Лекции в электронном виде, страница 22

Например, области Θ0 ,Θ1 могут быть заданы неравенствами θ 6 θ0 и θ > θ1 , где θ0 и θ1 — некоторые фиксированныезначения параметра, удовлетворяющие неравенству θ0 < θ1 .Критерий проверки сложных гипотез (17.6) по-прежнему задается с помощью критического~ n , на основе которого решение принимают следумножества W реализаций случайной выборки Xющим образом:~ n принадлежит критическому множеству W , тогда• если реализация ~xn случайной выборки Xосновную гипотезу H0 отвергают и принимают альтернативную гипотезу H1 ;~ n не принадлежит критическому множеству W ,• если реализация ~xn случайной выборки Xтогда отвергают альтернативную гипотезу H1 и принимают основную гипотезу H0 .Вероятности совершения ошибок первого и второго рода в случае сложных гипотез имеют прежний смысл и определяются выражениями©ª©ªα(θ) = P (X1 ; .

. . ; Xn ) ∈ W | θ , θ ∈ Θ0 ; β(θ) = P (X1 ; . . . ; Xn ) ∈ W | θ , θ ∈ Θ1 .В отличие от случая простых гипотез, величины α(θ), β(θ) являются некоторыми функциями отпараметра θ.Максимально возможное значение вероятности совершения ошибки первого родаα = max α(θ)θ∈Θ0называют размером критерия.Функцию©ªM (θ) = P (X1 ; . .

. ; Xn ) ∈ W | θ ,определяющую значение вероятности отклонения основной гипотезы H0 в зависимости от истинногозначения параметра θ, называют функцией мощности критерия. Если существует критерий,который при данном фиксированном размере α максимизирует функцию мощности M (θ) по всемвозможным критериям одновременно при всех θ из множества Θ1 , то такой критерий называютравномерно наиболее мощным.

Равномерно наиболее мощные критерии существуют лишь внекоторых частных случаях при проверке гипотез относительно одномерных параметров (см. примеры 17.5–17.7).Вероятности совершения ошибок первого и второго рода связаны с функцией мощности следующими соотношениями:α(θ) = M (θ), θ ∈ Θ0 ;β(θ) = 1 − M (θ), θ ∈ Θ1 .(17.7)(17.8)Тем самым равномерно наиболее мощный критерий, если он существует, минимизирует вероятность совершения ошибки второго рода β(θ) (при фиксированном размере α) одновременно привсех θ ∈ Θ1 .Построение критериев для проверки сложных параметрических гипотез проиллюстрируем далеедля случая нормальной модели.82Пример 17.5 Рассмотрим проверку простой гипотезы H0 : µ = µ0 против сложной гипотезы H1 : µ >µ0 относительно параметра — среднего µ нормального распределения при известной дисперсии σ 2 .При любом µ1 > µ0 критическая область оптимального наиболее мощного критерия Неймана —Пирсона размера α для простых гипотез µ = µ0 против µ = µ1 имеет вид (17.1), где константу Cвыбирают из условия (17.2) или (17.3).

Поэтому она не зависит от µ1 . Это означает, что построенный уже выше для указанных простых гипотез критерий с критическим множеством, задаваемымнеравенством (17.1)nX√(17.9)xi > C = nµ0 + u1−α σ n,i=1является равномерно наиболее мощным критерием размера α для данной задачи со сложной альтернативной гипотезой H1 : µ > µ0 .Пример 17.6 В условиях предыдущего примера рассмотрим проверку простой гипотезы H0 : µ = µ0против сложной гипотезы H1 : µ < µ0 .В этом случае, используя результаты, полученные при рассмотрении примера 17.4, приходим квыводу, что равномерно наиболее мощный критерий размера α для данной задачи задается критическим множеством, определяемым неравенствомnX√xi 6 C = nµ0 − u1−α σ n.i=1Пример 17.7 В условиях примера 17.5 рассмотрим проверку двух сложных гипотез видаH0 : µ 6 µ0 ,H1 : µ > µ1 ,(17.10)где µ0 < µ1 .Заметим, что для критерия с критическим множеством (17.9) вероятность совершения ошибкипервого рода√ ´nnX³¯ onα(µ) = PXi > C ¯ µ = 1 − Φ u1−α + (µ0 − µ)σi=1есть возрастающая функция переменного µ.

Тем самым максимальное значение вероятности совершения ошибки первого рода, определяемое какα = max α(µ),µ6µ0достигается в точке µ = µ0 , откуда следует, что данный критерий, применяемый к сложным гипотезам (17.10), имеет размер α = α(µ0 ).Рассуждая далее так же, как в примере 17.5, получаем, что указанный критерий с критическойобластью (17.9) является равномерно наиболее мощным критерием для данной задачи со сложнымигипотезами.Пример 17.8 Рассмотрим проверку гипотез относительно параметра нормального распределенияµ следующего вида:H0 : µ = µ 0 ,H1 : µ 6= µ0(по-прежнему предполагаем, что дисперсия σ 2 известна).В этом случае основная гипотеза H0 является простой, а альтернативная гипотеза H1 являетсясложной.

При µ = µ0 рассмотрим статистикуX − µ0 √n,σкоторая имеет стандартное нормальное распределение. Критическое множество для проверки указанных гипотез H0 , H1 определим следующим образом:|x − µ0 | √n > u1−α/2 .σСоответствующий критерий по построению имеет вероятность совершения ошибки первого рода α.Пример 17.9 Рассмотрим проверку двух сложных гипотезH0 : µ = µ 0 ,H1 : µ > µ083(17.11)относительно параметра µ нормального закона распределения в случае, когда дисперсия σ 2 неизвестна.В отличие от примера 17.5 гипотеза H0 также является сложной. При µ = µ0 статистикаX − µ0 √n~ n)S(X(17.12)имеет распределение Стьюдента с n − 1 степенями свободы.

Исходя из этого получаем, что критерий с уровнем значимости α для гипотез (17.11) задается критическим множествомx − µ0 √n > t1−α (n − 1),S(~xn )где t1−α (n − 1) — квантиль уровня 1 − α распределения Стьюдента с n − 1 степенями свободы.Аналогично на основе статистики (17.12) строят критерий для проверки сложных гипотезH0 : µ = µ 0 ,H1 : µ < µ0(17.13)H0 : µ = µ0 ,H1 : µ 6= µ0 .(17.14)илиДля гипотез (17.13) критерий размера α задается критическим множеством, определяемым неравенствомx − µ0 √n 6 −t1−α (n − 1).S(~xn )Для гипотез вида (17.14) критерий размера α задают критическим множеством, определяемымнеравенством|x − µ0 | √n > t1−α/2 (n − 1).S(~xn )Пример 17.10 Рассмотрим проверку гипотез о равенстве математических ожиданий для двух различных нормальных распределений.Пусть определены две случайные выборки (X1 ; .

. . ; Xn ) и (Y1 ; . . . ; Ym ) объемов n и m из генеральных совокупностей независимых случайных величин X ∼ N (µ1 , σ12 ) и Y ∼ N (µ2 , σ22 ) соответственно.Рассмотрим следующие задачи проверки сложных гипотез относительно параметров µ1 , µ2 в случае, когда дисперсии σ12 , σ22 известны:H0 : µ1 = µ2 ,H1 : µ1 > µ2 ;(17.15)H0 : µ1 = µ2 ,H1 : µ1 < µ2 ;(17.16)H0 : µ1 = µ2 ,H1 : µ1 6= µ2 .(17.17)Разность выборочных средних X − Y имеет нормальное распределение с математическим ожиданием µ1 − µ2 и дисперсией σ12 /n + σ22 /m. Отсюда следует, что при справедливости основной гипотезы,т.е. при µ1 = µ2 , статистикаX −Yr(17.18)σ12 σ22+nmимеет стандартное нормальное распределение.

Исходя из этого, заключаем, что критерии размераα для указанных задач задаются критическими множествамиrx−yσ12n+σ22r> u1−α ;mx−yσ12n+σ226 −u1−α ;m|x − y|r> u1−α/2 . #σ12 σ22+nmРассмотрим также задачу проверки гипотез (17.15) –(17.16) о равенстве средних двух нормальных распределений в предположении, что их дисперсии не известны, но равны между собой:σ1 = σ2 = σ. Обозначим черезn~ n) =S 2 (Xm1 X(Xi − X)2 ,n − 1 i=1~m ) =S 2 (Y1 X(Yi − Y )2m − 1 i=1~ n )/σ 2 и (m −соответствующие исправленные оценки дисперсии. Статистики (n − 1)S 2 (X2 ~221)S (Ym )/σ имеют χ -распределения с n − 1 и m − 1 степенями свободы.

Тем самым статистика~ n ) (m − 1)S 2 (Y~m )(n − 1)S 2 (X+22σσ84имеет также χ2 -распределение с n + m − 2 степенями свободы . Учитывая, что случайная величина(17.18) при µ1 = µ2 имеет стандартное нормальное распределение, получаем, что статистика√(X − Y ) n + m − 2~ n, Y~m ) = qqTe(X11~ n ) + (m − 1)S 2 (Y~m )+(n − 1)S 2 (Xnmимеет распределение Стьюдента с n + m − 2 степенями свободы . Поэтому критерии размера αдля проверки гипотез (17.15)– (17.16) задаются с помощью критических множеств, определяемыхследующими неравенствами:Te(~xn , ~ym ) > t1−α (n + m − 2),(17.19)Te(~xn , ~ym ) 6 −t1−α (n + m − 2),¯¯¯Te(~xn , ~ym )¯ > t1−α/2 (n + m − 2).(17.20)85(17.21)Лекция 18Проверка непараметрических гипотезКритерий согласия χ2 .

Простая гипотезаПусть наблюдается дискретная случайная величина X, принимающая r различных значений u1 , . . . ,ur с положительными вероятностями p1 , . . . , pr :P {X = uk } = pk ,k = 1, r,rXpk = 1.k=1Допустим, что в выборке ~xn = (x1 ; . . . ; xn ) число uk встретилось nk (~xn ) раз, k = 1, r. Отметим,rP~ n ), . . . , nr (X~ n ) зависимы.nk (~xn ) = n, т.е. случайные величины n1 (Xчтоk=1Теорема 18.1 (теорема Пирсона) Распределение случайной величиныrX~ n ) − npk )2(nk (Xk=1npkпри n → ∞ сходится к χ2 -распределению с r − 1 степенями свободы.#Этой теоремой можно воспользоваться для проверки простой гипотезыH0 : p1 = p10 , . .

. , pr = pr0 ,(18.1)где p10 , . . . , pr0 — известные величины, против альтернативной гипотезыH1 : существуют такие k, что pk 6= pk0 , k = 1, r.(18.2)Если истинной является гипотеза H0 , то по закону больших чисел~ n)nk ( X− pk0 → 0,nk = 1, r,а если верна H1 , то~ n)nk (X− pk0 → pk − pk0 6= 0,nдля некоторых k = 1, r.Поэтому при H1 случайная величина³~ n) =χ2 (XrX~ n ) − npk0 )2(nk (Xk=1npk0=nrXk=1~ n)nk (Xn− pk0pk0´2(18.3)стремится к бесконечности и, следовательно, в эксперименте, как правило,принимает бо́льшие значения, чем при H0 , когда ее распределение стремится к распределению χ2 с r − 1 степенями свободы.Таким образом, становится естественным следующее определение критерия согласия χ2 (хивадрат).

Этот критерий при больших n на уровне значимости α отклоняет гипотезу H0 в пользуальтернативной гипотезы H1 , еслиχ2 (~xn ) > χ21−α (r − 1),где χ21−α (r − 1) — квантиль уровня 1 − α χ2 -распределения с r − 1 степенями свободы, а χ2 (~xn ) —реализация случайной величины (18.3).86Если жеχ2 (~xn ) 6 χ21−α (r − 1),то делается вывод о том, что гипотеза H0 не противоречит статистическим данным и ее следуетпринять.Критерием χ2 при небольших объемах выборки n пользоваться нельзя. На практике при небольших r необходимо, чтобы выполнялись условия npk > 10, k = 1, r, а если r велико (r > 20), достаточно,чтобы было npk > 5, k = 1, r.Критерий χ2 можно использовать и тогда, когда случайная величина X непрерывна или дискретна, но принимает счетное множество значений с положительными вероятностями. В этом случаемножество M возможных значений X разбивают на r непересекающихся подмножеств Mk , k = 1, r,таким образом, чтобы вероятность pk , k = 1, r, попадания случайной величины X в k подмножество Mk удовлетворяла условию npk > 5 или npk > 10, k = 1, r.