Каганова В.В., Каганов Ю.Т., Тимофеев Г.А. - Кинематический анализ рычажных механизмов

1В.В. Каганова, Ю.Т. Каганов, Г.А. ТимофеевКИНЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ РЫЧАЖНЫХ МЕХАНИЗМОВПрежде всего введем понятие масштаба в курсе Теория механизмов.Масштабомназываетсяграфическоеизображениеединицыдействительной физической величины. Например, имеем график,приведенный на рис. 1.S, м32 Xt = 110 мм10Ys = 50 мм0,10,20,3t, c0,4Рис.1. Понятие масштаба.По определению  = отрезок чертежа / действительная величина. Масштабграфика по оси ординат графика рис.1  S = yS / S = 50 мм / 2 м = 25 мм / м.Масштаб графика по оси абсцисс  t = x t / t = 110 мм / 0, 22 с = 50 мм / с.Натуральный масштаб 1: 1 в нашем курсе представляют как  l = 1000 мм / м;Увеличенное изображение , например, в два раза  l = 2000 мм/ м;Уменьшенное изображение, например в два раза  l = 500 мм / м.Изобразим в масштабе  l = s мм/м кинематическую схему кривошипно –ползунного механизма, шатун которого представляет треугольник с вершинамиВСМ.

( кинематическая схема в отличие от структурной вычерчивается вмасштабе l = AB/lAB) рис.2lмм/м1B23S2AS1 4MCD4Рис. 2. Кинематическая схема кривошипно-ползунного механизма.2ДАНО : угловая скорость кривошипа  1 рад / с, угловое ускорение кривошипа 1 рад / с , длины звеньев: l1 = l AB , l2 = lBC , l BS2 , l S2C , l BM , l MCОпределить : линейные скорости и линейные ускорения всех подвижныхкинематических пар механизма , центров масс звеньев и точки М, а такжеугловые скорости и угловые ускорения всех подвижных звеньев механизма.РЕШЕНИЕПрежде, чем начатьрешение задачи, необходимо рассмотреть схемумеханизма и представить себе, какое движение осуществляет каждое изподвижных звеньев механизма.

Начинают со звеньев, которые непосредственновзаимодействуют со стойкой ( звено 4 на рис.2).Кривошип ( звено 1) связан со стойкой 4 вращательной кинематической паройА, которая дает возможность звену 1 совершать полный оборот вокруг оси А.Следовательно, точка В, расположенная на расстоянии l АВ от оси А движетсяпо окружности радиуса l АВ . Линейная скорость этой точки VB направлена поугловой скорости  1 касательно к траектории точки В, то есть перпендикулярнорадиусу АВ и определяется какVB = 1  l ABЗвено 3 ( поршень или ползун) движется вдоль стойки 4, то есть совершаетвозвратно – поступательное движение вправо или влево.

Следовательно,траектория любой точки звена 3 представляет собой прямую линию.Звено 2 – (шатун) непосредственно со стойкой не взаимодействует и совершаетплоско – параллельной движение. Поэтому траектория любой точки звена 2представляет собой сложную ( шатунную) кривую, а для определениякинематических параметров любой точки шатуна составляются уравненияплоско- параллельного движения.Договоримся, что уравнения плоско – параллельного движения будемзаписывать так, чтобы в левой части уравнения находился определяемыйпараметр, а первым членом правой части был бы известный параметр. Так дляопределения скорости точки С уравнение плоско – параллельного движениязаписывается как:VC = V B + VCBДоговоримся, что и в дальнейшем в левой части подобного уравнениязаписывается частично известный параметр; первым членом правой частиуравнения записывается полностью известная величина, а вторым членомправой части является частично известный параметр.Подчеркнем снизу символы формулы двумя черточками, если скоростьизвестна полностью как по величине, так и по направлению ( скорость точки Вопределена выше и по величине, и по направлению и поэтому подчеркиваем еедвумя черточками).

Одной черточкой снизу подчеркивается символ, которыйизвестен либо по направлению, либо по величине ( Скорость точки С известнатолько по направлению. Скорость точки С направлена вдоль линии АС так какзвено 3, которому принадлежит точка С движется поступательно вдоль линииАС).В записанном уравнении две неизвестные величины ( неизвестны численныезначения скорости точки С и относительной скорости V СВ ), следовательно,данное уравнение можно решить графическим способом. Для этого зададимся3отрезкомp Vbпроизвольной длины направленного перпендикулярнозафиксированному мгновенному положению кривошипа 1, (отрезок AB насхеме) изображенного на рис.2 в сторону угловой скорости звена 1 1 .Другими словами, отрезок p Vb изображает скорость точки В в некотороммасштабе V = отрезок pVb / скорость точки В.Точка р V называется полюс плана скоростей.

Она выбирается в произвольномместе чертежа, на котором строится план ( рис.3).PvVC cVCBVMmVBVS2bРис.3. План скоростей.Итак, из полюса проводится отрезок р Vb перепендикулярно отрезку АВ схемымеханизма рис. 2. На конце отрезка р Vb отмечается буква b. В соответствии суравнением плоско – параллельного движения через точку b проводитсянаправление относительной скорости VCB перпендикулярное к отрезку ВС (перепендикулярное к положению шатуна в данный момент времени) схемымеханизма рис.2. Для того, чтобы замкнуть план скоростей , из полюса pVпроводится линия параллельная направлению отрезка АС схемы механизмарис.2 ( скорость точки С направлена вдоль АС, как было отмечено выше) допересечения с ранее проведенным на плане отрезком, изображающимотносительную скорость VCB . На пересечении указанных отрезков ставитсябуква «с».Таким образом, отрезок "bc" изображает на плане скоростей линейнуюотносительную скорость VCB , отрезок "pVc" - линейную скорость точки Сзвена 3.

Чтобы подсчитать численные значения каждой из скоростей,необходимо использовать масштаб построения плана скоростей.pcСкорость VC = v , м / с;vОтносительная скорость VCB =cb, м / с.VОпределим скорость центра масс звена 2 VS2. Для этой цели можно такжезаписать уравнение плоско – параллельного движения :V S 2 = VB + VS2BПо данному уравнению можно построить план скоростей так как это было ужепоказано выше. Однако , гораздо проще для определения скорости центра массзвена 2 использовать правило распределения относительных скоростей дляточек, расположенных на звене 2 :4lS2BVS 2 BbS2lS 2 B== bS2 = cblCB , мм.VCBcbl CBПолучив величину отрезка bS2 в миллиметрах, его величину откладывают наплане скоростей на отрезке "bc" - от точки "b" к точке "c".

Полученную точкуS2 соединяют с полюсом плана pVb и находят направление скорости центрамасс звена 2. Для определения численного значения абсолютной скоростицентра масс шатуна необходимо использовать понятие масштаб построения:VS 2 = p V s 2 , м / c. VДля определения линейной скорости точки, расположенной вне звена 2,например, точка М, можно записать два уравнения плоско – параллельногодвижения :VM =VB+ VMBVM = V C + VMC .Используя эти два уравнения , на плане скоростей из точки b проводятлинию ( направление относительной скорости VMB), перпендикулярноположению в данный момент времени стороны МВ звена 2 механизма рис.2, аиз точки с плана скоростей проводят линию ( направление относительнойскорости VMC )перпендикулярно стороне МС звена 2 механизма рис. 2.

Напересечении указанных линий получают точку m , соединив которую сполюсом плана скоростей pV , получают направление абсолютной скороститочки М. Для определения величины этой скорости необходимо замеритьлинейкой отрезок p Vm и учесть масштаб плана скоростей:p vmVM =, м/с vМожно определить линейную скорость точки М , расположенную вне шатуна (звена 2) другим способом , используя правило подобия соответствующихтреугольников на схеме механизма и на плане скоростей:  ВМС механизмасоответственно подобен  bmc плана скоростей. Соответственно подобенозначает, что направление обхода букв по вершинам указанныхтреугольников должно быть одинаковым.

Так, если обход вершинтреугольника ВМС механизма осуществлять против часовой стрелки, то и обходбукв вершин треугольника bmc плана скоростей должен быть осуществлентакже против часовой стрелки. Таким образом, можно определить на планескоростей положение точки m относительно отрезка "bc" ( справа или слева отэтого отрезка находится точка m ).

Важно иметь ввиду только одно: так какточка М на механизме находится вне звена 2, то и на плане скоростей точкаm будет расположена вне отрезка "bc".Для точного определения местоположения точки m на плане скоростейнеобходимо составить две пропорции (для определения длины отрезков "bm" и"cm", рис. 3.):1. Увяжем скорость точки М со скоростью точки В:5LmbV MB mb = cb  lMB мм. Данный отрезок= MB =V CBLCBcblCBна плане скоростей изображает в масштабе плана V относительную скоростьVMB2. Увяжем скорость точки М со скоростью точки С :mc llV MC= MC =mc = cb  MC мм. Данный отрезок наV CBlCBcblCBплане скоростей изображает в масштабе V относительную скорость VMC.3.

Используя правило обхода букв треугольников ВМС и bmc и знаявеличины отрезков mb n mc, сделаем циркулем засечки радиусом mb източки b плана скоростей и радиусом mc из точки c этого же плана. Напересечении дуг ставится точка m. ( в данном случае точка m расположенасправа от отрезка bc на плане скоростей).Полюс плана скоростей pV соединяется отрезком pVm с точкой m.Полученный отрезок изображает на плане скоростей в масштабе плана Vабсолютную скорость точки М, численное значение которой определяется как:p mVM = V , м / с.VДля определения численного значения угловой скорости звена 2 запишемуравнение: 2 = VCB , рад / с.lCBДля определения направления угловой скорости  2 на плане скоростей находятотрезок bc и его направление.

Относительная скорость точки всегда направленапо угловой скорости звена, на котором эта точка расположена. Следовательно,в данном случае угловая скорость звена 2 направлена против часовой стрелки. (По- другому направление  2 определяется так: вектор bc с плана скоростеймысленно располагают в точке С механизма и поворачивают вокруг точки В,так как точка В механизма в относительном движении звена 2 являетсямгновенным центром скоростей).ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЛИНЕЙНЫХ УСКОРЕНИЙ .Принцип определения линейных ускорений кинематических пар и точек,расположенных на звеньях механизма, аналогичен выше приведенномупринципу определения линейных скоростей. Разница лишь в том, что линейноеускорение в отличие от линейной скорости имеет две составляющие:нормальную и тангенциальную.