Курс лекций - Математическое моделирование технических объектов (1075784), страница 3
Текст из файла (страница 3)
Внутренние факторы связаны с источникамиэнергии внутри рассматриваемой конструкции, к которым относятся тепловыделяющие элементыконструкции, источники внутренних электростатических, магнитных и электромагнитных полей.Собственно процесс работы устройства ЭВА в реальных условиях можно представить следующейсхемой:Внутренниеи внешниеСистема параметров Реакция конструкциивозмущенияустройства ЭВАВ процессе анализа конструкции ЭВА нас будет интересовать правая часть данной схемы –то есть выявление реакции конструкции на заданные возмущения.
С этой целью проведем классификацию процессов, протекающих в ЭВА. Эти процессы подразделяются на стационарные и нестационарные. Процесс называется стационарным, если внешние и внутренние возмущения практически не изменяются во времени, то есть наблюдается состояние установившегося режима работыконструкции. Если внешние или внутренние возмущения изменяются во времени, стационарностьусловий работы ЭВА нарушается – такие условия или процессы называются нестационарными.Для моделирования задач анализа конструкций отличие между стационарными и нестационарными условиями является существенным, т.к.
методы их решения различны.В первом случае, когда реакция системы, а также внешние и внутренние возмущения не меняются во времени, задачу определения реакции системы называют краевой задачей. Для решениятаких задач достаточно найти величину реакции и ее распределение в конструкции. Примером краевой задачи может служить задача определения распределения температур в блоке ЭВА при заданном установившемся режиме работы и постоянной температуре окружающей среды. Краевыми условиями здесь являются температура окружающей среды или плотность потока тепловой энергииобмена с окружающей средой.Во втором случае, когда реакция системы является функцией времени, задачу определенияреакции системы называют задачей с начальными условиями (НУ). В таких задачах для определения реакции системы необходимо знать ее поведение в начальный и последующие интервалывремени.Напрмер, когда температура источников тепла в блоке и окружающей среде меняются вовремени, задача носит нестационарный характер и является задачей с начальными условиями (условия Коши).
В такой задаче требуется определить температуру в блоке в каждый момент временипри заданной температуре в начальный момент времени.Задача анализа процессов в конструкциях ЭВА чаще всего сводится к исследованию различных полей (тепловых и электромагнитных) или механических явлений (вибрации и распределениенапряжений в конструкции). Указанные процессы описываются с помощью диффернциальныхуравнений (ДУ), поэтому их анализ сводится к решению ДУ в частных производных.
Подобныеуравнения в отличие от обыкновенных дифференциальных уравнений содержат не одну переменную, и результатом их решения является определение функции от нескольких переменных. В составтаких уравнений входят частные производные по каждой переменной. Многие нестационарные физические процессы в пространстве описываются с помощью ДУ вида:д 2 [ A x (x,y,z,t) ] / дX 2 + д 2 [ A y (x,y,z,t) ] / дY 2 +д 2 [ A z (x,y,z,t) ] / дZ 2 = a (d 2 / dt 2 ) +b (d / dt ) + c + d(1)где:a= 1(x,y,z,t) 0b= 2(x,y,z,t) 0c= 3(x,y,z,t) 0d= 4(x,y,z,t) 013Функции Ax, Ay, Az определяют параметры вещества пространства.
Если среда изотропная,то Ax=Ay=Az =const >0. В противном случае Ax Ay Az , причем полагают Ax = const >0, Ay = const>0, Az A3 = const >0. В первом случае говорят о плоской (линейной) задаче.Значение искомой функции находится внутри некоторой области V, ограниченной поверхностью S – для трехмерной, и линией S – для двумерной задачи. На границе поверхности (линии) S задаются граничные условия вида: ( + д/дn)S = Ф, где: и - заданные функции точки в граничной области; Ф=Ф(x,y,z,f,t) – некоторая функция, значение которой в граничнойобласти известны; d/дn – производная искомой функции по нормали к граничной области в рассматриваемой точке.Если во всех точках граничной поверхности = 0, то есть функция Ф во всех точках определяет значение искомой функции , то такие условия называются граничными условиями первого рода: S = Ф1. Если же во всех точках граничной поверхности S = 0, то есть определены лишь значения производной искомой функции по нормали к этой области, то такие условия считают граничными условиями второго рода: d/dnS = Ф2.
В том случае, когда имеют место смешанные варианты условий, заданные выражением граничных условий общего вида, то их называют граничнымиусловиями третьего рода.Характер ДУ и методы его решения меняются в зависимости от величины коэффициентов a, b, c и d, которые принимают нулевые или положительные значения для различныхмоделей процессов.Если a=b=0, c0 и d0, то получим уравнения эллиптического вида.
Наиболее важным и часто встречающимся уравнением прикладной физики эллиптического вида является уравнение Лапласа, описывающее стационарное состояние поля в области без внутренних источников и стоков. Любые установившиеся процессы теплопередачи, электро- и магнитостатики описываются этим уравнением. В общем случае уравнение Лапласа имеет вид:2 = 0(2)2где: лапласиан представляет собой сумму вторых производных по отношению к рассматриваемым пространственным переменным. Лапласиан для трехмерного случая имеет вид:2 = д2/ дХ2 + д2/ дY2 + д2 / дZ2Функция , удовлетворяющая уравнению Лапласа, называется гармонической. Искомое решение выделяется из множества всех гармонических функций определением дополнительного условия, которое часто является краевым: S = Ф.Другим уравнением математической физикиэлиптического вида является уравнение Пуассона, представляющее собой неоднородное уравнениеотносительно Лапласиана:2 = d(3)Уравнение Пуассона описывает установившуюся систему, внутри которой равномерно распределены источники энергии.
В электростатике к такому уравнению приводится задача с равномерно распределенным в поле зарядом. Это уравнение применяется при расчете систем теплопередачи, когда тепловая энергия генерируется внутри температурного поля (например, для определения распределения температуры по поверхности подложки микросхемы с источниками тепла – тепловыделяющими элементами схемы).
Граничные условия для уравнения Пуассона определяют изаписывают так же, как и для уравнения Лапласа.При рассмотрении, исследовании и описании нестационарных процессов в конструкцияхЭВА используют уравнения параболического вида. Такие уравнения получаются из обобщеннойзаписи ДУ (1), если a=0; b0, c 0. Этот вид уравнения, решаемый для однородной области, известенкак уравнение диффузии или уравнени Фурье: 2 = К ( д / дt )14где: К – постоянная времени диффузии. Величина К характеризует скорость затухания процесса иперехода его в стационарный процесс.
Она определяется параметрами системы.Уравнение Фурье используется также для расчета теплового баланса температуры конструкции МЭА. В этих случаях получаем уравнение теплопроводности вида:2 = с ( d / дt)(4)где: и с – коэффициенты теплопроводности и теплоемкости среды соответственно. Левая часть ДУ(4) определяет передачу тепла между элементами конструкции с помощью теплопроводности, аправая – нагрев (или охлаждение) конструкции.
Для анизотропных сред:d / dX [ Х d / dX] + d / dY [Y d / dY]+ d/dZ [Z d/dZ] = с ( d / dt )(5)Для однозначного решения этого уравнения надо задать граничные условия и НУ.Если в среде присутствуют распределенные источники, то, как и в уравнении Фурье, появляется свободный член F=F(x,y,z,t) = d, который определяет нагрев конструкции за счет внутреннихисточников. Таким образом, уравнения (3) и (4) примут соответственно вид:2 + F(x,y,z,t) = d(6)2 + F(x,y,z,t) = с ( д / дt )(7)В случае, когда в уравнении (1) a>0; b0, c 0, d 0, уравнения называют ДУ гипербалического вида.
Сюда относятся волновые ДУ, описывающие колебательные процессы в различных средах.В простейшем случае указанные ДУ имеют вид: 2 = К ( д 2 / дt 2 )где: К – постоянная величина, определяемая параметрами системы и характеризующая период распросмтранения возмущений. Чем меньше К, тем быстрее передается возмущение от одной точкипространства к другой.Для однозначного решения данного ДУ необходимо задать и граничные и начальные условия.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
