Шабров Н.Н. - Метод конечных элементов в расчётах деталей тепловых двигателей

ББК 3!.365-04 Ш13 УДК 621.43: 517.9 Р е ц е н з е н т канд. техн. наук доц. И. М. Чермена Шабров Н. Н. Ш13 Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. — Л.: Машиностроение, 1983. — 212 с., ил. В перл 90 к. Изложены основы метода конечных элементов применительно к расчету теплопроводностн и прочности деталей тепловых двигателей.

Рассмотрены вопросы построения компактных алгоритмов и их программирования. Приведены результаты расчетного исследования термопрочности деталей цилиндропорпзневой группы дизеля. Книга предназначена для инженерно-технических работников диэелестроения. 2303020200-858 ББК 31.365-04 038101)-83 6П2.23 © Издательство «Машиностроение», 1983 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ Постановлениями партии и правительства предусмотрено совершенствование серийных и создание новых перспективных конструкций дизелей. Рост быстроходности и удельной мощности тепловых двигателей влечет за собой увеличение удельных нагрузок на основные детали и вызывает необходимость более тщательного исследования проблем механической и тепловой напряженности двигателей. Определяющая роль при оценке механической и тепловой напряженности деталей тепловых двигателей принадлежит напряженно-деформированному состоянию. Опыт показывает, что в одинаковой степени важен анализ работоспособности конструкции как с позиции исследования напряжений, так и с позиции исследования деформаций, поскольку утрата работоспособности детали может наступить в результате недопустимого изменения ее формы задолго до фактического разрушения. В настоящее время, когда прогресс в двигателестроении уже немыслим без подробного исследования теплового и напряжепнодеформированного состояния деталей двигателей, инженеры-энергомашиностроители начали широко использовать численные методы анализа, среди которых наибольшую популярность приобрел метод конечных элементов.

МКЭ оказался особенно удобным благодаря тому, что позволяет строить алгоритмы решения задач теплопроводностн и термоупругости для сложных континуальных объектов на основе единого подхода. Данная книга возникла как обобщение опыта автора, занимавшегося в течение ряда лет реализацией МКЭ в расчетах температурных полей и полей напряжений элементов двигателей внутреннего сгорания.

Книга предназначена инженерам энергомашиностроительной промышленности, может оказаться полезной инженерам-исследователям, работающим в области реализации МКЭ на ЭВМ, а также студентам соответствующих специальностей. В современной литературе о применении МКЭ прослеживаются два направления. Первое направление — это работы теоретического характера [10, 11, 18 — 20[, затрагивающие математические аспекты метода.

Ко второму направлению относятся работы прикладного характера [12, 141, в которых рассматривается применение МКЭ для решения конкретных технических задач. Анализируя эти работы с позиции инженера, можно отметить: достаточно полно и хорошо описано, что надо делать в МКЭ, и незаслуженно мало уделяется внимание тому, как это надо делать. Данная книга построена таким образом, чтобы не только познакомить читателя с основами МКЭ, с особенностями его использования в задачах расчета тепловых двигателей и с результатами таких расчетов, но и показать принципы и технологию составления программ и программных комплексов, реализующих МКЭ при решении больших по размеру прикладных задач. Идея МКЭ и алгоритм решения задачи о напряженно-деформированном состоянии с помощью МКЭ демонстрируются в гл. 1 на примере элементарных задач об осевой деформации стержня. Далее МКЭ излагается в гл.

2 — 6 применительно к задачам теплопроводности и термоупругости, причем выбор рассматриваемых в книге типов конечных элементов обусловлен конфигурацией таких подлежащих исследованию деталей тепловых двигателей, как поршни и цилиндровые втулки дизелей различного назначения. Параллельно с изложением алгоритма МКЭ демонстрируются реализующие эти алгоритмы программные модули комплекса, созданного автором и предназначенного специально для расчета деталей тепловых двигателей.

Программы и программные комплексы записаны на языке Фортран, так что книга предполагает знакомство читателя с этим алгоритмическим языком. В книге большое внимание уделено вопросам рационального использования всех ресурсов ЭВМ и эффективной организации всего процесса вычислений при решении больших по размеру прикладных задач: приводятся программы вычисления матриц жесткости, инвариантные к виду конечного элемента. В гл. 7 — 8 приводится компактная схема организации формирования глобальной матрицы системы уравнений МКЭ, подробно излагаются приемы организации исходных данных, опыт реализации с использованием периферийной памяти схем метода Холецкого и метода сопряженных градиентов для решения больших систем уравнений МКЭ.

С помощью разработанных программных комплексов автором выполнены исследования температурных полей и напряженно-деформированного состояния ряда деталей тепловых двигателей. Результаты этих исследований приведены в гл. 9 — 10 книги. В. Н. Николаевым написан п. 5 гл, 9, гл. 10 — совместно с канд. техн.

наук М. В. Семенченко. Автор надеется, что публикуемый материал будет интересен и полезен инженерам, занимающимся анализом работы тепловых двигателей и их конструированием, Работа над книгой велась по инициативе и при непосредственном участии крупного советского ученого, заслуженного деятеля науки и техники РСФСР проф. Н.

Х. Дьяченко, учеником которого автор считает вправе себя называть. Преждевременная смерть проф. Н, Х. Дьяченко прервала совместную работу. Автор выполняет приятную обязанность, выражая благодарность профессорам Н. Н. Иванченко, П. А. Истомину, В, Л. Пальмову за чуткое внимание и помощь во время консультаций по теме книги, а также А. И. Боровкову и И. Н. Заблоцкой за обсуждение некоторых вопросов программирования. Глава 1 ПЕРВОНАЧАЛЬНОЕ ЗНАКОМСТВО С МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ ОДНОМЕРНЫХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ 1.1. АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЯ Проиллюстрируем идею метода конечных элементов (в дальнейшем МКЭ) на примере решения одномерной стационарной задачи.

Пример простой одномерной задачи дает возможность читателю проследить поэтапно процедуру решения МКЭ на фоне несложных математических выкладок. Пока что мы не будем интересоваться физической сутью задачи. Нам безразлично, какой физический смысл несет в себе искомая функция. Конкретно это могут быть задачи о распределении теплоты в стержне, о плоском изгибе балки или о растяжении стержня.

Решение любой из упомянутых выше простых одномерных задач может быть получено с помощью подходящего аналитического метода. Большинство же инженерных задач не поддается аналитическому решению. Более того, вряд ли целесообразно требовать точного решения инженерной задачи, поскольку инженер, как правило, не может гарантировать точность исходных данных.

Для решения инженерных задач используют приближенные методы численного анализа, дающие результаты, точность которых вполне удовлетворительна для практических целей и не превосходит точности исходных данных. Одним из численных методов, получивших в последнее время особенно широкое признание у инженеров, является МКЭ. Подлежащая исследованию область изменения искомых функций разделяется на ряд подобластей простой формы. Искомые функции аппроксимируются в пределах каждой подобласти полино- мами так, что коэффициенты аппроксимирующих полиномов выражаются через значения искомых функций в конечном числе так называемых узловых точек подобласти. Подобласть с выбранными узловыми точками называется конечкым элементом. Силовое взаимодействие между конечными элементами осуществляется только в узловых точках.

Определение искомых функций в узлах сетки конечных элементов является, по существу, решением задачи. Задача об определении узловых значений решается обычно с использованием подходящего вариационного принципа. Принятые для искомых функций аппроксимации сводят задачу о нахождении условий стационарности соответствующего функционала к задаче об экстремуме функции многих переменных. Условие экстремума такой функции представляет собой систему линейных алгебраических уравнений относительно значений искомых функций в узлах, которая, по сути, является системой разрешающих уравнений МКЭ.

5 При использовании МКЭ для исследования напряженно-деформированного состояния деформируемых твердых тел задача чаще всего решается в перемещениях. В этом случае для перемещений в пределах конечного элемента строятся аппроксимирующие функции, образующие кинематически допустимые поля перемещений в пределах всей исследуемой области.

Узловые перемещения определяются на основе вариационного принципа Лагранжа, который из всех кипематически допустимых полей перемещений выделяет действительное поле, т. е. поле перемещений, которое удовлетворяет уравнениям равновесия. У1 У а1 Ул Уая Ую Аюя хп Рис. 1.1. Лппрокснмацня ре~иення кусопно-лннейными функциями Вариационное уравнение Лагранжа имеет вид Ы1 — О, (1.1) где П вЂ” полная потенциальная энергия упругой системы, которая складывается из потенциальной энергии деформаций и потенциальной энергии внешних сил. Вариационное уравнение Лагранжа в МКЭ приводит к системе линейных алгебраических уравнений относительно узловых перемещений, которые по своему физическому смыслу представляют собой уравнения равновесия узлов. Вернемся к нашей задаче.

Нас удовлетворило бы с инженерной точки зрения приближенное решение, которое на каждом из подынтер валов Лх„= хя„— х„(п = 1, 2, ..., Й) представлено линейной функцией (рис. 1.1, а). Оговоримся сразу, что приближенное решение может быть представлено кусочно- квадратной функцией, кусочно-кубической функцией и т. д. Рассмотрим подынтервал Лх„. Поскольку приближенное решение является линейной функцией на Лх„, то для его определения достаточно иметь значения функции в двух точках. Выделим два этапа в построении приближенного решения на Лх„.

б 1. Выберем точки на концах Лх„и обозначим их и значения приближенного решения в этих точках следующим образом (рис. 1.1, б): х„=х,"; у(х„) =у,".); х„+, — — х('; у(х„+,) =у", 2, Проиптерполируем линейно решение в пределах подынтервала Лх,: у(х) = ао+а,х, (1.2) у (х) = ( 1 «) ~ ('а, 1 Ф(е) (х) = (1 х); а(е) = а1 (1.3) Обозначим На основе зависимости (1.3) вычислим значения решения в точках интерполяции 1 х,"1 1 х(е'~ [ф ) (::1 (1 4) Обозначим е( ) ] ,(е) х(е) l х,(е) ф(е) Разрешим (1.4) относительно и(е). Получим (е) ф(е) ' (е) (1,5) Подставим (1.5) в (1.3) и получим соотношение, связывающее решение в любой точке подынтервала Лх„через значения решения в точках интерполяции у(Х) ф(е) (Х) ф(е) ',(е) (1.6) Обратная матрица Фо~'~ легко находится и имеет вид х') х,".) У вЂ” 1 1 (1.7) Обозначим или подробно М(е) (х) = ф(') (х) ф(') ', , (е) .(е) И(е) (х) = (1 х) ! )(е) (1.8) где а, и а, — неизвестные коэффициенты аппроксимирующего линейного полинома.