Методические указания по выполнению курсовой работы по дифференциальной геометрии

ÓÄÊ 512.97ÌÅÒÎÄÈ×ÅÑÊÈÅ ÓÊÀÇÀÍÈß ÏÎÂÛÏÎËÍÅÍÈÞ ÊÓÐÑÎÂÎÉ ÐÀÁÎÒÛ ÏÎÄÈÔÔÅÐÅÍÖÈÀËÜÍÎÉ ÃÅÎÌÅÒÐÈÈÏðèâîäÿòñÿ âàðèàíòû êóðñîâûõ ðàáîò ïî êóðñó "Äèôôåðåíöèàëüíàÿãåîìåòðèÿ è îñíîâû òåíçîðíîãî àíàëèçà".  íà÷àëå â êðàòêîé ôîðìå ïðèâîäÿòñÿ íåîáõîäèìûå îïðåäåëåíèÿ è óòâåðæäåíèÿ áåç äîêàçàòåëüñòâ, èñïîëüçóåìûå ïðè ðåøåíèè ïðåäëîæåííûõ çàäà÷.ÏðåäèñëîâèåÒàê êàê êóðñîâàÿ ðàáîòà ïðîâîäèòñÿ ïàðàëåëüíî ñ ÷òåíèåì ñàìîãî êóðñà,òî â çàäàíèå âêëþ÷åíû êàê ñòàíäàðòíûå çàäà÷è, òàê è çàäà÷è ïîâûøåííîéñëîæíîñòè.

Îíè îòìå÷åíû çâåçäî÷êîé.  íà÷àëå ïðèâîäèòñÿ áîëåå èëè ìåíååïîëíûé ñïèñîê íåîáõîäèìûõ îïðåäåëåíèé è ôîðìóë. Çàäà÷è â ÷àñòè "Äèôôåðåíöèàëüíàÿ ãåîìåòðèÿ"çàèìñòâîâàíû â îñíîâíîì èç çàäà÷íèêîâ [6] è [7], àòàêæå èç ó÷åáíèêà [4].Ÿ 1. Êðèâûå íà ïëîñêîñòè è â ïðîñòðàíñòâåÏóñòü çàäàíà êðèâàÿ íà ïëîñêîñòè:x = x(t),y = y(t) (a 6 t 6 b).(1.1)Åå êðèâèçíà k âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåk=|ẋÿ − ẍẏ|3(ẋ2 + ẏ 2 ) 2.Íàçîâåì êðóãîì êðèâèçíû êðèâîé â äàííîé òî÷êå M êðóã, êîòîðûé1) êàñàåòñÿ êðèâîé â òî÷êå M (ò. å.

èìååò ñ íåé îáùóþ êàñàòåëüíóþ â ýòîéòî÷êå);2) íàïðàâëåí âûïóêëîñòüþ âáëèçè òî÷êè M â òó æå ñòîðîíó, ÷òî è êðèâàÿ;3) èìååò òó æå êðèâèçíó, ÷òî è êðèâàÿ â òî÷êå M .Åñëè êðèâàÿ çàäàíà óðàâíåíèÿìè (1.1), òî êîîðäèíàòû (ξ, η) öåíòðà êðóãàêðèâèçíû âûðàæàþòñÿ ôîðìóëàìèξ =x−ẋ2 + ẏ 2ẏ,ẋÿ − ẍẏη=y+ẋ2 + ẏ 2ẋ.ẋÿ − ẍẏ(1.2)Ãåîìåòðè÷åñêîå ìåñòî öåíòðîâ êðèâèçíû äàííîé êðèâîé íàçûâàåòñÿ åå ýâîëþòîé.x2Ïðèìåð 1. Íàéäåì ýâîëþòó ïàðáîëû y = . Ïî ôîðìóëàì (1.2) íàõîäèì2êîîðäèíàòû öåíòðà êðèâèçíû:ξ = −x3 ,3η = 1 + x2 .22Ýòî è åñòü ïàðàìåòðè÷åñêèå óðàâíåíèÿ ýâîëþòû ïàðàáîëû (ãäå x â ðîëè ïàðàìåòðà).

Èñêëþ÷àÿ èç ýòèõ óðàâíåíèé x, ïîëó÷àåì8(η − 1)3 .27ξ2 =Ìû âèäèì, ÷òî ýâîëþòîé ïàðàáîëû ñëóæèò ïîëóêóáè÷åñêàÿ ïàðàáîëà (ñäåëàéòå÷åðòåæ!). Ïóñòü çàäàíà êðèâàÿ â ïðîñòðàíñòâåx = x(t),èëè â âåêòîðíîé ôîðìåy = y(t),r = r(t),z = z(t), (a 6 t 6 b).(1.3)(a 6 t 6 b).Êðèâàÿ ñ÷èòàåòñÿ ãëàäêîé, ò. å. ôóíêöèè x, y, z ñ÷èòàþòñÿ äèôôåðåíöèðóåìûìè íåîáõîäèìîå êîëè÷åñòâî ðàç (ìîæíî ñðàçó ñ÷èòàòü, ÷òî ýòî ôóíêöèè êëàññàC ∞ ).Êðèâèçíà k è êðó÷åíèå κ êðèâîé âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì|r ′ × r |,k=|r′ |3′′(r′ , r , r′′′ )k=.|r′ × r′′ |2′′(1.4)Ïðèìåð 2.

Âû÷èñëèì êðèâèçíó è êðó÷åíèå êðèâîér(t) = (et ,√2t, e−t ).Èìååìr′ (t) = (et ,√2, −e−t ),r′′√(t) = (et , 2, e−t ),r′′′ (t) = (et , 0, −e−t ).(1.5)Îòñþäà ïî ôîðìóëàì (1.4) íàõîäèì1,k= √2 2ch2 t1κ= √.2 2 ch2 t(1.6)Ââåäåì âåêòîðûτ=r′,|r ′ |β=r′ × r|r′ × r′′′′|,ν = β × τ.(1.7)Îíè îáðàçóþò â êàæäîé òî÷êå êðèâîé òàê íàçûâàåìûé ðåïåð Ôðåíå. Âåêòîð τíàïðàâëåí ïî êàñàòåëüíîé, âåêòîðû ν è β åäèíè÷íûå âåêòîðû ãëàâíîé íîðìàëè è áèíîðìàëè ñîîòâåòñòâåííî.Èìåþò ìåñòî ôîðìóëû Ôðåíå:kν,τ̇ =ν̇ = −kτ+ κβ,β̇ =−κνÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ3(â ïåðâîé ôîðìóëå ñ÷èòàåòñÿ, ÷òî k ̸= 0).Ïðèìåð 3. Íàéäåì ðåïåð Ôðåíå êðèâîé èç ïðèìåðà 2 â òî÷êå t = 0. Íàîñíîâàíèè ôîðìóë (1.5) è (1.7) ëåãêî íàõîäèì:√1τ = √ (1, 2, 1),6√1ν = √ (2, 2 2, −6),4 3√1β = √ (2 2, −2, 0). 2 3Ôîðìóëûk = k(s),κ = κ(s)ãäå s íàòóðàëüíûé ïàðàìåòð (äëèíà äóãè) íàçûâàþòñÿ íàòóðàëüíûìè óðàâíåíèÿìè êðèâîé.Ïðèìåð 4.

Íàéäåì íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ êðèâîé èç ïðèìåðà 2. Èìååì∫ts=0∫t √∫t2u−2u|r (u)|du =2+e +edu = 2 ch u = 2 sh t.′00Òàê êàê ch2 t = sh2 t + 1, èç ôîðìóë (1.6) ïîëó÷àåì íàòóðàëüíûå óðàâíåíèÿ√2k=κ= 2. s +4Ÿ 2. ÏîâåðõíîñòèÏóñòü çàäàíà ïîâåðõíîñòür = r(u, v).Êàñàòåëüíàÿ ïëîñêîñòü ê ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M ïðîõîäèò ÷åðåç ýòó òî÷êóïàðàëëåëüíî âåêòîðàì ru è rv . Åäèíè÷íûé âåêòîð íîðìàëèn=ru × rv.|ru × rv |Ýòîò âåêòîð îïðåäåëåí îäíîçíà÷íî ñ òî÷íîñòüþ äî íàïðàâëåíèÿ. Âûáîð íàïðàâëåíèÿ çàäàåò îðèåíòàöèþ ïîâåðõíîñòè.Ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ôîðìàds2 = gij dxi dxj = Edu2 + 2F dudv + Gdv 2 ,ãäåE = (ru , ru ),F = (ru , ru ),G = (rv , rv ).Ìàòðèöà ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:() (gg12E(gij ) = 11=g21 g22F ÷àñòíîñòè, åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåìz = z(x, y),)F.G4òîE=1 + zx2,1 + zx2 + zy2F =zx zy,1 + zx2 + zy2G=1 + zy2.1 + zx2 + zy2Ïðèìåð 5.

Íàéäåì ïåðâóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáî-ëîèäà2z = x2 + y 2 .Èìååì zx = x, zy = y , îòêóäàds2 = (1 + x2 )dx2 + 2xy dxdy + (1 + y 2 )dy 2 . Óãîë α ìåæäó êðèâûìèu = u1 (t), v = v1 (t)èu = u2 (t), v = v2 (t)â òî÷êå M , â êîòîðîé êðèâûå ïåðåñåêàþòñÿ, âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëåE u̇1 u̇2 + F u̇1 v̇2 + F v˙1 u̇2 + Gv˙1 v˙2√cos α = √ 2.E u̇1 + 2F u̇1 v̇1 + Gv̇12 E u̇22 + 2F u̇2 v̇2 + Gv̇22Ïðîèçâîäíûå áåðóòñÿ â òîé æå òî÷êå.Ïëîùàäü îáëàñòè D íà ïîâåðõíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå∫∫ √S(D) =EG − F 2 du dv,D′ãäå D′ ïðîîáðàç îáëàñòè D íà ïëîñêîñòè (u, v).Âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìîé ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ôîðìàLdu2 + 2M dudv + N dv 2 ,ãäåxuu yuu zuu xuyuzu xvyvzv (ruu , ru , rv )√L==,|r u × r v |EG − F 2xuv yuv zuv xu yu zu xvyvzv (ruv , ru , rv )= √M=,|r u × r v |EG − F 2xvv yvv zvv xu yu zu xvyvzv (rvv , ru , rv ).N== √|r u × r v |EG − F 2 ÷àñòíîñòè, åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà óðàâíåíèåìz = z(x, y),ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀòîL= √zxx1+zx2,+zy2zxyM=√,1 + zx2 + zy25N=√zyy.1 + zx2 + zy2Ïðèìåð 6.

Íàéäåì âòîðóþ êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáî-ëîèäà2z = x2 + y 2 .Èìååìzx = x,zy = y,zxx = 1,zxy = 0,zyy = 1,îòêóäà ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿ âòîðîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû:dx2 + dy 2√. 1 + x2 + y 2Íîðìàëüíûì ñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M íàçûâïàåòñÿ ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿ ïîâåðõíîñòè ñ ïðîèçâîüíîé ïëîñêîñòüþ, ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íîðìàëü àêïîâåðõíîñòè â òî÷êå M . Ïóñòü ν îðò ãëàâíîé íîðìàëè íåêîòîðîãî íîðìàëüíîãî ñå÷åíèÿ â òî÷êå M . Êðèâèçíó òàêîãî ñå÷åíèÿ áóäåì îáîçíà÷àòü ÷åðåç kn ,ñ÷èòàÿ, ÷òî kn > 0, åñëè ν = n è kn < 0, åñëè ν = −n.

Ìîæíî äîêàçàòü,÷òî ëèáî ñóùåñòâóþò äâà âçàèìíî îðòîãíàëüíûõ íàïðàâëåíèÿ, â êîòîðûõ knïðèíèìàåò ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ:k1 = min kn ,k2 = max kn ,ëèáî êðèâèçíà âñåõ íîðìàëüíûõ ñå÷åíèé îäèíàêîâà.  ïîñëåäíåì ñëó÷àå òî÷êà M íàçûââàåòñÿ îìáèëè÷åñêîé. Âåëè÷èíû k1 è k2 íàçûûâàþòñÿ ãëàâíûìèêðèâèçíàìè ïîâåðõíîñòè â òî÷êå M .Åñëè íîðìàëüíîå ñå÷åíèå îáðàçóåò óãîë φ ñ ïåðâûì ãëàâíûì íàïðàâëåíèåì,òî äëÿ êðèâèçíû ýòîãî ñå÷åíèÿ èìååò ìåñòî ôîðìóëà Ýéëåðà:kn = k1 cos2 φ + k2 sin2 φ.Ïðîçâåäåíèå ãëàâíûõ êðèâèçíK = k1 k2íàçûâàåòñÿ ãàóññîâîé êðèâèçíîé ïîâåðõíîñòè, èõ ïîëóñóììàH=1(k1 + k2 )2 ñðåäíåé êðèâèçíîé.Èìåþò ìåñòî ôîðìóëûK=LN − M 2,EG − F 2H=EN − 2F M + GL.2(EG − F 2 )Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà êàê ãðàôèê ôóíêöèèz = z(x, y),6òîK=2zxx zyy − zxy,(1 + zx2 + zy2 )2H=1 (1 + zx2 )zxx − 2zx zy zxy + (1 + zy2 )zyy.2(1 + zx2 + zy2 )3/2(2.1)Òî÷êà íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ýëëèïòèò÷åñêîé, åñëè K > 0; ãèïåðáîëè÷åñêîé, åñëè K < 0; ïàðàáîëè÷åñêîé, åñëè K = 0, H ̸= 0; òî÷êîé óïëîùåíèÿ,åñëè k = H = 0.

Îìáèëè÷åñêèå òî÷êè õàðàêòåðèçóþòñÿ óñëîâèåì K = H 2 . èïîäðàçäåëÿþòñÿ íà òî÷êè óïëîùåíèÿ è øàðîâûå òî÷êè, â êîòîðûõ K = H 2 > 0.Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ìèíèìàëüíîé, åñëè âî âñåõ åå òî÷êàõ H = 0. Ïîâåðõíîñòü íàçûâàåòñÿ ðàçâåðòûâàþùåéñÿ, åñëè âî âñåõ åå òî÷êàõ K = 0.Ïðèìåð 7. Íàéäåì ãàóññîâó êðèâèçíó ýëëèïòè÷åñêîãî ïàðàáîëîèäà2z = x2 + y 2 .Èìååì zx = x, zy = y, zxx = zyy = 1, zxy = 0, îòêóäàK=1.(1 + x2 + y 2 )2Òàê êàê K > 0, âñå òî÷êè ýòîé ïîâåðõíîñòè ýëëèïòè÷åñêèå.Ïðèìåð 8. Íàéäåì ñðåäíþþ êðèâèçíó ïîâåðõíîñòèz = ln cos y − ln cos x.Èìååìzx = tg xzy = −tg x,zxx =1,cos2 xzxy = 0,zyy = −1.cos2 yÏîäñòàâëÿÿ â (2.1), ïîëó÷àåì H = 0.

Äàííàÿ ïîâåðõíîñòü ìèíèìàëüíàÿ. Ëèíèÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ëèíèåé êðèâèçíû, åñëè â êàæäîé ñâîåéòî÷êå îíà èìååò ãëàâíîå íàïðàâëåíèå. Ëèíèè êðèâèçíû îïðåäåëÿþòñÿ èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ 2dv −dvdu du2 EGG = 0. LNN Îáà ñåìåéñòâà êîîðäèíàòíûõ ëèíèé u = const è u = const ÿâëÿþòñÿ ëèíèÿìèêðèâèçíû òîãäà è òîëüêî òîãäà, êîãäà F = 0 è M = 0.Ïóñòü (gij ) ìàòðèöà ïåðâîé êâàäðàòè÷íîé ôîðìû. Ðàññìîòðèì òîãäà ìàòðèöó (g ij ), îáðàòíóþ ê (gij ):giα g αj = δij .Òîãäà ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì()1 lj ∂gij∂gjk∂giklΓik = g+−2∂xk∂xi∂xj(ôîðìóëû Êðèñòîôôåëÿ).ÊÓÐÑÎÂÀß ÐÀÁÎÒÀ7Çàïèøåì òå æå ôîðìóëû áîëåå ïîäðîáíî:Γ111 E + Γ211 F = 1 Eu ,21Γ111 F + Γ211 G = Fu − Ev ;2Γ111 E + Γ211 F = 1 Eu ,21Γ111 F + Γ211 G = Fu − Ev ;2Γ111 E + Γ211 F = 1 Eu ,21Γ111 F + Γ211 G = Fu − Ev ;2Åñëè ïîâåðõíîñòü çàäàíà êàê ãðàôèê ôóíêöèèz = z(x, y),òî ñèìâîëû Êðèñòîôôåëÿ âû÷èñëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàìzx zxxzx zxyzx zyy1, Γ112 = Γ121 =, Γ122 =,Γ11 =22221 + zx + zy1 + zx + zy1 + zx2 + zy2zy zxyzy zyyzy zxx, Γ212 = Γ221 =, Γ222 =.Γ211 =1 + zx2 + zy21 + zx2 + zy21 + zx2 + zy2Ïðèìåð 9.

Ïóñòü ïîâåðõíîñòü ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ýëëèïòè÷åñêèé ïàðàáîëîèä (ñì. ïðèìåð 5)2z = x2 + y 2 .Âû÷èñëÿåì ïðîèçâîäíûå:zx = x,zy = y,Çíà÷èò,Γ111 = Γ122 =zxx = 1,x,1 + x2 + y 2zxy = 0,Γ211 = Γ222 =zyy = 1.y,1 + x2 + y 2à Γ112 = Γ121 = Γ212 = Γ221 = 0 .Èìååò èìåñòî ôîðìóëà ÃàóññàEFGEv Fv −Gv {()() }Ev − FuFv − Gu1√− √− √2 EG − F 2EG − F 2 vEG − F 2 uLN − M 21K==2EG − F(EG − F 2 )2EuFuGuè ôîðìóëû ÏåòåðñîíàÊîäàööèE(EG − 2F F + GE)(Lv − Mu ) − (EN − 2F M + GL)(Ev − Fu ) + FGEuFuGuL M = 0,N8E(EG − 2F F + GE)(Lv − Mu ) − (EN − F M + GL)(Fv − Gu ) + FGEvFvGvL M = 0,NÃåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà êðèâîé r = r(t) íà ïîâåðõíîñòè âû÷èñëÿåòñÿ ïî ôîðìóëå1kg = ′ 3 (r′′ , r′ , n),|r |ãäå n åäèíè÷íûé âåêòîò íîðìàëè ê ïîâåðõíîñòè.Ïóñòü r = r(u, v) è u = u(t), v = v(t) óðàâíåíèÿ êðèâîé â îêðåñòíîñòè ýòîéòî÷êè.Îáîçíà÷èìA = Γ111 u̇2 + 2Γ112 u̇v̇ + Γ122 v̇ 2 ,B = Γ211 u̇2 + 2Γ212 u̇v̇ + Γ222 v̇ 2 .Òîãäà äëÿ ãåîäåçè÷åñêîé êðèâèçíû èìååì ôîðìóëó√EG − F 2kg =(üv̇ − v̈ u̇ + Av̇ − B u̇).2(E u̇ + 2F u̇v̇ + Gv̇ 2 )3/2Êðèâàÿ íà ïîâåðõíîñòè íàçûâàåòñÿ ãåîäåçè÷åñêîé, åñëè â êàæäîé åå òî÷êåãåîäåçè÷åñêàÿ êðèâèçíà ðàâíà íóëþ.