Соболев С.К. - Криволинейные интегралы, страница 4

Криволинейные интегралы214. Потенциальные и безвихревые поля на плоскости4.1. Основные определенияНапомним, что градиент плоского скалярного поля U ( x, y ) – это векторноеполе F = ∂U i + ∂U j . Как известно, градиент скалярного поля U ( x, y ) в каждой∂x∂yточке ортогонален линии уровня12 поля U ( x, y ) , проходящей через эту точку.Вихрем или ротором плоского векторного поля G ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) jв данной точке M 0 называется плотность циркуляции этого поля в этойточке, т.е.rot G= lim 1G ⋅ dl ,M 0 def D → M0S ( D)∫∂Dгде запись D → M 0 означает, что область D стягивается в точку M 0 , т.е.что M 0 ∈ D и δ ( D ) → 0 , где δ ( D ) – диаметр13 множества D, S ( D ) – площадьобласти D.Заметим, что ротор плоского векторного поля представляет собойскалярное поле.

Ротор векторного поля показывает степень его«закрученности». Положительные значения ротора (вихря) означаютзакрученность в положительном направлении (против часовой стрелки),отрицательные значения ротора (вихря) – закрученность в отрицательномнаправлении (по часовой стрелке).С помощью формулы Грина можно доказать, что в любой точке роторплоского поля равен∂Q ∂Orot G =−.∂x ∂yТогда саму формулу Грина можно кратко записать так:∫ G i dl = ∫∫ rot G dxdy .∂DDЗаметим также, что для любого скалярного поля U ( x, y ) , чьи смешанныечастные производные второго порядка непрерывны,rot ( grad U ) ≡ 0(9).Векторное поле F = P( x, y )i + Q ( x, y ) j называется потенциальным вобласти Ω ⊆ R 2 , если оно является градиентом некоторого скалярного поля12линия уровня скалярного поля U ( x, y ) – линия, вдоль которой это поле сохраняет постоянноезначение.

Семейство линий уровня задается уравнением U ( x, y ) = C , где C = const .13Диаметр множества D – это точная верхняя грань расстояний между любыми двумя точкамимножества D, т.е. δ ( D ) = sup AB . Диаметр существует у любого ограниченного множества, а вA, B∈Dслучае замкнутого множества в определении диаметра точную верхнюю грань можно заменить намаксимум: δ ( D ) = max AB .A, B∈DС.К.Соболев. Криволинейные интегралы22U ( x, y ) , F = gradU , т.е. во всех точках области Ω справедливы равенства∂U∂U= P( x, y ),= Q( x, y ) .∂x∂yПотенциал такого поля определяется однозначно с точностью до аддитивнойпостоянной, т.е. если F = grad U1 = grad U 2 , тоU1( x, y ) − U 2 ( x, y ) ≡ C = const .Вызывает интерес случай, когда плоское векторное поле, заданное внекоторой односвязной или многосвязной области Ω ⊆ R 2 таково, что во∂Q ∂Pвсех точках области Ω rot F = 0 , т.е. выполняется тождество−≡0∂x ∂yТакое векторное поле называется безвихревым в области Ω.

Очевидно, что всилу (9), всякое потенциальное плоское поле на плоскости являетсябезвихревым. Обратное не всегда верно.YYГ1Г2Г1ВГ2Г3А0ΩГ3X0ΩXРис. 15(б)Рис. 15(а)Пусть в некоторой области Ω ⊆ R 2 даны две точки А и В. Дваориентированных пути Г1 и Г2, ведущих из точки А в точку В, или двазамкнутых контура Г1 и Г2 в области Ω, называются эквивалентнымиотносительно области Ω, если один из этих путей можно непрерывнойдеформацией преобразовать в другой, не выходя из области Ω. Если эти двапути не имеют общих точек, кроме А и В, то это равносильно тому, чтозамкнутый контур Г = Г1 − Г 2 , ограничивает область D, целиком лежащую вΩ.

Замкнутый контур Г называется эквивалентным нулю относительнообласти Ω, или стягиваемым к нулю. Если область Ω односвязна, то длялюбых её точек А и В любые два пути, ведущие из А в В эквивалентны, илюбые два замкнутых пути тоже эквивалентны.Например, на рис. 15(а) в области Ω из точки А в точку В ведут три пути: Г1,Г2 и Г2, причем первые два пути эквивалентны между собой относительнообласти Ω, но не эквивалентны третьему. На рис. 15(б) в области Ω лежат тризамкнутых контура Г1, Г2 и Г2, из которых последние два эквивалентнымежду собой относительно области Ω, но не эквивалентны первому. Первыйконтур можно стянуть в точку относительно Ω, а второй и третий – нет.С.К.Соболев.

Криволинейные интегралы234.2. Свойства плоских потенциальных и безвихревых полей.Теорема 2. Пусть в области Ω ⊆ R 2 задано плоское потенциальное полеF ( x, y ) = P( x, y )i + Q( x, y ) j т.е. такое, что для некоторого скалярного поляU ( x, y ) (потенциала поля F) в области Ω справедливы тождества:∂U∂U≡ P( x, y ),≡ Q( x, y ) ,∂x∂yи частные производные функций P( x, y ) и Q ( x, y ) непрерывны в области Ω.Тогда:∂Q ∂P(а) векторное поле F является безвихревым в области Ω, т.е.−≡ 0;∂x ∂y(б) циркуляция поля F по любому замкнутому контуру равна нулю;(в) работа поля по любому пути в области Ω, ведущему из точки А в точкуВ, не зависит от формы пути и равна разности потенциалов:BB∫ F idl = ∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = U ( B) − U ( A) .A(10)AЭта формула называетсякриволинейных интегралов.формулойНьютона–ЛейбницадляВ этом случае применяют и несколько иную терминологию.

Тот факт, чтовекторное поле F ( x, y ) = P( x, y )i + Q( x, y ) j потенциально и имеет потенциалU ( x, y ) означает, что форма P( x, y )dx + Q ( x, y )dy является полнымU ( x, y ) ,т.е.дифференциаломнекоторойфункции,а именноP( x, y )dx + Q( x, y )dy = dU , поэтому теорему 2 можно переформулироватьтак:криволинейный интеграл от полного дифференциала по любомузамкнутому контуру равен нулю:∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ dU = 0 ,ГГа по незамкнутому пути не зависит от формы пути, соединяющего дведанные точки А и В, и вычисляется по формуле: Ньютона – Лейбница:BB∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ dU = U ( B ) − U ( A) .AAСледующая теорема описывает свойства плоских безвихревых полей.Теорема 3.

Пусть в области Ω ⊆ R 2 задано плоское безвихревое векторноеполе G ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) j , т.е. во всех точках области Ω выполняется∂Q ∂Pтождество−≡ 0 . Тогда:∂x ∂yС.К.Соболев. Криволинейные интегралы24(а) Если два пути Г1 и Г2 эквивалентны относительно области Ω, то работаполя G по пути Г1 равна работе поля G по пути Г2:Г1 ~ Г 2 ⇒ ∫ G i d l = ∫ G i d l ;ΩГ1Г2(б) Если замкнутый контур Г лежит в области Ω и его можно стянуть вноль относительно области Ω, то циркуляция поля G по контуру Г равнанулю;(в) если область Ω односвязна, то поле G ( x, y ) = P ( x , y ) i + Q ( x, y ) jпотенциально, и поэтому обладает всеми свойствами потенциального поля.4.3. Нахождение потенциала и вычисление работыплоского потенциального поляЕсли в односвязной области Ω.

векторное поле G ( x, y ) = P ( x, y ) i + Q ( x, y ) jявляется безвихревым, то это поле потенциально. Покажем, как надонаходить потенциал такого поля.YПервый способ. Взять любую точку P( x0 ; y0 ) ,Myв которой будем считать, что U ( P ) = 0 , и тогдапотенциал в другой произвольной точкеM ( x, y ) равен работе поля G по любому путиPNx0(расположенному в области Ω), ведущему от Р кXМ, например, по отрезку прямой РМ, или поx0двухзвенной ломаной PNM, где отрезки PN иРис. 16NM параллельны координатным осям.

Если,например, отрезок PN параллелен оси ОХ, а NM параллелен оси OY, см. Рис.16, то точка N имеет координаты N ( x; y0 ) , и тогда:MNMU ( M ) = U ( x ; y ) = ∫ G i dl = ∫ G i dl + ∫ G i dl =PxPNy= ∫ P(t , y0 ) dt + ∫ Q ( x, t ) dtx0(11).y0Второй способ. Поскольку для искомого потенциала U ( x, y )∂U∂U≡ P( x, y ),≡ Q( x, y ) , то U ( x, y ) = ∫ P( x, y ) dx = F ( x, y ) + C ( y ) . Для∂x∂yy = const∂U= ( F ( x, y ) )′ y + C ′( y ) и∂yприравнять последнее выражение функции Q ( x, y ) , откуда найти C ′( y ) , апосле интегрирования – и саму функцию C ( y ) .нахожденияфункцииC( y)надонайтиПример 8. Проверить, что векторное поле F = ( x 2 − 2 y )i + ( y 3 − 2 x ) jявляется потенциальным во всей плоскости, и найти его потенциал.С.К.Соболев. Криволинейные интегралы25Решение.

Здесь P( x, y ) = x 2 − 2 y, Q ( x, y ) = y 3 − 2 x , поле определено во всех∂Q∂Pточках плоскости,и поэтому поле F является безвихревым, и= −2 =∂x∂yпоскольку вся плоскость R 2 , очевидно односвязна, то и потенциальным.Применим первый способ. Возьмем, например, P(0; 1) . Тогда, по формуле(11),yxyxU ( x, y ) = ∫ P(t ,1) dt + ∫ Q ( x, t ) dt = ∫ (t 2 − 2) dt + ∫ (t 3 − 2 x ) dt =0= ( 13 t 3 − 2t )1t=xt =00+ ( 14 t 4 − 2 xt )t= yt =11= 13 x 3 − 2 x + 14 y 4 − 2 xy − 41 + 2 x == 13 x 3 − 2 xy + 14 y 4 + 14 .Поскольку потенциал определен с точностью до произвольной аддитивнойпостоянной, то U ( x, y ) = 13 x 3 − 2 xy + 14 y 4 + C .Применим второй способ. Для потенциала U ( x, y ) выполняются равенства:∂U∂U= P( x, y ) = x 2 − 2 y ,= Q( x, y ) = y 3 − 2 x .∂x∂yТогда:U ( x, y ) = ∫ P( x, y ) dxy = cos t= ∫ ( x 2 − 2 y ) dxy = cos t= 13 x 3 − 2 xy + C ( y ).Далее,∂U= ( 12 x 3 − 2 xy + C ( y ) )′ = −2 x + C ′( y ) = Q ( x, y ) = y 3 − 2 x ,y∂yОткуда C ′( y ) = y 3 ⇒ C ( y ) = 14 y 4 + C .Итак, потенциал U ( x, y ) = 13 x 3 − 2 xy + 14 y 4 + C .Работу плоского безвихревого (в частности, потенциального) в области Ωполя F ( x, y ) = P( x, y )i + Q( x, y ) j по некоторому пути из точки А в точку Вможно найти также двумя способами.Первый способ.

Взять произвольный наиболее удобный путь из точки А вточку В, эквивалентный данному пути относительно области Ω, например,отрезок прямой, или ломаную АСВ, звенья которой параллельныкоординатным осям (если поле потенциально, то выбираем любой путь из А вВ, можно и не эквивалентный данному). В последнем случае, если точка А иВ имеют координаты A( x1; y1 ), B( x2 ; y2 ) и например, отрезок АС параллеленоси ОY, а СВ параллелен OХ, то точка С имеет координаты C ( x1; y2 ) , и тогда:С.К.Соболев. Криволинейные интегралыBC ( x1 ; y2 )B∫ P( x, y )dx + Q( x, y )dy = ∫ F id l = ∫Ax2y1x1B ( x2 ; y2 )∫F id l +A( x1 ; y1 )Ay226F id l =C ( x1 ; y2 )(12)∫ Q( x1, y )dy + ∫ P( x, y2 )dx.=Второй способ.