Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов (1075784), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Поскольку в уравнение входит вторая производная искомой функции по времени, следует задать два НУ. Одно представляет собой значение искомой функции в начальный момент времени t =0. В качестве второго – выбирают начальное значение первой производной искомой функции вовремени.Если заданы нулевые НУ, то можно в принципе интегрировать рассмотренные ДУ по области и получить решение задачи, то есть найти такое аналитическое выражение функции , которое вкаждой точке удовлетворяет заданному уравнению, а на границе – принимает заданные значения.Аналитическое выражение должно состоять из хорошо изученных элементарных функций – тригонометрических, степенных и гиперболических. Все эти функции сами являются решениями ДУ, ноболее простых, одномерных и , чаще всего бывает так, что из них не удается скомбинировать решение двумерных задач.Общих методов интегрирования ДУ нет.
Поэтому математики говорят не «решить задачу», а«отыскать функцию, удовлетворяющую ДУ». То есть решения надо искать, причем каждое найденное решение ДУ в математике – целое событие. Другими словами аналитические решения попадаются редко.2.2. Реализация метода конечных разностей.Функции, которые находят в результате решения уравнений Лапласа, Пуассона, а такжедиффузных и волновых уравнений, имеют непрерывный характер, причем их сложно моделироватькак аналоговыми, так и цифровыми методами. Основным практическим методом решения таких ДУявляется их конечно-разностная аппроксимация [1].Далее под аппроксимацией (А) будем понимать приближенное выражение какой либо величины через другие, более простые величины. Аппроксимация – это замена одних математическихобъектов другими в том или ином смысле близкими к исходным.
Аппроксимация позволяет иссле-15довать числовые характеристики и качественные свойства объекта, сводя задачу к изучению болеепростых и более удобных объектов (например таких, характеристики которых легко вычисляютсяили свойства которых уже известны).Конечно-разностная аппроксимация (КРА) ДУ представляет собой замену системы с распределенными параметрами набором дискретных элементов таким образом, что характеристики первоначально заданного поля остаются неизменными. Процесс дискретизации оказывается возможнымпри условии, что расстояние между соседними дискретами (узлами) достаточно мало.При моделировании поля на ЭВМ использование метода КРА позволяет заменить ДУ в частных производных, описывающих физическую систему, большим числом связанных между собойалгебраических уравнений. Решение задачи, приведенной к этому виду, требует выполнения толькоосновных математических операций (умножение, сложение и вычитание).
Для решения подобныхзадач в максимальной степени приспособлены ЭВМ.Целью решения сформулированных в предыдущем разделе задач является отыскание некоторой непрерывной функции, характеризующей протекание физического процесса. Как было отмечено ранее, найти аналитическое выражение решения ДУ в частных производных весьма затруднительно.Другой формой представления функции может быть таблица, которая задает значения функции в некоторых точках области ее определения. Предполагается, что между указанными точкамиобласти искомая функция изменяется по известному, например линейному, закону.
При построении дискретной модели непрерывной величины поступают следующим образом: области определения непрерывной величины разбиваются на конечное число подобластей, называемых дискретами; в центре каждой дискреты фиксируются точки, которые называются узлами; значение непрерывной величины в каждом узле считается неизвестной переменной, подлежащейопределению; в дискретах определяется среднее значение производных первого и второго порядка непрерывной величины.Основная концепция метода КРА может быть проиллюстрирована на примере определениядвумерной функции в некоторой области.Рассмотрим двумерную функцию F(x,y), заданную в некоторой области Р. Разобьем областьР на дискреты ортогональной сеткой с шагом hX и hY по осям OX и OY соответственно.
Пусть hX =hY =h. Пронумеруем дискреты по осям, начиная от начала координат. Обозначим через Fmn - значение функции в центре дискреты с номерами m и n соответственно по осям OX и OY (рисунок 1).Осуществим предельный переход для разностей типа:при измельчении шага сетки h. В пределе это отношение стремится к постоянной величине, определяемой тангенсом угла потерь наклона касательной к кривой F1 сечения поверхности, задаваемойфункцией F, в точке X=mh, то есть – к производнойF в этой точке:Рис.
1Lim 0Fmn -Fm+1,nh= -дF ;дXLim 0Fm-1n -Fm,nh= -дFдX(8)16То есть обе разности заменяются одной и той же производной. При обратном переходеот производной к разностям производные заменяются так:дFдXFmn -Fm-1,nhдFдX;Fm+1n -Fm,nh(9)В первом случае разность называется левой, а во втором – правой. Аналогичный переход к разностям выполним для производных по оси OY:дFFmn -Fm-1,n ;дYhРассмотрим отношения типа:дFдYFm+1n -Fm,nh(10)Fm,n- Fm+1nF5m,n-1- FmnF -F- m,n m,n+1иhhhиhhПри измельчении шага h эти отношения стремятся соответственно к значениям:д2Fд2FидХ2дY2Fm-1,n- Fmnhв точке X = mh и Y=nh. Следовательно при обратном переходе от вторых производных к разностям можно заменять производные так:д2FдХ2Fm+1,n-2Fmn + Fm-1,nh2д2FдY2иFm,n+1-2Fmn + Fm,n-1h2(11)С помощью переходов (9, 10 и 11) можно производить замену производных в ДУ.
Приэтом ДУ превращаются в разностные, а сами разности, заменяющие производные называютконечными разностями.Метод решения задачи, записанной в виде ДУ, с помощью разностного уравнения называют методом конечных разностей. При таком подходе решение ДУ заменяется решениемсистемы линейных алгебраических уравнений с количеством неизвестных, равных количеству дискрет разбиения области определения функции F.Например, рассмотрим уравнение Пуассона: f (x,y)д2FдХ2+д2FдY2= f(x,y)Переходя от вторых производных к конечным разностям в точке (mh, nh) области Рполучим разностное уравнение вида:Fm+1n-2Fmn + Fm-1,nh2+Fm,n+1-2Fmn + Fm,n-1 = f(x,y)h2(12)Формируя уравнение (12) для всех точек области Р, получим систему алгебраическихуравнений с числом неизвестных равным числу дискрет области:f21 + f12 – 4f11 + f01 + f10 = f(1,1)f31 + f22 – 4f21 + f21 + f21 = f(2,1)fm+1,n + fm,n+1 – 4fmn + fm-1,n + fm,n-1 = f(m,n)(13)17При заданных на границе области Р значениях функции f данное уравнение можетиметь единственное решение, которое и определит дискретную модель непрерывной величины f в области Р.Система (13) позволяет определить приближенное значение функции F в области Р.
Необходимо отметить, что количество уравнений может быть весьма велико – несколько сотен иболее. Решать подобные уравнения без помощи ЭВМ не возможно. Для решения подобных систем линейных уравнений на ЭВМ используются известные методы Эйлера и Гаусса.Отметим также, что свести решение ДУ в частных производных к решению систем алгебраических уравнений удается не всегда, а только в случае стационарных процессов (установившихся во времени).
При моделировании нестационарных процессов в ДУ появляются члены, зависящие от времени. Методы решения таких задач будут рассмотрены далее (раздел ?).Рассмотрим построение разностной схемы на примере следующего уравнения:д2FдХ2+д2FдY2+e-xдFдX(14)- F = f(x,y)в квадрате Р = {0х1; 0 y1} с краевым условием:(^x, ^y) = exp(^x-^y)(15)То есть функция F в точках периметра квадрата Р, или, что то же, - в точках краевой линии S,- изменяется по закону (15).Последовательно находим:1. Условие (15) позволяет определить функцию f (x,y) во всех точках линии S. Действительно, как бы не изменялась функция F внутри области Р она в точках периметра должнапринимать значения, определенные функцией (15), поэтому, подставляя (15) в (14) и проводядифференцирование, получим вид f (x,y) в точках на линии S:f(^x, ^y) = e-^y(e^x+1)(16)2. Выбираем шаг h=1/3.
Перенумеровываем узлы области Р так, как показано на рисунке 2, и в точках периметра последовательно вычисляем:Рис.2F 1,1 = 1;F 1,4 = exp (1) 2,7;F 4,1 = exp (-1) 0,36;F 4,4 = 1;F 1,2 = exp (1/3) 1,4;F 2,1 = exp (-1/3) 0,72;F 4,2 = exp (-2/3) 0,51;F 3,4 = exp (1/3) 1,4;Рис. 3F 1,3 = exp (2/3) 1,95;F3,1 = exp (-2/3) 0,51;F 4,3 = exp (-1/3) 0,72;F 2,4 = exp (2/3) 1,95; `183.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
