Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов

1МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТимени Н.Э. БАУМАНАКурс лекций по дисциплине«Математическое моделирование технических объектов»МГТУ имени Н.Э. Баумана2МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТимени Н.Э. БАУМАНАКурс лекций по дисциплине«Математическое моделирование технических объектов»МоскваМГТУ имени Н.Э. Баумана20123УДК 681.3.06(075.8)ББК 32.973-018И201Курс лекций по дисциплине «Математическое моделирование технических объектов»М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2012.

– 15 с.: ил.Ил. 39. Табл. 5. Библиогр. 7 назв.УДК 681.3.06(075.8)© МГТУ им. Н.Э. Баумана, 20124АННОТАЦИЯВ курсе лекций проводится изучение основных принципов мозгового штурма и техническоереализации различными методами. Во время лекций были проработаны принципы построения математической модели на примере схемы, эквивалентной электрической принципиальной или системыбалок с жестким и свободным закреплением элементов. После построения математической моделисистем можно предугадать дальнейшее ее поведение.ANNOTATIONIn the lectures we study the basic principles of brainstorming and technical implementation of the variousmethods.

During the lectures were worked out principles for building a mathematical model of the examplecircuit, the equivalent electric principle or system of beams with rigid fixation and free items. By followingthe construction of mathematical models of systems can predict the future behavior.51. ВведениеМоделирование представляет собой метод научного познания при котором исследуемый объект замещается другим, более простым, называемым моделью, изучение которогодаёт возможность получить новую и ранее неизвестную информацию об исходном объекте. Взависимости от способа воплощения изучаемого объекта в модели различают физическое иматематическое моделирование.

Оба эти вида используют при проектировании ЭВС.Процесс создания ЭВС всегда включает в себя прогнозирование её основных характеристик. Наиболее естественным и, как правило, достоверным методом такого предсказанияявляется макетирование, которое предполагает создание устройства и последующие его испытания. В процессе проведения последних выявляются ошибки и слабые места конструкции, которые далее устраняются.

Такой способ отработки изделий называют физическим моделированием, поскольку он осуществляется на вещественной (материальной) модели, которая, отображая изучаемый объект, сохраняет его физическую природу. Для удешевления экспериментов физические модели (макеты) изготовляют зачастую в упрощённом виде (например, меньшей мощности, производительности и пр.). естественно, что при этом точностьпредсказания снижается.Часто натурный эксперимент практически невыполним, настолько он сложен, дорог ирискован.

В ряде случаев создание макета устройства экономически нецелесообразно, особенно когда после изготовления в него практически невозможно внести какие-либо усовершенствования (изменения). Так, например, обстоит дело при создании новых типов БИС. Поэтому естественно стремление разработчиков создавать сразу конструкции ЭВС с характеристиками, близкими к оптимальным.Решение перечисленных задач требует применения методов, с помощью которых можно было бы провести оценку (расчёт) наиболее важных процессов, имеющих место в проектируемом изделии.

Это достигается математическим моделированием, суть которого в том,что проектируемому изделию ставят в соответствие его математическую модель (ММ). Подпоследней обычно понимают упрощённое отображение наиболее существенных свойств реального объекта, выраженное в математической форме.Математическая модель может быть в общем случае задана системой уравнений, неравенств, логической последовательностью операций и пр. Независимо от способа задания ММона всегда дополняется ограничениями, связанными, как правило, с техническими возможностями устройства, условиями его эксплуатации и т.

п.Наиболее распространённым способом представления ММ является система (какихлибо) уравнений с необходимыми для её решения данными: начальными и граничными условиями, численными значениями коэффициентов в уравнениях и пр. Варьируя ими, можнопровести детальное изучение физических процессов в изделии, отображённых выбраннойММ, выявить основные их закономерности, оценить влияние на них различных факторов, т.е. получить информацию, аналогичную получаемой в ходе физического эксперимента. Однако в данном случае вместо экспериментальной установки мы используем ЭВМ, а вместо изучаемого физического объекта – его математическую модель. Подобные исследования называют вычислительным экспериментом.Вычислительный эксперимент обладает рядом преимуществ по сравнению с натурным.Он, как правило, намного дешевле, легче и быстрее реализуем, допускает (с корректировкой)на любой стадии исследования и позволяет моделировать условия эксперимента, которые зачастую вообще невозможно воспроизвести при натурных испытаниях.6Математическое моделирование включает в себя математические модели объектовпроектирования, методы и алгоритмы выполнения проектных процедур.2.

Требования к математическим моделямК математическим моделям предъявляются требования универсальности, адекватности, точности и экономичности.С т е п е н ь у н и в е р с а л ь н о с т и ММ характеризует полноту отображения в модели свойств реального объекта. Математическая модель отображает лишь некоторые свойства объекта. Так, большинство ММ, используемых при функциональном проектировании,предназначено для отображения протекающих в объекте физических или информационныхпроцессов, при этом не требуется, чтобы ММ описывала такие свойства объекта, как геометрическая форма составляющих его элементов.

Например, ММ резистора в виде уравнения закона Ома характеризует свойство резистора пропускать электрический ток, но не отображаетгабариты резистора, как детали, его цвет, механическую прочность, стоимость и т. п.Т о ч н о с т ь ММ оценивается степенью совпадения значений параметров реальногообъекта и значений тех же параметров реального объекта и значений тех же параметров, рассчитанных с помощью оцениваемой ММ. Пусть отражаемые в ММ свойства оцениваютсявектором выходных параметров Y = (y1, y2, …, ym).

Тогда, обозначив истинное и рассчитанноес помощью ММ значения j-го выходного параметра через yjист и yjм соответственно, определим относительную погрешность ɛ j расчёта параметра yj какɛ j = (yjм - yjист) / yjист..А д е к в а т н о с т ь ММ – способность отображать заданные свойства объекта с погрешностью не выше заданной. При этом, как правило, адекватность модели имеет местолишь в ограниченной области изменения внешних переменных – области адекватности (ОА)математической модели.Э к о н о м и ч н о с т ь ММ характеризуется затратами вычислительных ресурсов (затратами машинных времени Тм и памяти Пм) на её реализацию. Чем меньше Тм и Пм, тем модель экономичнее.

Вместо значений Тм и Пм, зависящих не только от свойств модели, но и отособенностей применяемой ЭВМ, часто используют другие величины, например: среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к модели, размерность системыуравнений, количество используемых в модели внутренних параметров и т. п.Необходимо помнить, что требования высоких точности, степени универсальности,широкой области адекватности, с одной стороны, и высокой экономичности, с другой стороны, противоречивы.3. Классификация математических моделейОсновные признаки классификации и типы ММ приведены нарис. 4.1.П о х а р а к т е р у о т о б р а ж а е м ы х с в о й с т в о б ъ е к т а ММ делятся наструктурные и функциональные.С т р у к т у р н ы е ММ предназначены для отображения структурных свойств объекта.

Различают структурные ММ топологические и геометрические.В топологических ММ отображаются состав и взаимосвязи элементов объекта. Их чаще всего применяют для описания объектов, состоящих из большого числа элементов, прирешении задач привязки конструктивных элементов к определённым пространственным позициям (например, задачи компоновки оборудования, размещения деталей, трассировки со-7единений) или к относительным моментам времени (например, при разработке расписаний,технологических процессов).

Топологические модели могут иметь форму графов, таблиц(матриц), списков и т. п.В геометрических ММ отображаются геометрические свойства объектов, в них дополнительно к сведениям о взаимном расположении элементов содержатся сведения о форме деталей. Геометрические ММ могут выражаться совокупностью уравнений линий и поверхностей; алгебрологических соотношений, описывающих области, составляющие тело объекта;графами и списками, отображающими конструкции из типовых конструктивных элементов, ит.

п. Геометрические ММ применяют при решении задач конструирования в приборостроении, радиоэлектронике, для оформления конструкторской документации, при задании исходных данных на разработку технологических процессов изготовления деталей. Используютнесколько типов геометрических ММ.Для отображения геометрических свойств деталей со сравнительно несложными поверхностями применяют ММ, представляемые в аналитической или алгебрологической форме (аналитические, алгебрологические).

Аналитические ММ – уравнения поверхностей и линий, например уравнение плоскости имеет вид ax + by + cz + d = 0, где x, y, z – пространственные координаты, a, b, c, d – коэффициенты уравнений. В алгебрологических ММ тела описываются системами логических выражений, отражающих условия принадлежности точеквнутренним областям тел.Для сложных поверхностей аналитические и алгебрологические модели оказываютсяслишком громоздкими, их трудно получать и неудобно использовать. Область их примененияобычно ограничивается поверхностями плоскими и второго порядка.В машиностроении для отображения геометрических свойств деталей со сложнымиповерхностями применяют ММ каркасные и кинематические.Каркасные (сеточные) ММ представляют собой конечные множества элементов, например точек или кривых, принадлежащих моделируемой поверхности.