Термодинамические политропные процессы с идеальными газами

ГЛАВА12.ТЕРМОДИНАМИЧЕСКИЕПОЛИТРОПНЫЕПРОЦЕССЫ С ИДЕАЛЬНЫМИ ГАЗАМИ12.1. Вывод уравнения политропного процесса в р-v координатахПолитропные процессы – это равновесные, обратимые процессы,которые протекают при постоянной теплоемкости c=const. Многие реальныепроцессы могут быть приближенно описаны уравнениями для политропныхпроцессов.Каждый политропный термодинамический процесс (ТП) имеет вполнеопределенный, присущий ему характер распределения энергетическихсоставляющих, входящих в уравнение первого закона термодинамики:q  u  l , Дж/кг.

Это распределение энергетических составляющих будеминтерпретировать графически. Например, для процесса V=const имеем:Штриховка на рисунке означает изменение данной энергетическойсоставляющей, а стрелка – направление ее изменения.Политропный процесс – это процесс изменения состояния рабочеготела, в котором во внутреннюю энергию в течение всего процессапревращается одна и та же доля количества внешней теплоты:u  q , Дж/кг, где u  cv (T2  T1 ) .При этом на совершение внешней механической работы приходитсядоля теплоты, равная:l  1  q , Дж/кг,где  - коэффициент распределения теплоты в политропном процессе.Теплота, сообщенная газу в бесконечно малом политропном процессе,равна:q ducvdT  cdT , Дж/кгили для конечного процесса 1-2: q  c(T2  T1 ) .Таким образом, получим теплоемкость политропного процесса:c  cv / , Дж/кгК.Зная значение коэффициента  в политропном процессе, можноопределить теплоемкость c, теплоту q, изменение внутренней энергии u иработу расширения (сжатия) l.Для вывода уравнения политропного процесса в p-v координатахиспользуем уравнения первого закона термодинамики, выраженные черезэнтальпию и внутреннюю энергию:q  dh  vdp ,(1)q  du  pdv ,(2)cdT  c p dT  vdp ,(3)cdT  cv dT  pdv .(4)илиОтсюда имеем:c  c dT  vdp ,(5)c  cv dT  pdv .(6)pРазделив почленно уравнение (5) на уравнение (6), имеем:c cpc  cvv dp ,p dv(7)где  - показатель политропного процесса, который не изменяется в течениевсего данного ТП.

Из уравнения (7) имеем:dpdv. pvТогда после интегрирования для конечного участка процесса 1-2получим:v pln 2  ln  1  , или после потенцирования:p1 v2 p2  v1    , или pv   const .p1  v2 (8)Это уравнение политропного процесса в координатах p-v. Показательполитропного процесса может иметь любое значение в интервале       .Из выражения (7)можно получить формулу для расчета теплоемкостиполитропного процессаc  cpcp   , или c  c p  c  cV . Отсюда имеем c  1  cV     , илиcV c  cVc  1  cV   ê  ,гдек=сp/сV–показательадиабатногопроцесса.Окончательно имеем:c  cV ê. 1(9)Таким образом, теплоемкость политропного процесса зависит отпоказателя политропы  . Используя термическое уравнение состояния дляидеального газа pv  RT и уравнение (8), можно получить соотношениямежду параметрами для конечного процесса 1-2:T1 p1 v1  v2  v1  v2   T2 p2 v2  v1  v2  v1  1.(10)1v p Учитывая, что 2   1  , имеем:v1  p2 T1  p1  T2  p2  1.(11)12.2.

Расчет теплоты, работы, изменений внутренней энергии,энтальпии и энтропии. Уравнение политропных процессов в T-sкоординатахКоэффициент распределенияc  cvтеплотыравен:cv.cПоскольку ê, то коэффициент 1 1. ê(12)Тогда изменение внутренней энергии в ТП 1-2 и теплота процессамогут быть рассчитаны по формулам:u  q q  cv 1q, ê êÒ2  Ò1  , 1(13)(14)а изменение энтальпии по формуле:h  h2  h1  c p T2  T1  .(15)Работа расширения в политропном процессе 1-2 равна:v2p1v1l   pdv    dv  p1v1  v  dv .v1v1 vv1v2v2После интегрирования, учитывая, что p1v1  p2 v2 , имеем различныевыражения для расчета работы расширения:l1 p v  p2 v2  , 1 1 1(16)или 1 1RT1   p2    p1v1   p2   l1  1  ,  1   p1     1   p1  или(17)lRT  T  . 1 1 2(18)Расчет располагаемой работы l0 проводятся, используя следующеевыражение:pl0 p1  vdp   vdp    1  p1v1  p2 v2  ,2p1p(19)2Зная l0 по (19) и l по (16) можно определить показатель политропы  l0 l .

Это один из способов опытного определения величины  . Сдругимиспособамистудентыбудутознакомленыпривыполнениилабораторных работ.Для расчета изменения удельной энтропии в политропном процессеиспользуем объединенное выражение 1-го и 2-го законов термодинамики дляобратимых процессов:Tds  cv dT  pdv .или ds  cv(20)dT pdTdv dv  cvR .T TTvПосле интегрирования для конечного процесса 1-2 имеем:s s 2 s1  cv lnT2v R ln 2 .T1v1Если учесть, чтоT2p v 2 2 и cv  R  c p , то получим:T 1 p1 v1(21)s s 2 s1  c p lnВыразимv2p cv ln 2 .v1p1(22)v2 T2 p1и подставим в (22).v1 T1 p2Тогда s s 2 s1  c p lnT2p R ln 2 .T1p1(23)Уравнение политропного процесса в координатах T-s будет иметь вид:ds qTcdT  ê dT cvT 1 T-длябесконечномалогоТП.Послеинтегрирования получим:s  s 2  s1  cv  ê T2ln .  1 T1(24)Зная показатель политропы  , можно рассчитать величину s ипостроить данный ТП в T-s координатах.

Из соотношений для политропныхпроцессов вытекают, как частные случаи соотношения и уравненияизохорного, изобарного, изотермического и адиабатного процессов.12.3.Частныеслучаиполитропныхпроцессов(изохорный,изобарный, изотермический и адиабатный)Изохорный процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты отгаза при постоянном объеме v=const.Этот процесс используется как подготовительный процесс в циклах.Соотношение между параметрами для конечного участка процесса 1-2определяется законом Шарля:p1 T1 , который следует из уравненийp 2 T2состояния для точек 1 и 2: p1 v1  RT1 и p 2 v2  RT2 при v1  v2  v  const .Поскольку работа расширенияв этом процессе равна нулю:V2lv   pdv  0 , т.к. dv  0 , то из уравнения 1-го закона термодинамикиV1следует, что:qV  u  cV T2  T1  .Таким образом, подведенная к газу в изохорном процессе теплотацеликом идет на увеличение его внутренней энергии.

Для ТП v  constкоэффициент распределения теплоты   u / q  1, теплоемкость c  cv ипоказатель политропы:c  cpc  cvcv  c pcv  c vcv  c p0  .График распределения энергетических составляющих уравнения 1-гозакона термодинамики в изохорном процессе имеет вид:Изобарный процесс – это процесс сообщения или отнятия теплоты отгаза при постоянном давлении р=const.Соотношение между параметрами в процессе р=const:v1 T1- законv2 T2Гей-Люссака, т.к.: p1v1  RT1 , p2 v2  RT2 и p1  p2  p  const .Работа расширенияСледовательно,lV2 pdv  pv2  v1  .

Т.к. v  p , то l  RT2  T1  .V1удельнаяRTгазоваяпостояннаяR-эторабота,совершаемая 1кг газа в процессе p=const при его нагревании на один градус.Размерность R: Дж/кгК. Уравнение 1-го закона термодинамики в этом случаеимеем вид:q  u  l  cv T2  T1   RT2  T1   c p T2  T1   h  h2  h1 .Таким образом, вся теплота, подведенная к газу в изобарном процессе,расходуется на увеличение его энтальпии.Коэффициент распределения теплоты в процессе р=const равен:cpu cv T 1 , ê .q c p T êcvТеплоемкость с=ср и показатель политропыc  cpc  cvcð  cpc ð  cv0 0.c ð  cvГрафик распределения энергетических составляющих 1-го законатермодинамики в изобарном процессе имеет вид:В T-s координатах взаимное положение изобары и изохоры имеет вид:sv c v lnT2T, s p c p ln 2 , т.е.

изобара более пологая логарифмическая кривая вT1T1T-s координатах, чем изохора.Изотермический процесс – это процесс сообщения или отнятиятеплоты от газа при постоянной температуреПри Т=const из уравнения состояния pv  RT имеем: pv  const - этоуравнение изотермического процесса является уравнением равнобокойгиперболы.Тогдаp1v1  p 2 v2 ,иp1 v2p 2 v1- закон Бойля-Мариотта.Из уравнения 1-го закона термодинамикиq  u  lприT  constимеем:u  cv T  0 и q=l, т.е. вся теплота, сообщаемая газу в изотермическомпроцессе, целиком идет на работу расширения газа.Изменение энтальпии в процессе T=const равно:h c p T  0.v2v2vdvpРабота расширения l   pdv  p1v1   p1v1 ln 2  p1v1 ln 1 .v1p2v1v1 vКоэффициент распределения теплотыu0.qТогда теплоемкость c T=const будет равен   1 cVc c pc  cv  и показатель политропы для процесса1 cv  c p 0 , т.е.  1.График распределения энергии в процессе T=const имеет вид:Адиабатный процесс – это процесс, протекающий без внешнеготеплообмена, т.е.