Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов (1075784), страница 6

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 6)

С этой цельювоспользуемся гипотезой о линейности свойств среды – законом Фурье. Этот закон говорит о22том, что плотность теплового потока между двумя узлами пропорциональна разности температур между этими узлами и обратно пропорциональна расстоянию между ними, например:ti+1,j,k – ti,j,k(17)hXКоэффициентом пропорциональности здесь служит коэффициент теплопроводности К[Дж/мсОK]. Рассмотрим элемент разбиения блока с номером (i, j, k) и все элементы, имеющие общие с ним грани (рисунок 5). На рисунке 5 стрелками показаны направления передачитепла между элементами.

Запишем уравнения для плотности всех шести потоков, входящих вуравнение теплового баланса:JX+ = K+JX = Kti+1,j,k – ti,j,khXJY+ =Kti,j+1,k – ti,j,khYJ Z+ = Kti,j,k+1 – ti,j,khZJX-ti1,j,k – ti+1,j,k=KhX;JX-ti1,j,k – ti,j+1,k=KhY;JX - = K;ti1,j,k – ti,j,k+1hZЕсли теперь подставить значения плотности потоков в уравнение (16), то получим известное уравнение теплопроводности Фурье. Используя соотношения, полученные ранее ипереходя к дифференциальной форме можно записать:K(д2 +дXд2дY+д2дZ) + Q = CУДддtгде: СУД – удельная теплоемкость элемента [Дж/м3 ОК]. Отсюда уравнение Фурье в дифференциальной форме мы получим заменой типа:ti+1,j,k - ti,j,khX-ti,j,k - ti+1,j,khXhXд2дX2Уравнение в конечных разностях составляется для всех элементов блока.

Плотностьпотока на поверхности определяется из предположения, что потоки на границах блока пропорциональны перепаду температур на некотором расстоянии (равном hX) и, что температураза пределами блока =const.Это может быть при охлаждении блока путем принудительногообдува воздухом постоянной температуры. Итак, плотность потока на границе с нормалью кХ равна:J+X = KT(tH – t(lx/hx),j,k)/hX(18)Величина КТ здесь имеет смысл коэффициента теплопроводности, представляющего среднюю теплопроводность интервала, в который входит граница блока.

Шаг hX введен в выражение (18) искусственно для того, чтобы определеить положение точки за контурами, в которой температура считается известной. Этот шаг можно взять таким же, как и внутри блока.При экспериментальном изучении теплопроводящих свойств границы раздела определяютотношение КТ/hX, (коэффициент теплообмена).Разделим уравнение (18) на c, умножим на  и введем новые обозначения:23J+xJ+yJ+z=IchX=IchY=IchZ+x+y+z;;;JxJyJzchXchYchZ= Ix= Iy= IzВведем также новое обозначение для удельного тепловыделения:Q=gc(19)В новых обозначениях уравнение (16) примет вид:I X+ – I X+ + I Y+ – I Y+ + I Z+ – I Z+ + Q = t+1 – t(20)Таким образом, и плотности потоков и удельное тепловыделение имеют одну размерность –температуры и будут величинами одного порядка. Введя коэффициенты:AX = gK; AY = gchXМы можем записать:K; AZ = gchYIX+ = AX [ ti+1,j,k – ti,j,k] ;IY+ = AY [ ti,j+1,k – ti,j,k] ;IZ+ = AZ [ ti,j,k+1 – ti,j,k] ;KchZIX– = AX [  ti,j,k–  ti-1,j,k] ;IY– = AY [  ti,j,k–  ti,j-1,k] ;IZ– = AZ [  ti,j,k–  ti,j,k-1] .Решение системы уравнений (20) можно находить следующим образом:1.

Определяем температуру в узле через один шаг  по времени:t+1i,j,k = I X+ – I X– + I Y+ – I Y– + I Z+ – I Z– + Q +  ti,j,k(21)2. Вычисление по (21) выполняем для всех узлов.3. Определяем температуру в узлах в момент 2 и так далее.Если в результате такого расчета разность t+1 – t будет постепенно уменьшаться и температура стабилизироваться, то решение считается устойчивым.

В противном случае – решение не устойчиво.3.3. Моделирование процесса пайки выводов ЭРЭПоставим задачу исследования на ЭВМ нестационарного процесса нагрева электрорадиоэлементов (ЭРЭ) при пайке выводов методом конечных разностей. Данная задача имеетпрактический смысл, поскольку современные ЭРЭ и особенно интегральные полупроводниковые микросхемы весьма чувствительны к воздействию высоких температур, причем ЭРЭмогут подвергаться нагреву многократно (пайка). Последнее обстоятельство приводит к необратимым изменениям электрических параметров и характеристик изделий.

Таким образом,возникает следующая задача учета температурных режимов ЭРЭ при изготовлении и эксплуатации: обеспечить температурный режим нагрева ЭРЭ, при котором температурное полене превышало предельно допустимых норм по ТЗ.Исследования показывают, что воздействие t0 при пайке аналогично термоудару наЭРЭ, последствия которого (отслаивание подложки, нарушение герметичности корпуса идр.) не проявляются сразу при монтаже аппаратуры, а являются причиной ее отказа при экс-24плуатации.

Отсюда следует, что обеспечение нормального теплового режима пайки имеетважное значения для обеспечения надежности всей аппаратуры.Основными параметрами пайки является температура пайки ТП, время пайки tП, температура нагрева прибора ТН и расстояние от корпуса прибора до места пайки L.Нагрев ЭРЭ в результате пайки представляет сложный процесс передачи тепловойэнергии от места пайки к корпусу ЭРЭ, в котором участвуют все виды передачи тепла: кондуктивный теплообмен по выводу, излучение и конвективный теплообмен поверхностейЭРЭ и выводов с окружающей средой.

Сам процесс является нестационарным, так как завремя пайки происходят изменения температуры в различных точках изделия. Подобные задачи на практике решаются с использованием различных допущений и идеализаций.Электронный прибор представляют в виде стержня, на одном конце которого расположен источник постоянной температуры (место пайки), а на другом - конструктивно связанная со стержнем фиктивная масса (ФМ). Эта ФМ представляет собой математическуюмодель реального электронного прибора, обладающую адекватными прибору теплофизическими параметрами: теплоемкостью и теплоотдачей в окружающую среду.

ГеометрическиФМ можно представить в виде тонкого диска, размещенного на торце внешнего вывода. Теплопроводность ФМ (массивного ЭРЭ) считается бесконечно большой, то есть температураФМ во всех ее точках одинакова.Нагрев ФМ аналогичен нагреву ЭРЭ в интересующей точке (например, в месте крепления полупроводникового кристалла в корпусе). Сказанное позволяет свести задачу математического моделирования процесса нагревания ЭРЭ при пайке к задаче определения температуры ФМ, если сделать следующие предположения:Рис. 6Рис. 7 нагрев ФМ равномерен в каждый момент времени; конец вывода в месте пайки мгновенно достигаем температуры пайки; тепловые коэффициенты не зависят от температуры; конвективный обмен вывода с окружающей средой пренебрежимо мал.При таких допущениях тепловой процесс пайки представим с помощью двух ДУ:SдТдХд2ТдХ2- АТ = СФМ= CдТдtдТдt(8.1)(8.2)где: S – площадь сечения вывода ЭРЭ (S = 10–6м2 –далее в скобках приводятся значения, используемые далее в примере расчета); – коэффициент теплопроводности материала вывода (=400 Дж/мсоК);– изменение температуры на границе вывода и корпуса ЭРЭ;А – коэффициент теплоотдачи ЭРЭ во внешнюю среду (А=0,5 Дж/(соК) );СФМ – теплоемкость фиктивной массы (СФМ =0,05 Дж/оК);С– удельная теплоемкость материала вывода (С=4106 Дж/(м3оК);25– скорость изменения температуры ФМ;X – расстояние от места пайки; T – температура ФМ; t – время пайки.Нагрев ФМ в различные моменты времени получается решением уравнения (8.1).

Внем уменьшаемое и вычитаемое в левой части характеризует подвод тепла к ЭРЭ через выводи теплоотдачу ЭРЭ в окружающую среду, а правая часть – описывает нагрев ЭРЭ в процессепайки.Уравнение (8.2) определяет передачу тепла через вывод ЭРЭ. В нем левая часть задаеттепловой поток через вывод, а правая – нагрев вывода.Начальным условием обоих уравнений является температура вывода и ЭРЭ в нулевоймомент времени начала пайки:T(X,0) = 293OK (20OC)(8.3)Граничным условием на (левом) конце вывода является температура пайки:T(0,t) = ТП(8.4)Для решения уравнений (8.1) и (8.2), относящихся к классу линейных ДУ (1- уравнение первого рода и 2- параболическое уравнение) разделим вывод элемента поперечнымисечениями с шагом h (рисунок 7) и на временной оси отметим моменты времени Тj=j где:– интервал времени, j – индекс ( j=0 в начальный момент пайки).Температура вывода в i–м сечении в j-й интервал времени от начала пайки:Tij = T ( ih, j )Учитывая формулы (9) и (11), полученные в разделе 3, можно записать следующие выражения перехода от частных производных к конечным разностям в соответствии с принятыми обозначениями:дТij  Тij- Тi-1,j ;hдХдТijдtТi,j+1 - Тi,j(8.5)Аналогичный переход от второй производной к конечным разностям даст:д2ТijдХ2Тi+1,j- 2Т1j + Тi-1,jh2(8.6)Заменим в уравнении (8.1) производные конечными разностями, получим:SТn,j- Тn-1,j- AТn,j = СФМhТn,j+1 - Тn,j(8.7)Отсюда следует, что в момент времени t=(j+1) температура ФМ составит:Тn,j+1 = Тn,j{S - A+1} - Тn-1,jhСФМСФМShСФМ(8.8)Заменим в уравнении (8.2) вторые производные конечными разностями (8.6):Тi+1,j–2Тi,j+Тi-1,jh2= CТi,j+1 – Тi,jПусть  =(/h2C).

Можно показать, что условие устойчивости решения, то есть возможностьполучения точных решений за определенное количество шагов, примет вид:h2 C2=12 26Далее примем =0.2/. Тогда значение рабочей температуры в момент времениt=(j+1) в i –м сечении стержня примет вид:Ti,j+1 = 0.2Ti+1,j + 0,6 Ti,j + 0.2Ti-1,j(8.9)По формуле (8.8) и (8.9) можно рассчитать температуру ФМ в сечениях вывода последовательно в моменты времени tj = 0, tj+1 = , tj+2 = 2, … . В общем случае, в произвольный k-й момент времени tk = (tk-1 + ). Программа на языке Паскаль вычисления температурного поля в стержне методом конечных разностей (МКР), действующая по формуле (8.9),может иметь следующий вид:CONST n=10; Delta=0.1; L=20; Type mass=array[1..n]of LongInt;Lambda=400; A=0.1; Cfm=6; C=4000000; S=0.000001; h=0.001;VAR Md,Mt:mass; i,t:integer; b:boolean; k1,k2:Real;BEGINk1:=((S*lambda*Delta)/(h*Cfm))-(delta*A/Cfm)+1; k2:=S*lambda*Delta/(h*Cfm);For i:=1 to n Do Mt[i]:=293; Mt[1]:=600; For i:=1 to n Do MD[i]:= Mt[i];Repeat For i:=2 to n-1 DoMd[i]:=round(0.2*(Mt[i+1]+Mt[i-1])+0.6*Mt[i]);md[n]:=round(k1*mt[n] - k2*mt[n-1]); For i:=2 to n Do Mt[i]:=Md[i];Until false;END.По формуле (8.9) аналогичным образом может быть составлена программа, реализующая вычисление значений температуры в дискретные моменты времени в последнем n-м сечении стержня, к которому подсоединена фиктивная масса.Ошибки ограничения уменьшаются при h  0 и   0, то есть решение разностныхуравнений (8.8) и (8.9) асимптотически приближается или сходится к решению ДУ (8.1) и(8.2).

Характеристики

Список файлов лекций