Гамкрелидзе Р.В., Попов А.Г. - Современная математика и её приложения, Том 31 (Геометрия), страница 41

Она определяет G-инвариантную невырожденную кососимметрическую 2-форму ω на однородном многообразии M . Требование замкнутости 2-формы ω наM является слишком ограничительным, поэтому в дальнейшем оно не предполагается.Инвариантная комплексная структура I на p называется положительной ассоциированной, еслиΩ(IX, IY ) = Ω(X, Y ) и Ω(X, IX) > 0 для X, Y ∈ p, X = 0. Каждая такая положительная ассоциированная комплексная структура I определяет на M инвариантную ассоциированную почтикомплексную структуру J и однородную ассоциированную риманову метрику g на M равенствомg(X, Y ) = Ω(X, IY ), X, Y ∈ p.GПусть AGω и AMω — пространства инвариантных ассоциированных почти комплексных структур и, соответственно, метрик на многообразии M = G/H.

Отметим, что в случае однородныхассоциированных метрик пространство AMGω состоит из метрик одного и того же полного объема(равного единице).GПространства AGω и AMω являются множествами неподвижных точек при действии группы ЛиG соответственно на пространствах Aω и AMω . Поэтому для исследования римановых функционалов на пространстве AMGω можно использовать принцип симметричной критичности.

Согласноэтому принципу критические точки функционала скалярной кривизны на пространстве AMGω имеют эрмитов тензор Риччи. Кроме того, скалярная кривизна постоянная. Поэтому они являютсяоднородными почти эйнштейновыми метриками.Следуя работе [84] рассмотрим для примера множество ассоциированных метрик на однородномкомплексном многообразии S 2n+1 × S 2p+1 = U (n + 1)/U (n) × U (p + 1)/U (p). Будем считать, что n иp не равны нулю одновременно. То, что это многообразие имеет комплексную структуру показанов [9, т. 2, с.

131].Обозначим g1 и h1 (g2 и h2 ) алгебры Ли групп Ли U (n + 1) и U (n) (U (p + 1) и U (p)) соответственно. Так как группа U (n) вкладывается в U (n + 1) стандартнымобразом,то hj вкладывается0 0∈ gj , где j = 1, 2.в gj следующим образом: матрице M ∈ hj соответствует матрица0 Mjэто матрица, в которой на месте с номером (ν, μ) стоит 1, аВведем базис в g1 × g2 . Пусть Eνμостальные элементы нулевые. Определим:jjjjjj= Eνμ− Eμν, Tνμ= Eνμ+ Eμν, 0 μ < ν n, j = 1, 2ZνμjjМатрицы Zνμ, iTνμ(где j = 1, 2) образуют базис произведения g1 × g2 .

Рассмотрим разложениеjjjjj, Y2ν−1= Zν0, Y2ν= iTν0.gj = hj ⊕ pj , где pj - подпространство, натянутое на векторы X j = 12 iT0011 , X 2, Y 22 , 1 ν n, 1 μ p.Итак, пространство p1 × p2 имеет базис X 1 , Y2ν−1, Y2ν,Y2μ−1 2μПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК137Предложение 11.21. Имеют место следующие соотношения1) [p0 , p1 ] ⊂ p1 :1111[X 1 , Y2ν−1] = −Y2ν, [X 1 , Y2ν] = Y2ν−1,2) [p1 , p1 ] ⊂ h1 ⊕ p0 :111[Y2ν−1, Y2ν] = −2X 1 + iTνν,111[Y2ν, Y2μ] = −Zνμ,111[Y2ν−1, Y2μ−1] = −Zνμ,111, Y2μ−1] = −Tνμ,[Y2ν3) [p2 , p3 ] ⊂ p3 :2222[X 2 , Y2ν−1] = −Y2ν, [X 2 , Y2ν] = Y2ν−1,4) [p3 , p3 ] ⊂ h2 ⊕ p2 :222[Y2ν−1, Y2ν] = −2X 2 + iTνν,222, Y2μ] = −Zνμ,[Y2ν222[Y2ν−1, Y2μ−1] = −Zνμ,222[Y2ν, Y2μ−1] = −Tνμ,5) [p0 ⊕ p1 , p2 ⊕ p3 ] = 0Рассмотрим известную конструкцию комплексной структуры на S 2n+1 × S 2p+1 [9].

Известно,что S 2n+1 ×S 2p+1 является главным S 1 ×S 1 расслоением над базой CPn ×CPp . Пространство CPn ×CPp и слой S 1 × S 1 являются комплексными многообразиями. Если зафиксировать комплекснуюструктуру на базе и слое, то можно получить [9, т. 2, с. 130], комплексную структуру на S 2n+1 ×S 2p+1 . Все эти структуры образуют двухпараметрическое семейство I(a, c) (c > 0) и все ониU (n + 1) × U (p + 1)-инвариантны. На базисных векторах комплексная структура I(a, c) действуетследующим образомI(a, c)X 1 =a 1 1 2X + X ,ccI(a, c)X 2 = −11I(a, c)Y2ν−1= Y2ν,a2 + c2 1 a 2X − Xcc22I(a, c)Y2μ−1= Y2μ,параметры a и c вещественные, c > 0.

Векторы X 1 , X 2 являются касательными к слою. Посколькууказанные структуры U (n + 1) × U (p + 1)-инвариантны, то они однозначно определяются действиемI(a, c) на базисных векторах пространства p1 ×p2 . Обозначим p1 ×p2 = p и h1 ×h2 = h. Зафиксируемна S 2n+1 × S 2p+1 невырожденную инвариантную 2-форму ω:ω =X ∧X +12nν=11Y2ν−1∧1Y2ν+pν=122Y2ν−1∧ Y2νЛемма 11.22. Все комплексные структуры I(a, c) являются положительно ассоциированными с ω.Поэтому каждая комплексная структура I(a, c) определяет единственную ассоциированную (сω) метрику g(a, c)(X, Y ) = ω(X, I(a, c)Y ), которая в выбранном базисе имеет вид:g11 g12,g(a, c) =g21 g22гдеg111/c 0n,=0n Eng22 2(a + c2 )/c 0p,=0pEpg21= g12−a/c 0p=,0n0где 0n — нулевой вектор-столбец, En — единичная n × n-матрица.

Каждая метрика этого семействаявляется I(a, c) - эрмитовой, таким образом мы получаем двупараметрическое семейство эрмитовых многообразий.Теорема 11.23 (см. [84]). Двухпараметрическое семейство метрик g(a, c) имеет в выбранном базисе следующие характеристики:138Н. К. СМОЛЕНЦЕВ1) Кривизна Риччи:Ric(a, c) =r22 22 +c2 )22 na +p(a2c=0pr11 r12,r21 r22r110p222(1 + p − a +cc )Ep n+pa22 c2=0n,r210n,2(1 + n − 1c )En−2 ca2 (n + p(a2 + c2 )) 0p.= r12 =0n0Собственные значения кривизны Риччи ri равныx + y ± (x − y 2 + 4z 2 ),r1,2 =2гдеx=2n + pa2,c2 r3 = r4 = · · · = r2n+2na2 + p(a2 + c2 )2a, z = −2 2 (n + p(a2 + c2 )),2cc1a2 + c2, r2n+3 = r2n+4 = · · · = r2n+2p+2 = 2 1 + p −.=2 1+n−ccy=22) Скалярная кривизна:a2 + c21+ 4p 1 + p −.s = 4n 1 + n −2c2cУказанное семейство комплексных структур I(a, c) на S 2n+1 × S 2p+1 описывает все множествоU (n + 1) × U (p + 1)-инвариантных почти комплексных структур.

Пусть AGω — множество инвариантных положительных ассоциированных с формой ω почти комплексных структур и AMGω —пространство положительных ассоциированных метрик. Рассмотрим на множестве AMGфункциωонал скалярной кривизныa2 + c21+ 4p 1 + p −.s(g) = 4n 1 + n −2c2cЕго критические точки являются метриками с I-эрмитовым тензором Риччи. Поскольку скалярнаякривизна постоянна на многообразии S 2n+1 × S 2p+1 , то эти метрики будут почти эйнштейновыми.Теорема 11.24. Если n или p принимает нулевое значение, то среди U (n + 1) × U (p + 1)тензороминвариантных эрмитовых метрик g(a, c) на S 2n+1 × S 2p+1 нет метрик с эрмитовымnРиччи. Если n и p не равны нулю, то метрика g(a, c), при a = 0, c =p является почтиэйнштейновой.Прямые вычисления показывают, что если n или p принимает нулевоезначение, то s не имеетnкритических точек.

Если n и p не равны нулю, то в точке a = 0, c = p функционал s принимает√максимальное значение равное 4n(n + 1) + 4p(1 + p) − 4 np.nПри n = p, a = 0, c =p = 1 имеет место равенство: Ric = 2ng, т.е метрика являетсяэйнштейновой. Если же n = p, то эйнштейновыхметрик среди ассоциированных однородных, нет.Почти эйнштейновы метрики g(0, np ), n p обладают следующими свойствами.Теорема 11.25 (см. [84]). Секционная кривизна K метрики g(0, np ) удовлетворяет следующим неравенствам:1) Если 0 < np 19 , то 4−3 np K np .

Минимальное значение достигается на бивекторе√1Y2l−1∧ Y2l1 , l = 1, . . . , n, а максимальное на cX 1 ∧ Yi1 , i = 1, . . . , 2n.9, то 4 − 3 np K 4 − 3 np . Минимальное значение достигается на2) Если 19 < np 16122 , m = 1, . . . , p.∧ Y2l1 , l = 1, . . . , n, а максимальное на Y2m−1∧ Y2mбивекторе Y2l−1ПРОСТРАНСТВА РИМАНОВЫХ МЕТРИК9n16 < p 1, то 0 K 4−3122 ,∧ Y2m−1и Y2l1 ∧ Y2mX 1 ∧ X 2 , Y2l−13) Еслиnp.139Минимальное значение достигается на бивекторах2l = 1, . .

. , n, m = 1, . . . , p, а максимальное на Y2l−1∧ Y2l2 .СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ1. Абрахам Р. Трансверсальность отображений/ Приложение 3 к кн.: Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. — М.: Мир, 1967.2. Авербух В. И., Смолянов О. Г. Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах// Усп. мат. наук. — 1967.

— 22, № 6. — C. 201–260.3. Авербух В. И., Смолянов О. Г. Различные определения производной в линейных топологическихпространствах// Усп. мат. наук. — 1968. — 23, № 4. — C. 67–116.4. Бессе А. Четырехмерная риманова геометрия. — М.: Мир, 1985.5. Бессе А. Многообразия Эйнштейна. Т. 1, 2. — М.: Мир, 1990.6. Вольф Дж. Пространства постоянной кривизны. — М.: Наука, 1982.7. Громол Д., Клингенберг В., Майер В. Риманова геометрия в целом. — М.: Мир, 1971.8. Кобаяси Ш. Группы преобразований в дифференциальной геометрии. — М.: Наука. 1986.9. Кобаяси Ш., Номидзу К.

Основы дифференциальной геометрии. Т. 1, 2. — М.: Наука, 1981.10. Ленг С. Введение в теорию дифференцируемых многообразий. — М.: Мир, 1967.11. Никоноров Ю. Г. Функционал скалярной кривизны и однородные эйнштейновы метрики на группахЛи// Сиб. мат. ж. — 1998. — 39, № 3. — С. 583–589.12. Никоноров Ю.

Г. Об одном классе однородных компактных многообразий Эйнштейна// Сиб. мат.ж. — 2000. — 41, № 1. — С. 200–205.13. Никоноров Ю. Г. Алгебраическая структура стандартных однородных эйнштейновых многообразий//Мат. тр. — 2000. — 3, № 1. — С. 119–143.14. Никоноров Ю. Г. О кривизне Риччи однородных метрик на некомпактных однородных пространствах// Сиб. мат. ж.

— 2000. — 41, № 2. — С. 421–429.15. Никоноров Ю. Г. Компактные семимерные однородные многообразия Эйнштейна// Докл. РАН. —2000. — 372, № 5. — С. 589–592.16. Никоноров Ю. Г. Классификация инвариантных эйнштейновых метрик на пространствах Алоффа—Уоллача// Тр. конф. «Геометрия и приложения», посв. 70-летию В. А. Топоногова. — Новосибирск,2001. — С. 128–145.17. Никоноров Ю.