Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей, страница 3

Пусть 31. — локальный номер столбца, а 11 локальный номер строки элементов матрицы жесткости и компонент вектора нагрузки конечного элемента Дб — глобальный номер столбца, а 16 — глобальный номер строки элементов той же матрицы и компонент того же вектора. 14 Соответствие между глобальными и локальными номерами узловых переменных устанавливается следующими двумя операторами Фортрана: !СЕ = Ч У (11, Х Е ) .)О=-'.чу (л., (че), где ХŠ— номер текущего конечного элемента, массив ХЧ определен соотношением типа (1.44).

Из рассмотрения соотношений (1.39) — (1,42) видно, что результатом перемножения нида К')а!'1 является пересылка столбцов матрицы К!') в соответствии с их глобальными номерами в глобальной матрице К. Результатом перемножения вида а('>'Кпо или а!'1'Гьч является пересылка строк матрицы К!'1 или вектора Г!') в соответствии с их глобальными номерами в глобальной матрице К или глобальном векторе Г. Этот процесс проиллюстрирован на рис. 1.4. На основе сказанного выше результат матричных преобразований в соотношениях (1.38) — (1.42) может быть обобщен в виде следующего фрагмента программы на Фортране: 1)0 10 11.=1,2 16- )ЧЪ'(11.,(ЧЕ) ЕО(1О) = Е С (15) -' ЕЕ(1Е) 1)0 !Я,)1 = 1,2 ,)О=)ЧУ (Л.,ХЕ) 1И КО(10,,)6) =КО(!6,,)О)+КЕ(1(...11) Массивы Г(э и ГЕ содержат соответственно глобальный Г и элементный Гпч векторы внешних узловых сил, а массивы Кб и КЕ содержат соответственно глобальну!о К и элементную К<') матрицы жесткости.

Целая переменная )ЧЕ соответствует текущему номеру конечного элемента. Очевидно, что эта группа операторов (фрагмент программы) должна быть охвачена внешним циклом по 1чЕ, внутри которого следует поместить подпрограммы, вычисляющие вектор 'Г!') н матрицу К<'1 каждого конечного элемента. 1.4. РЕШЕНИЕ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ МКЭ И ВЫЧИСЛЕНИЕ ДЕФОРМАЦИЙ И НАПРЯЖЕНИЙ Система уравнений МКЭ для стержня, изображенного на рис.

1.3, будет иметь вид и, 1 и, .= 2 6И и„, 1 1 — 1 О 1 — 1 2 — 1 Π— 1 1 (1.45) В системе (1.45) не все компоненты вектора Б являются неизвестными. Узловое значение и, = О, поскольку соответствующее сечение стержня (рис. 1.4) закреплено. Этот факт должен быть отражен в системе уравнений МКЭ, !б Условие ат -= 0 эквивалентно вычеркиванию первой строки и первого столбца системы уравнений (1.45). В итоге получим но- 2 — 1 и, 2 Решение этой системы дает следующие значения перемещений в узлах: (1.47) Вектор Ь глобальных узловых значений будет иметь вид 0 З6 12 2Е (1.48) Е Выполняя над вектором Б последовательно преобразования (1.15), (1.17), (1.21), получим: ип> (х) =-- — 1х. о6 2Е (1.49) иР) (х) = — — 1 ((+ — ); еп) З6 2Е в гх) 6 2Е (1.50) сгп> .=- — 61; 3 о(2) Я (1.51) Сопоставление решения рассматриваемой задачи на основе МКЭ и точного решения позволяет установить следующее.

Поле ,ЩУ Ф" Д ф х ~ 2 Рис. 1.5. Распределение перемещений и напряжений в стержне под действием собственного веса: — — тачиае решение; — — — — МКЭ перемещений и('> (х) совпадает с точным решением только в узло- вых точках, причем в отличие от квадратичного закона изменения точного решения приближенное решение изменяется кусочно- 17 линейно согласно выбранному закону аппроксимации.

Как следствие линейного закона изменения перемещений поле напряжений представляет собой кусочно-постоянную функцию, совпадающую с точным решением в центрах конечных элементов (рис. 1.5). На основании рассмотренных примеров может сложиться впечатление, что МКЭ всегда дает точное значение перемещений в узловых точках.

Это скорее исключение, чем правило. Целью приведенного примера является иллюстрация полной процедуры МКЭ на простейшей задаче. Глава 2 МКЭ В СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 2Л. РАЗРЕШАЮЩЕЕ УРАВНЕНИЕ МКЭ В СТАТИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ Выражение для полной потенциальной энергии упругого тела, нагруженного поверхностными и объемными силами, будет П = — ~ ~Ъ й~ — ~ и'б сЬ вЂ” ~ ц'р гЬ, (2.1) где и вектор перемещений точек тела; р — вектор поверхностной нагрузки, приложенной в точках поверхности Я, б — вектор объемных сил, приложенных в точках объема 1~; е — матрица- столбец деформаций; а — матрица-столбец напряжений. В частном случае трехмерного напряженного состояния в рассматриваемом теле векторы а, р и 6 можно представить: (2.2) р= Рр Р. Матрицы-столбцы а и и будут имегь вид: а, (2.3) тку Матрица-столбец деформаций в связана с вектором перемещений и соотношениями Коши, которые в матричной форме запишутся так а=Оп, (2.4) где Р— матричный дифференциальный оператор, ΠΠΠ— О ду О О (2.5) д д О д д О дг ду — О т Матрица-столбец напряжений а связана с матрицей-столбцом де- формаций е обобщенным законом Гука, который в матричной форме имеет вид (2.6) а =-- Не, где Н вЂ” матрица Гука, Л+2р Л Л Л Л+2р Л Л Л+2п (2.7) роо О О р О О О а Здесь Л, р, — постоянные Ляме, которые связаны с техническими постоянными материала модулем Юнга Е и коэффициентом Пуассона ~ зависимостями Л= (1+ ~) (1 — 2~) ' 2 (1+ т) Если в системе имеются начальные деформации е„обусловленные теми или иными причинами, то в выражении (2.1) следует заменить е разностью е — е„.

Изменится в этом случае и соотношение (2.6). Матрица-столбец напряжений при наличии начальных деформаций будет определяться а =- Н (е — е,). П =- — ~ е'Не~Ь вЂ” ~е'НеосЬ вЂ” ~ и'р(Ь вЂ” ~п'б~Ь. (28) 19 С учетом сказанного выражение полной потенциальной энергии системы при наличии начальных деформаций запишется следующим образом: В выражении (2.8) сразу опущены постоянные слагаемые, поскольку при вариации энергии или при переходе к уравнению Лагранжа они исчезнут. Выражение (2.8) является исходным в наших рассуждениях. Поступим далее так же, как при рассмотрении примера в предыдущей главе. Разобьем тело, ограниченное объемом У, на конечные элементы и пронумсруем узловые точки.

Введем глобальный вектор узловых перемещений 13, матрицы кинематических связей а(') конечных элементов и матрицы функций формы Х<'). Следовательно, имеется формула для перемещений точек элемента ц(е) = Я(е)а(е]11 (2.9) Дифференцирование перемещений надлежащим образом дает матрицу полной деформации е(е) $)ц(е) перейдем к составлению выражения П<'] конечного элемента. Имеем П(е) > 1 е<е]'Не<е>с(о — 1 е(е) Нв<е)с(о — ~ а<~>'р< ]сЬ— 2 а (е) (е) <е) п(е)'с:(е)(1о (2.1 2) (е) После подстановки в (2.12) соотношений (2.9) и (2.10) получим П(е) 11'а(~)' ~ В(е>'НВ(~> <Ьа< >1< 2 (е] — $3'а<'>' ~ В(с>'На<е>с(ив (е) — $3'а('>' ) М('>'р ">с1з— <е> $1'а(е)' ~ )ц(е)'С>(е>с)о (е) (2.13) е(е) В(е)а(е) 11 (2.10) где введено обозначение В(е) Г)Я(е> (2.1 1) Матрица В<'> называется ><атрис<ей градиентое конечного алел<ента.

В каждой конкретной задаче матричный дифференциальный оператор 0 имеет конкретный вид. Соотношения (2.9) и (2.10) позволяют перейти к рассмотрению энергии Г1') каждого конечного элемента. Оставляя до поры открытым вопрос о корректности равенства П = ~„'П", е Обозначим К(') =- ~ В(')'НВ(')(1(); (2.14) (е) Г(') = " В("Не(')(Ь. еО .) ° О у (Е) Г(е) ~ 111(е) 'р(е) ((з. (2.16) (е) Г(е) ~ Я(е)'~(е)(1ц (е) где К вЂ” матрица жесткости конечного элемента; Г... Г (е) (е) (е) Гв — векторы узловых сил конечного элемента, статически экви(е) валентные соответственно действию начальных деформаций, поверхностных и объемных сил.

Минимизация энергии П приводит к уравнению д ~„'П(в) 0 (2.15) (2.17) которое с учетом введенных выше обозначений запишется так ~~ а(') ' К(') а(') 11 = ~ а(е) (Г( ) + Г( ) + Г( )1 8ц Р о ) Р е (2.20) Г = ~ а(')'(Г(')-' Г(') +Г(')~ сО т р 6 )' Перепишем (2.18) в форме К$3=Г. (2.21) Итак, процедура минимизации полной потенциальной энергии ансамбля конечных элементов привела к матричному уравнению равновесия в форме метода конечных элементов (2.21), которое представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных узловых перемещений.