Лекции в электронном виде, страница 21

Поэтому()~ n)(n − 1)S 2 (X22< χ1−α (n − 1) = 1 − 2α,P χα (n − 1) <σ2где χ2q (n − 1) — квантиль уровня q χ2 -распределения с n − 1 степенью свободы. Деля все части~ n ), а затем переходя к неравенству для обратных величин,двойного неравенства на (n − 1)S 2 (Xполучим()~ n)~ n)(n − 1)S 2 (X(n − 1)S 2 (X2P<σ <= 1 − 2α,χ21−α (n − 1)χ2α (n − 1)т.е.Ã~ n ) (n − 1)S 2 (X~ n)(n − 1)S 2 (X,22χ1−α (n − 1)χα (n − 1)!—интервальная оценка для дисперсии σ 2 уровня доверия 1 − 2α.Приближенные интервальные оценки для математическогоожидания случайной величины~ n = (X1 , .

. . , Xn ) — случайная выборка объема n из распределения случайной величины XПусть Xс математическим ожиданием µ = MX и дисперсией σ 2 = DX.В соответствии с центральной предельной теоремой функция распределения случайной величиныX −µ √nσстремится к функции распределения Φ(x) стандартной нормальной случайной величины N (0, 1).Поэтому½¾X −µ √P −u1−α <n < u1−α ≈ 1 − 2α,σгде u1−α — квантиль уровня 1 − α стандартного нормального распределения. Умножая все частиσдвойного неравенства на − √ , а затем прибавляя X, получимn¾½σσP X − √ u1−α < µ < X + √ u1−α ≈ 1 − 2α.nnЗаменяя неизвестную величину σ ее оценкой, например, случайной величинойvunu 1 X~S(Xn ) = t(Xi − X)2 ,n − 1 i=1получим приближенную интервальную оценкуÃ!~ n)~ n)S(XS(XX − √ u1−α , X + √ u1−αnnматематического ожидания µ с доверительной вероятностью 1 − 2α.Доверительная оценка вероятности успеха в схеме БернуллиПусть Xi число успехов в i-ом, i = 1, n, испытании по схеме Бернулли с вероятностью успеха p ивероятностью неудачи q = 1 − p.

Тогда MXi = p, DXi = pq. Оценкой дисперсии DXi будет случайнаявеличина p̂q̂, где p̂ = X и q̂ = 1 − p̂ — доли успехов и неудач соответственно. Поэтому√√µ¶p̂q̂p̂q̂√√p̂ −u1−α , p̂ +u1−α—nnприближенная интервальная оценка вероятности успеха p с доверительной вероятностью 1 − 2α.76Доверительная оценка параметра распределения Пуассона~ n = (X1 , . . . , Xn ) — случайная выборка пуассоновской случайной величины X с параметромПусть Xλ. Так как MX = λ, DX = λ, то дисперсию DX можно оценить как и математическое ожидание MXслучайной величиной X. Поэтому приближенной интервальной оценкой параметра λ с доверительной вероятностью 1 − 2α будет интервалss XXX − u1−α, X + u1−α.nnДоверительная оценка выборочного коэффициента корреляцииПусть (Xi , Yi ), i = 1, n — выборка из распределения нормального случайного вектора (X, Y ).

ОбозначимnP(Xi − X)(Yi − Y )~ n, Y~n ) = s i=1sρb(XnnPP2(Xi − X)(Yi − Y )2i=1i=1выборочный коэффициент корреляции, являющийся состоятельной оценкой коэффициента корреляции ρ между X и Y .Р. Фишер показал, что случайная величинаZ=~ n, Y~n )1 1 + ρb(Xln~ n, Y~n )2 1 − ρb(Xуже для небольших значений n приблизительно распределена по нормальному закону с параметрами1 1+ρρ1MZ ≈ ln+,DZ =.2 1 − ρ 2(n − 1)n−3Отсюда следует, что интервальная оценка (ρ, ρ) для ρ уровня доверия 1 − α имеет вид(ρ, ρ) = (th z, th z),(16.2)гдеz=u1−α/21 1 + ρbρbln+−√;2 1 − ρb 2(n − 1)n−3(16.3)z=u1−α/21 1 + ρbρbln++√,2 1 − ρb 2(n − 1)n−3(16.4)а u1−α/2 — квантиль уровня 1 − α/2 стандартного нормального распределения.

Равенствами (16.3),(16.4) можно пользоваться и в тех случаях, когда вектор (X, Y ) не является нормальным. Но в этомслучае увеличивается длина интервала (th z, th z), а значит, ухудшается точность оценивания.Номер на123456789101112131415блюденияРост, см165 171 182 165 183 180 183 166 173 172 174 170 164 168 184Масса, кг 72,9 48,4 66,3 64,1 62,7 76,0 73,8 50,6 52,3 56,5 66,8 61,6 72,8 52,6 68,6Таблица 16.1.Пример 16.1 Вычислим значение ρb для пары случайных величин (X, Y ), где X — рост (в см), аY — масса тела (в кг) наугад выбранного студента-первокурсника. Выборка объема n = 15 представлена в табл.

16.1. Имеем15x=15X1 X2620= 173,3;xi =15 i=115(xi − x)2 = 747,33;i=115y=1 X945= 63,1.yi =15 i=11515X(yi − y)2 = 1171,4;15Xi=1i=1Таким образом,ρb = √293,3= 0,313.747,33 · 1171,477(xi − x)(yi − y) = 293,3.Найдем значения ρ и ρ при 1 − α = 0,9. Определив по таблице квантилей нормального распределения(см. 16.1) значение u1−α/2 = u0,95 = 1,65 и воспользовавшись формулой (16.2), получимρ = th z ≈ −0,162,ρ = th z ≈ 0,658.78Лекция 17Проверка гипотез. ПараметрическиемоделиОсновные понятия~Пусть имеется выборка ~xn , являющаяся реализацией¡ ¢ случайной выборки Xn из генеральной совокупности X, функция распределения которой F t; θ зависит от неизвестного параметра θ.Определение 17.1 Статистической гипотезой называют любое утверждение о функциираспределения случайной величины X, при этом слово “статистическая” для краткости обычноопускают.

Параметрическойгипотезой называют любое утверждение о параметре θ функции¡ ¢распределения F t; θ случайной величины X. При этом если θ — скаляр, то речь идет об однопараметрических гипотезах, а если вектор, — то о многопараметрических гипотезах.Статистическую гипотезу H называют простой, если она имеет вид H : θ~ = θ~0 , где θ~0 —некоторое заданное значение параметра. Статистическую гипотезу называют сложной, если она имеет вид H : θ~ ∈ D, где D — некоторое множество значений параметра θ, состоящее болеечем из одного элемента.~ n — случайная выборка объема n из генеральной совокупности X, распредеПример 17.1 Пусть Xленной по нормальному закону с неизвестным математическим ожиданием µ и известной дисперсией σ 2 .

Тогда гипотеза H: µ = µ0 , где µ0 — некоторое заданное значение параметра µ, являетсяпростой.Гипотезы H1 : µ > µ0 ; H2 : µ 6 µ0 ; H: µ0 6 µ 6 µ1 являются сложными.Пример 17.2 Пусть в примере 17.1 оба параметра µ и σ неизвестны. В этом случае гипотезаH: µ = µ0 становится сложной, так как ей соответствует множество значений двумерного вектораθ~ = (µ; σ), для которых µ = µ0 , 0 < σ < ∞.Проверка двух простых гипотезРассмотрим сначала случай, когда проверяются две простые статистические гипотезы видаH0 : θ = θ0 ,H 1 : θ = θ1 ,где θ0 , θ1 — два заданных (различных) значения параметра.

Первую гипотезу H0 обычно называют основной, или нулевой, а вторую H1 — альтернативной, или конкурирующей, гипотезой. По данным выборки ~xn исследователю нужно решить, можно ли принять выдвинутуюгипотезу или ее нужно отклонить как противоречащую результатам эксперимента и принять некоторую альтернативную гипотезу (например, θ 6= θ0 ).Критерием, или статистическим критерием, проверки гипотез называют правило, покоторому по данным выборки ~xn принимается решение о справедливости либо первой, либо второйгипотезы.Критерий задают с помощью критического множества W ∈ Rn , являющегося подмноже~ n .

Решение принимают следующим обством выборочного пространства Xn случайной выборки Xразом:• если выборка ~xn принадлежит критическому множеству W , то отвергают основную гипотезуH0 и принимают альтернативную гипотезу H1 ;79• если выборка ~xn не принадлежит критическому множеству W (т.е. принадлежит дополнениюW множества W до выборочного пространства Xn ), то отвергают альтернативную гипотезуH1 и принимают основную гипотезу H0 .

Множество W называют доверительным множеством.При использовании любого критерия возможны ошибки следующих видов:• принять гипотезу H1 , когда верна H0 — ошибка первого рода;• принять гипотезу H0 , когда верна H1 — ошибка второго рода.Вероятности совершения ошибок первого и второго рода обозначают α и β:©ª©ª~ n ∈ W | H0 ,~ n ∈ W | H1 .α=P Xβ=P X©ªЗдесь P A | Hj — вероятность события A при условии, что справедлива гипотезаHj , j = 0, 1.¡ ¢Указанные вероятности вычисляют с использованием функции плотности p t; θ распределения~ n:случайной выборки XZ Z Yn¡¢α = ...p tk ; θ0 dt1 . . . dtn ,WZ Z Yn¡¢p tk ; θ1 dt1 .

. . dtn .β = ...k=1Wk=1Вероятность совершения ошибки первого рода α называют также уровнем значимости критерия.Величину 1 − β, равную вероятности отвергнуть основную гипотезу H0 , когда она неверна, называют мощностью критерия.Критерий Неймана — ПирсонаПри построении критерия для проверки статистических гипотез, как правило, исходят из необходимости максимизации его мощности 1 − β (минимизации вероятности совершения ошибки второгорода) при фиксированном уровне значимости α критерия (вероятности совершения ошибки пер~ n — случайная выборкавого рода). Для упрощения дальнейших рассуждений будем считать, что Xобъема n из генеральной совокупностинепрерывной случайной величины X, плотность распреде¡ ¢ления вероятностей которой p t; θ зависит от неизвестного параметра θ, и рассмотрим две простыегипотезы H0 : θ = θ0 и H1 : θ = θ1 .~ n:Введем функцию случайной выборки X¡¢n~ n ; θ1¡¢ Y¡¢L X~~ n; θ =ϕ(Xn ) = ¡L Xp Xi ; θ .¢,~ n ; θ0L Xi=1~ n ) представляет собой отношение функций правдоподобия при истинности альСтатистика ϕ(Xтернативной и основной гипотез соответственно.

Ее называют отношением правдоподобия.Для построения оптимального (наиболее мощного) при заданном уровне значимости α критерия Неймана — Пирсона в критическое множество W включают те элементы ~xn выборочного~ n , для которых выполняется неравенствопространства Xn случайной выборки Xϕ(~xn ) > Cϕ ,где константу Cϕ выбирают из условия©ª~ n ) > Cϕ | H0 = α,P ϕ(Xкоторое обеспечивает заданное значение уровня значимости α и может быть записано в видеZ Z¡¢...L t1 , .

. . , tn ; θ0 dt1 . . . dtn = α.ϕ(t1 ,...,tn )>CϕПри этом вероятность ошибки второго рода не может быть уменьшена при данном значении вероятности ошибки первого рода α.Рассмотрим примеры построения оптимального критерия Неймана — Пирсона при проверкепростых гипотез относительно параметров основных, наиболее часто используемых распределений.80Пример 17.3 Построение оптимального критерия Неймана — Пирсона для параметра µ нормального закона распределения с известной дисперсией σ 2 проведем для случая двух простых гипотезH0 : µ = µ0 ,H1 : µ = µ1 ,где µ0 и µ1 — некоторые заданные значения, связанные неравенством µ0 < µ1 .В рассматриваемом случае функция правдоподобия имеет видµLX1 , .

. . , Xn µ =1√σ 2π¶nµ¶n1 X2exp − 2(Xi − µ) ,2σ i=1а отношение правдоподобия —¢¡¶µµ¶nL X1 , . . . , Xn ; µ1µ1 − µ0 Xn(µ21 − µ20 )~¢ = expϕ(Xn ) = ¡Xi exp −.σ 2 i=12σ 2L X1 , . . . , Xn ; µ0В данном случае неравенствоµnµ1 − µ0 Xxiϕ(~xn ) = expσ 2 i=1равносильно неравенствуnX¶µ¶n(µ21 − µ20 )exp −> Cϕ2σ 2xi > C,(17.1)i=1где константу C выбирают из условия обеспечения заданного уровня значимости α:PnnXo¯Xi > C ¯ µ = µ0 = α.(17.2)i=1Действительно,õnµ1 − µ0 Xln expxiσ 2 i=1откуда следует, чт!µnµ1 − µ0 Xn(µ1 − µ0 )2n(µ21 − µ20 )=x−> ln Cϕ ,exp −i2σ 2σ 2 i=12σ 2nXσ2xi >µ1 − µ0i=1µ¶n(µ21 − µ20 )ln Cϕ −= C.2σ 2Случайная величина X1 + · · · + Xn имеет нормальное распределение с математическим ожиданием nµ и дисперсией nσ 2 . Поэтому условие (17.2) можно записать в вид嵶C − nµ0√1−Φ= α,(17.3)σ nилиC − nµ0√= u1−α .σ nТаким образом, константа C, задающая критическую область в (17.1), определяется равенством√C = nµ0 + u1−α σ n.(17.4)При этом вероятность совершения ошибки второго родаβ=P¶µo¯C − nµ1√Xi < C ¯ µ = µ1 = Φσ ni=1nnX(17.5)является минимально возможной при данном значении α.Пример 17.4 Если в условиях примера 17.3 неравенство µ0 < µ1 заменить неравенством µ1 < µ0 ,то в этом случае критическое множество W задается неравенствомnXxi 6 C,i=181где константу C выбирают из условияPnnXo¯Xi 6 C ¯ µ = µ0 = α.i=1Таким образом,µC − nµ0√Φσ n¶=αили, что то же самое,C − nµ0√= uα = −u1−α .σ n√Из последнего равенства находим C = nµ0 − u1−α σ n.Сложные параметрические гипотезыПредположим, что требуется проверить две сложные гипотезыH0 : θ ∈ Θ0 ,H1 : θ ∈ Θ1 ,(17.6)где Θ0 , Θ1 — некоторые непересекающиеся области значений параметра θ.