Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия), страница 40

Йенсена [146] и М. Вана и В. Циллера [238]. Следует такжеотметить работы [50, 51, 153, 154]. Существенный вклад в развитие аналитических методов внеслиЮ. Г. Никоноров и Е. Д. Родионов в серии работ [11–18, 193–195]. xxxЭнциклопедическим изданием по эйнштейновым метрикам является книга А. Бессе [5]. Многоболее свежей информации по однородным метрикам Эйнштейна можно найти в обзоре М. Вана[235].

В недавней работе [71] К. Боем, М. Ван и В. Циллер получили ряд общих результатов по134Н. К. СМОЛЕНЦЕВинвариантным эйнштейновым метрикам на компактных однородных пространствах. В частности,ими доказана следующаяТеорема 11.14 (см. [71]). Пусть G/H — компактное однородное пространство с конечнойфундаментальной группой. Тогда пространство модулей G-инвариантных эйнштейновыхметрик состоит из конечного числа компонент, каждая из которых компактна.Хорошо известно, что любое однородное многообразие Эйнштейна M n размерности 2 или 3изометрично пространству постоянной секционной кривизны.

Классификация четырехмерных однородных римановых многообразий проведена Исихарой в работе [143]. Изложение результатовИсихары приведено в докладе III книги A. Бессе [4]. Отметим, что в размерности 4 однородноериманово многообразие либо является симметрическим пространством, либо изометрично группеЛи, снабженной левоинвариантной метрикой (см. также [145]).

В размерности n = 5 полная классификация компактных однородных многообразий Эйнштейна была получена Д.В. Алексеевским,И.-Д. Миателло, С. Феррарисом [43]. Используя аналитические методы, основанные на принципесимметричной критичности, в работах Никонорова Ю.Г. и Родионова Е.Д. [18, 195] была полученачастичная классификация компактных однородных эйнштейновых многообразий размерности 6.Полная классификация компактных однородных эйнштейновых многообразий размерности 7 получена Никоноровым Ю.Г.

в работах [15, 16]. В этой связи отметим также недавний результатК. Боема и М. Керр [70].Теорема 11.15 (см. [70]). Пусть M n — компактное односвязное однородное пространстворазмерности не более, чем 11. Тогда M n допускает однородную эйнштейнову метрику.Заметим, что в размерности 12 известны однородные компактные односвязные пространства, недопускающие однородных метрик Эйнштейна [5, 70, 238].В работах [12, 69, 71, 238] для доказательства существования инвариантной метрики Эйнштейнана некоторых специальных классах однородных компактных пространств с успехом использованы топологические методы.

В работе [193] использован принцип устойчивости невырожденнойкритической точки для доказательства существования бесконечных серий инвариантных метрикЭйнштейна.В работах [13, 21, 194, 237] исследованы семейства однородных пространств, условия эйнштейновости стандартной метрики на которых сводятся к решению систем диофантовых уравнений.В случае компактного однородного многообразия M = G/H скалярная кривизна является постоянной функцией на M , поэтому функционалскалярной кривизны на пространстве MG1 сводитсяк функции скалярной кривизны A(g) = M s(g)dμ(g) = s(g).

Поскольку интегрирование не входитв выражение функционала A(g), то можно, по крайней мере формально, рассматривать функционал A(g) = s(g) на некомпактном однородном многообразии M = G/H и поставить аналогичныйвопрос о справедливости вариационного принципа: являются ли критические точки данного функционала однородными эйнштейновыми метриками? Г. Йенсен показал [146], что это верно в случаеунимодулярной группы G и подгруппы H = {e}. Для неунимодулярных групп этот вариационныйпринцип перестает быть верным. В работе [146] Г.

Йенсен привел пример неунимодулярной группы с левоинвариантной метрикой Эйнштейна, которая не является критической для функционала(11.10) скалярной кривизны на пространстве метрик фиксированного объема. Более того, в работе [137] показано, что для любой разрешимой неунимодулярной алгебры функционал скалярнойкривизны, ограниченный на множество метрик фиксированного объема не имеет критических точек.

В работе [137] для исследования эйнштейновых метрик применяются некоторые модификациифункционала скалярной кривизны. Обобщение результата Г. Йенсена получено в работе [11]Пусть G — унимодулярная группа Ли G и H, K — две ее подгруппы, H ⊂ K ⊂ G, гдеKH — компактная группа Ли. Рассмотрим множества MH1 и M1 AdH - и, соответственно, AdK инвариантных метрик объема 1 на p относительно некоторого выделенного скалярного произведения, где p — некоторое AdK -инвариантное дополнение к h в g.Теорема 11.16 (см.

[11]). Пусть (·, ·) ∈ MK1 , тогда следующие условия эквивалентны:1) (·, ·) является критической точкой функционала скалярной кривизны A на множествеMH1 ;ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК1352) (·, ·) является критической точкой функционала скалярной кривизны A на множествеMK1 ;3) (·, ·) является инвариантной эйнштейновой метрикой.Есть существенные различия в методике исследовании инвариантных эйнштейновых метрик накомпактных и некомпактных однородных пространствах. Хорошо известен следующий результат.Теорема 11.17 (см. [5]).

Пусть (M, ρ) — однородное многообразие Эйнштейна (постоянной)скалярной кривизны s.(a) Если s > 0, то M - компактно и фундаментальная группа π1 (M ) — конечна.(b) Если s = 0, то M - плоское многообразие.(c) Если s < 0, то M - не компактно.Доказательство данной теоремы следует из соответствующих теорем C. Майерса [191],Д. В. Алексеевского и Б. Н. Кимельфельда [42] и С.

Бохнера [72].Множество результатов по инвариантным эйнштейновым метрикам на некомпактных однородных пространствах можно найти в работах [5, 137]. Отметим также работы Д.В. Алексеевского [37–41], K. Гордон и М. Керр [129, 155], Д. Шуез [214]. Хорошо известна следующая гипотезаД.В. Алексеевского.Гипотеза (см. [40]). Пусть M = G/H — некомпактное однородное многообразие Эйнштейна отрицательной скалярной кривизны.

Тогда H является максимальной компактной подгруппойгруппы G.В настоящее время эта гипотеза не доказана и не опровергнута. Частичное подтверждениеона получила в работе [14]. В случае справедливости гипотезы Д.В. Алексеевского исследование некомпактных эйнштейновых однородных многообразий может быть сведено к исследованиюэйнштейновых солвмногообразий [5, 137]. Обстоятельное исследование эйнштейновых солвмногообразий было предпринято Й.

Хебером в работе [137]. В цитируемой работе получены важныерезультаты об алгебраической структуре эйнштейновых солвмногообразий, о существовании иколичестве левоинвариантных метрик Эйнштейна на разрешимых группах. Кроме того, в [137]приведена обширная библиография по некомпактным однородным эйнштейновым многообразиям.11.4. Однородные ассоциированные метрики. Пусть M = G/H — однородное многообразие.Выберем разложение алгебры Ли g = h ⊕ p, где p является AdG (H)-инвариантным. Хорошо известно [9, т. 2, с.

201], что инвариантные почти комплексные структуры на M = G/H находятсяво взаимно однозначном соответствии с множеством линейных эндоморфизмов I : p → p таких,чтоI 2 = − id, I(Ad(b)X) = Ad(b)(I(X)),для b ∈ H и X ∈ p. Если группа H связна, то вместо второго свойства можно требовать следующее:I[Y, X] = [Y, IX] для X ∈ p и Y ∈ h.В случае симметрических пространств инвариантные почти комплексные структуры интегрируемы. Точнее, имеет место следующий результат [9, т. 2, с.

240].Теорема 11.18. Пусть M = G/H — симметрическое однородное пространство с каноническим разложением g = h + p алгебры Ли.1) Если p допускает Ad(H)-инвариантную комплексную структуру I, то M = G/H допускает инвариантную комплексную структуру J, такую, что каноническая аффиннаясвязность комплексная, а M = G/H комплексное аффинно симметрическое.2) Если дополнительно p допускает Ad(H)-инвариантное скалярное произведение, котороеэрмитово относительно I, то M = G/H допускает инвариантную кэлерову метрику, аM = G/H эрмитово симметрическое.Компактные однородные комплексные многообразия M = G/H изучались в работе Ш.

Вана[233]. Имеет место следующий результат (см. также [9, т. 2, с. 338]).136Н. К. СМОЛЕНЦЕВТеорема 11.19. Пусть G — связная компактная полупростая группа Ли, T — тороидальнаяподгруппа в G, а C(T ) — централизатор для T в G. Пусть H — связная подгруппа из G такая, что (C(T ))s ⊂ H ⊂ C(T ), где (C(T ))s обозначает полупростую часть в C(T ). Тогдафакторпространство G/H в случае четной размерности имеет инвариантную комплекснуюструктуру.

Обратно, каждое односвязное компактное однородное комплексное многообразиеможет быть так получено.Этот результат позже обобщили Грауэрт и Реммерт [131] (см. также [9, т. 2, с. 338]).Теорема 11.20. Каждое компактное однородное комплексное многообразие M есть голоморфное расслоение над однородным проективным алгебраическим многообразием V с комплексно параллелизуемым слоем F .Дополнительные сведения о компактных однородных кэлеровых многообразиях можно найти вглаве 8 книги А. Бессе [5].Рассмотрим множество однородных ассоциированных метрик. В этом случае мы должны дополнительно потребовать, чтобы на пространстве p существовала AdG (H)-инвариантная невырожденная кососимметрическая 2-форма Ω.