Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов, страница 2

В частности, выборкаркаса в виде линий, образующих сетку на описываемой поверхности, приводит к разбиению поверхности на отдельные участки.(Аппроксимация. Математический метод, основанный на замене одних математических объектов другими, близкими к исходным, но более простыми. Аппроксимация позволяет исследовать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу кизучению более простых или более удобных объектов, например, таких, характеристикикоторых легко вычисляются, или свойства которых уже известны).Например, в линейной регрессии некоторая неизвестная сложная функция, описывающая реальные наблюдения, аппроксимируется уравнением прямой линии, если наблюдаемыеданные носят ярко выраженный нелинейный характер, то прибегают к аппроксимации полиномами и т.д.Можно сказать что моделирование, лежащее в основе аналитических технологий DataMining, полностью пронизано идеями аппроксимации, поскольку модель всегда проще моделируемых процессов и объектов, представляет их с некоторой погрешностью.

Выбирая методаппроксимации и степень адекватности модели реальным данным, аналитик определяет точность получаемых результатов и сложность модели)Кусочно-линейная аппроксимация на этой сетке устраняет главный недостаток аналитических моделей, так как в пределах каждого из участков, имеющих малые размеры, возможна удовлетворительная по точности аппроксимация поверхностями с простыми уравне-8ниями. Коэффициенты этих уравнений рассчитываются исходя из условий плавности сопряжений участков.Функциональная математическая модель – это алгоритм вычисления вектора выходныхпараметров Y при заданных векторах параметров элементов X и внешних параметров Q.Деление описаний объектов на аспекты и иерархические уровни непосредственно касается математических моделей.

Выделение аспектов описания приводит к выделению моделей электрических, механических, гидравлических, оптических, химических и т. п., причёммодели процессов функционирования изделий и модели процессов их изготовления различные, например модели полупроводниковых элементов интегральных схем, описывающихпроцессы диффузии и дрейфа подвижных носителей заряда в полупроводниковых областяхпри функционировании прибора и процессы диффузии примесей в полупроводник при изготовлении прибора.В з а в и с и м о с т и о т м е с т а в и е р а р х и и о п и с а н и й математическиемодели делятся н а ММ, относящиеся к микро-, макро- и метауровням.Использование принципов блочно-иерархического подхода к проектированию приводит к появлению иерархии математических моделей проектируемых объектов.

Количествоиерархических уровней при моделировании определяется сложностью проектируемых объектов возможностью средств проектирования. Однако для большинства предметных областейможно отнести имеющиеся иерархические уровни к одному из трёх обобщённых уровней,называемых далее микро-, макро- и метауровнями.Особенностью ММ на м и к р о у р о в н е является отражение физических процессов, протекающих в непрерывных пространстве и времени. Типичные ММ на микроуровне –дифференциальные уравнения в частных производных (ДУЧП).

В них независимыми переменными являются пространственные координаты и время. С помощью этих уравнений рассчитываются поля механических напряжений и деформаций, электрических потенциалов,давлений, температур и т. п. Возможности применения ММ в виде ДУЧП ограничены отдельными деталями, попытки анализировать с их помощью процессы в многокомпонентныхсредах, сборочных единицах, электронных схемах не могут быть успешными из-за чрезмерного роста затрат машинного времени и памяти.На м а к р о у р о в н е используют укрупнённую дискретизацию пространства пофункциональному признаку, что приводит к представлению ММ на этом уровне в виде систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ).

В этих уравнениях независимойпеременной является время t, а вектор зависимых переменных V составляют фазовые переменные, характеризующие состояние укрупнённых элементов дискретизированного пространства. Такими переменными являются силы и скорости механических систем, давления ирасходы гидравлических и пневматических систем и т.

п. Системы ОДУ являются универсальными моделями на макроуровне, пригодными для анализа как динамических, так и установившихся состояний объектов. Модели для установившихся режимов также представить ввиде систем алгебраических уравнений. Порядок системы уравнений зависит от числа выделенных элементов объекта. Если порядок системы приближается к 103, то оперирование моделью становится затруднительным и поэтому необходимо переходить к представлениям наметауровне.На м е т а у р о в н е в качестве элементов принимают достаточно сложные совокупности деталей.

Метауровень характеризуется большим разнообразием типов используемых ММ. Для многих объектов ММ на метауровне по-прежнему представляются системамиОДУ. Однако так как в моделях не описываются внутренние для элементов фазовые пере-9менные, а фигурируют только фазовые переменные, относящиеся к взаимным связям элементов, то укрупнение элементов на метауровне означает получение ММ приемлемой размерности для существенно более сложных объектов, чем на макроуровне.В ряде предметных областей удаётся использовать специфические особенности функционирования объектов для упрощения ММ. Примером являются электронные устройствацифровой автоматики, в которых возможно применять дискретное представление таких фазовых переменных, как напряжения и токи.

В результате ММ становится системой логических уравнений, описывающих процессы преобразования сигналов. Такие логические моделисущественно более экономичны, чем модели электрические, описывающие изменения напряжений и сил токов как непрерывных функций времени. Важный класс ММ на метауровнесоставляют модели массового обслуживания, применяемые для описания процессов функционирования информационных и вычислительных систем, производственных участков, линий и цехов.Структурные модели также делятся на модели различных иерархических уровней. Приэтом на низших иерархических уровнях преобладает использование геометрических моделей,на высших иерархических уровнях используются топологические модели.По степени детализации описания в пределах каждого иер а р х и ч е с к о г о у р о в н я выделяют полные ММ и макромодели.П о л н а я ММ – модель, в которой фигурируют фазовые переменные, характеризующие состояния всех имеющихся межэлементных связей (т.

е. состояния всех элементовпроектируемого объекта).М а к р о м о д е л ь - ММ, в которой отображаются состояния значительно меньшегочисла межэлементных связей, что соответствует описанию объекта при укрупнённом выделении элементов.П о с п о с о б у п р е д с т а в л е н и я с в о й с т в о б ъ е к т а функциональныеММ делятся на аналитические, алгоритмические, имитационные.А н а л и т и ч е с к и е ММ представляют собой явные выражения выходных параметров как функций входных м внутренних параметров, т.

е. имеют вид (1.1). Такие ММ характеризуются высокой экономичностью, однако получение формы (1.1) удаётся лишь в отдельных частных случаях, как правило, при принятии существенных допущений и ограничений, снижающих точность и сужающих область адекватности модели.А л г о р и т м и ч е с к и е ММ выражают связи выходных параметров с параметрамивнутренними и внешними в форме алгоритма. Типичной алгоритмической ММ является система уравнений, дополненная алгоритмом выбранного численного метода решения и алгоритмом вычисления вектора выходных параметров как функционалов решения системыуравнений V(z).И м и т а ц и о н н а я ММ – алгоритмическая модель, отражающая поведение исследуемого объекта во времени при задании внешних воздействий на объект. Примерами имитационных ММ могут служить модели динамических объектов в виде систем ОДУ и моделисистем массового обслуживания, заданные в алгоритмической форме.Для получения ММ используют методы неформальные и формальные.П о с п о с о б у п о л у ч е н и я м о д е л и делятся на теоретические и эмпирические.

Теоретические ММ создаются в результате исследования процессов и их закономерностей, присущих рассматриваемому классу объектов и явлений; эмпирические ММ – в результате изучения внешних проявлений свойств объекта с помощью измерений фазовых переменных на внешних входах и выходах обработки результатов измерений.102. Основы метода конечных разностей.2.1. Виды дифференциальных уравнений, описывающих процессы в конструкциях РЭАКак правило, результаты разработки конструкции РЭА получаются неоднозначными и приходится принимать решение об их пригодности на основе испытаний опытных образцов. Однаковвиду высокой сложности этих конструкций, реализующих зачастую целые системы, изготовлениеопытных образцов весьма трудоемко и дорогостояще.

Поэтому, целесообразно до изготовления изделия проводить анализ проектируемых конструкций на основе аналогового или цифрового моделирования на ЭВМ протекающих в ней физических процессов под воздействием внешних и внутреннмх дестабилизирующих факторов. Выявляя сильные и слабые стороны получаемых в результате моделирования вариантов конструкции, можно принять более обоснованное решение.1112Любое устройство ЭВА работает в условиях влияния внутренних и внешних факторов,имеющих различную физическую природу. К внешним факторам относятся параметры окружающей среды (температура и влажность), механические воздействия (вибрация, удары, деформирующие силы …), внешние электромагнитные поля.