвольной точки M ( x; y; z ) ∈ L доточки M 0 ( x0 ; y0 ; z0 ) , т.е. R( x, y , z ) = ( x − x0 )2 + ( y − y0 ) 2 + ( z − z0 )2 .1.6. Криволинейный интеграл первого рода от векторной функцииОбычно криволинейный интеграл вычисляется от скалярной функцииf ( x, y , z ) , т.е.

скалярного поля8, и значением этого интеграла является число,т.е. тоже скаляр. Но в принципе, криволинейный интеграл первого родаможно находить и от векторной функции, т.е. от векторного поля9. Аименно, если в пространстве заданы линия L и векторное полеG ( x, y , z ) = P( x, y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R( x, y , z ) k , то, по определению,∫L G ( x, y, z ) dl def= i L∫ P( x, y, z ) dl + j L∫ Q( x, y, z ) dl + k L∫ R( x, y, z ) dl .Понятно, что значение такого интеграла есть вектор.Упражнение 3. Материальная линия L имеет линейную плотность массы(или заряда) µ ( x, y , z ) и расположена в гравитационном (или электрическом)поле имеющем напряженность E ( x, y, z ) .

Написать формулу для векторасилы F, действующей на эту линию со стороны поля.1.7. Примеры на вычисление и приложениякриволинейного интеграла первого рода.Пример 1. Найти площадь поверхности, полученной вращением кривой2L: ( x 2 + y 2 ) = a 2 ( x 2 − y 2 ) , x ≥ 0, y ≥ 0 вокруг прямой y = x .Решение.Перейдемкполярнымкоординатам:x = r cosϕ , y = r sin ϕ ,получим: r 4 = a 2 r 2 cosϕ ⇒ r = a cos2ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ π . Тогда кривая L – это4половина одной петли лемнискаты Бернулли (см. Рис 4).

Расстояние от точкиM ( x; y ) до прямой x − y = 0 выражается формулой:8скалярное поле – это отображение, которой каждой точке M ( x; y; z ) некоторой области Ωпространства (или плоскости) ставит в соответствие некоторой число (скаляр) U ( M ) = f ( x, y , z ) .Примеры скалярных полей: температура (в данной точке), давление, влажность, каждая изкоординат точки, расстояние от точки до фиксированной точки ( P ( a; b; c ) . Последнее скалярноеполе выражается формулой U = ( x − a )2 + ( y − b)2 + ( z − c )2 .9векторное поле в пространстве – это отображение, которой каждой точке M ( x; y; z ) некоторойобласти Ω плоскости или пространства ставит в соответствие некоторый вектор G ( M ) = G ( x, y, z ) ,Векторное поле в пространстве G ( M ) = G ( x, y , z ) вполне определяется своими тремя скалярнымикомпонентами (координатными функциями): G ( x, y, z ) = P( x, y, z )i + Q( x, y, z ) j + R( x, y, z )k ., аплоское векторное поле определяется двумя координатными функциями:F ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) jС.К.Соболев.

Криволинейные интегралыR ( x, y ) =x− y=210x − y r (cosϕ − sin ϕ )== r cos (ϕ + π4 ) .22В данном случае2sin 2ϕ dϕdl = r + ( rϕ′ ) dϕ = a cos 2ϕ +  − a. dϕ = acos2ϕcos2ϕ222По формуле (2), площадь поверхности вращения равнаπ4S = 2π ∫ R( x, y ) dl = 2π ∫ r cos (ϕ + π4 ) dl =L0ππ4= 2π ∫ a cos 2ϕ cos (ϕ + π4 ) ⋅ a0= 2π a 2 sin (ϕ + π4 )ϕ =π4ϕ =04dϕ= 2π a 2⋅ ∫ cos (ϕ + π4 ) ⋅ dϕ =cos2ϕ0= 2π a 2  1 − 2  = π a 2 2 − 2 .2 ()ZYсy = x (ϕ = π )4Pr = a cos 2ϕNLa0YХ0Рис. 4Рис.

5φRaXПример 2. Вычислить ньютонов потенциал окружности x 2 + y 2 = R 2 , z = 0массой М в точке P( a; 0; c) , плотность в любой точке окружностипропорциональна расстоянию от этой точки до оси ОХ.Решение. Параметризуем окружность: (см. Рис 5):x = R cos ϕ , y = R sin ϕ , 0 ≤ ϕ ≤ 2π .Тогда, как легко проверить,2dl = ( − R sin ϕ )2 + ( R cosϕ ) dϕ = R ⋅ dϕ ,NP = ( R cos ϕ − a )2 + ( R sin ϕ ) 2 + c 2 = R 2 + a 2 + c 2 − 2 Ra cosϕ .С.К.Соболев. Криволинейные интегралы11Плотность линии в точке N ( x; y ) равна µ = k y = kR sin ϕ .

Найдемкоэффициент k > 0 , для чего вычислим массу окружности:ππM = 2 ∫ µ ⋅ dl = 2kR 2 ∫ sin ϕ dϕ = 4kR 2 , откуда k = M2 .4R00Поэтому, по формуле (3), потенциал в точке Р равен:U ( P) = ∫Lµ dlPNπkR 2 sin ϕ ⋅ dϕ= 2∫R 2 + a 2 + c 2 − 2 Ra cosϕ0Для вычисления этого интеграласделаем замену:t = R 2 + a 2 + c 2 − 2 Ra cosϕ ⇒ dt = 2 Ra ⋅ sin ϕ ⋅ dϕ ,ϕ = 0 ⇒ t = c 2 + ( R − a )2 , ϕ = π ⇒ t = c 2 + ( R + a ) 2 ,Тогда:c 2 +( R + a )2dt = MU ( P ) = kRa c2 +( R∫ −a )2 t 2aR=()c 2 + ( R + a )2 − c 2 + ( R − a ) 2 =2M222c + (R + a) + c + (R − a)2.2. Криволинейный интеграл второго рода(работа векторного поля вдоль ориентированного пути.2.1 Определение криволинейного интеграла второго рода.Пусть дан путь, т.е.

ориентированная линия L с концами точках А и В(т.е. линия, на которой указано направление, например, от А к В), ивекторное поле G ( x, y , z ) = P( x, y, z ) i + Q ( x, y , z ) j + R( x, y, z ) k .Разобьем линию L на п (на обязательно равных) частей точкамиA = C0 , C1 , C2 , ..., Cn −1 , Cn = B . Выберем на каждой дуге Ck −1Ck произвольнуюточку M k ( xk ; yk ; zk ) , обозначим ∆ lk = Ck −1Ck = ∆ xk i + ∆ yk j + ∆ zk k ,k = 1, 2, ..., n , и пусть λ ( P ) = max ∆lk (мелкость полученного разбиения Р1≤ k ≤nориентированной линии L).nСоставим интегральную сумму σ G ( P ) =def∑ (G ( M k ) i ∆lk ) =k =1(сумма скалярных произведений векторов G ( M k ) на векторы ∆ lk = ∆ lk )n= ∑ ( P( M k ) ⋅∆xk + Q ( M k ) ⋅∆yk + R( M k ) ⋅∆zk ) .k =1С.К.Соболев.

Криволинейные интегралыВ = Сп∆ lnG( M 3 )G( M 2 )M2∆ l3G ( M n −1 )Mn –1∆ ln −1Сn – 2С3L∆ l2С1G ( M1 )G( M n )MnСn – 1M3С212∆ l1Рис. 6M1А = С0Если существует конечный предел этих интегральных сумм при стремлениимелкости разбиения к нулю, λ ( P ) → 0 , не зависящий от способа разбиениялинии L на п частей и выбора точек Ck , то этот предел называетсякриволинейным (или просто линейным) интегралом второго рода отвекторной функции G ( x, y, z ) , (или работой векторного поля G ( x, y, z ) )вдоль ориентированной линии (пути) L, и обозначается:∫ G ( x, y, z ) ⋅ dl = ∫ Pdx + Qdy + Rdz =LLn= lim σ G ( P ) = limdef λ ( P ) →0λ ( P )→ 0∑ (G ( M k ) ⋅∆lk ) =k =1n= limλ ( P ) →0∑ ( P( M k ) ⋅∆xk + Q( M k ) ⋅∆yk + R( M k ) ⋅∆zk ).k =1Замечание. Криволинейный интеграл второго рода можно определить и наплоскости. А именно, если на плоскости XOY заданы ориентированнаялиния (путь) L и плоское векторное поле G ( x, y ) = P ( x , y ) i + Q ( x, y ) j , тосоответствующий криволинейный интеграл второго рода обозначается,естественно, так:∫ G ( x, y ) ⋅ dl = ∫ P( x, y )dx + Q ( x, y )dyLLТеорема существования.

Если ориентированная линия L имеет кусочногладкую параметризацию, а векторное полеG ( x, y , z ) = P ( x, y , z ) i + Q ( x, y , z ) j + R ( x, y , z ) kС.К.Соболев. Криволинейные интегралы13непрерывно на ней, то существует криволинейный интеграл второго рода∫L G ( x, y, z ) i dl .2.2. Свойства криволинейного интеграла второго рода.1) При смене ориентации линии на противоположную криволинейныйинтеграл второго рода меняет знак10, т.е. если путь L1 отличается отпути L только ориентацией, символически L1 = −L , то для любоговекторного поля G:∫-L G i dl = −L∫ G i dl ;2) Аддитивность.

Пусть точка С на пути (ориентированной линии) Lделит его на два пути L1 и L2 с той же ориентацией, т.е., символическиL = L1 + L2 , тоG i dl = ∫ G i dl + ∫ G i dl∫L +LLL1212(точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существуетинтеграл, стоящий слева и равен выражению, стоящему справа).3) Линейность. Для любых чисел α , β ∈ R и векторных полей F и Gсправедливо равенство:∫ ( α ⋅ F + β ⋅ G ) i dl = α ⋅ ∫ F i dl + β ⋅ ∫ G i dl ;LLL(точнее, если существуют оба интеграла в правой части, то существуети интеграл в левой части и равен выражению, стоящему в правойчасти).4) Теорема об оценке. Если путь L имеет длину L, и в любой точкеM ∈ L для векторного поля G ( M ) справедливо неравенствоG ( M ) ≤ C , то справедлива оценка5)∫L G i dl ≤ C ⋅ L .Связь с криволинейным интегралом первого рода. Пусть в любойточке M ∈ L векторное поле G ( M ) образует с касательным вектором11к ориентированной кривой в этой точке угол ϕ (вообще говоря,зависящим от точки М), то∫ G i dl = ∫ G ⋅ cosϕ ⋅ dlLL(слева стоит криволинейный интеграл второго рода, а справа – первого).1011Напомним, что криволинейный интеграл первого рода по линии L не зависит от её ориентации.касательный вектор s к кривой L, заданной параметрически: x = x(t ), y = y (t ), z = z (t ) ис ориентацией, соответствующей возрастанию параметра t, имеет координаты s{x′(t ); y′(t ); z′(t )} .С.К.Соболев.

Криволинейные интегралы142.3. Вычисление криволинейного интеграла второго рода.1) Основная формула для вычисления криволинейного интеграла второгорода, по сути, содержится во второй формой записи этого интеграла:∫ G ( x, y, z ) i dl = ∫ Pdx + Qdy + RdzLL x = x (t ),А именно, пусть в пространстве задана параметризация пути L:  y = y (t ) , z = z (t )причем, заданная ориентация на L соответствует изменению параметра t отt = α до t = β (возможно также, что α > β ) . Тогда dx = x ′(t )dt , dy = y ′(t )dt ,dz = z ′(t )dt и∫L G ( x, y, z ) i dl = L∫ Pdx + Qdy + Rdz =β= ∫ ( P ( x (t ), y (t ), z (t )) ⋅ x′(t ) + Q ( x (t ), y (t ), z (t )) ⋅ y ′(t ) + R( x(t ), y (t ), z (t )) ⋅ z ′(t ) ) ⋅ dt.