Лекц_упр_4 (Презентации лекций), страница 2

Тогда при t=0 уравнение (IV.23) сводится к следующемуоткудаДифференцируя уравнение (IV.23), получимчто при t=0 даетПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАПодставляя в последнее уравнение выражение для С3 из (IV.32), определимзначение С4После подстановки выражений (IV.32)и (IV.35) в уравнение (IV.23) получим формулу для искомого частного решениякоторое относительно безразмерных переменных имеет следующий видТеперь мы можем перейти к изучению реакции системы второго порядка наступенчатое возмущение при различных конкретных значениях коэффициентазатухания, используя формулы (IV.30) и (IV.37).Мы рассмотрим здесь четыре случая ζ=0; 0 < ζ < 1; ζ= 1 и ζ >1.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАСлучай 1.

Гармонический осциллятор (ζ=0).Если ζ=0, то корни характеристического уравнения, как это следует из формул(IV.20) и (IV.21), будут сопряженными и мнимыми: ±iωn.В табл. 3 было указано, что такие корни характеристического уравнениясоответствуют гармоническим колебаниям с постоянной амплитудой и частотой,равной ωn.Посмотрим, как можно прийти к такому же заключению с помощью формулы(IV.30). Подставляя в эту формулу r1iωn и r2= — iωn , получимили, после сокращения,Для того чтобы преобразовать правую часть (IV.39) к более привычному виду,воспользуемся формулами Эйлера, которые выражают экспоненциальнуюфункцию от мнимого аргумента через тригонометрические функцииРешение уравнения свободного движения и устойчивостьПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАОчевидно, что выражение в правой части уравнения (IV.39) черезтригонометрические функции можно получить, складывая формулы (IV.40) и(IV.41).В результате сложения получим 2cos ωnt, так что после подстановки этогорезультата в выражение (IV.39) получим искомое соотношениеГрафик этого соотношения показан на фиг.

32ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАФиг. 32. Переходные процессы всистемах второго порядка.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАЧто же означает условие ζ=0 (или условие нулевого демпфирования) на языкефизической системы? Вспомнив определение коэффициента затухания из гл. 2,мы видим, что из условия ζ=0 следует, что R=0, т. е. что в рассматриваемой намисистеме отсутствуют силы трения.Энергия, подаваемая в систему источником силы, никогда не преобразуется втепло, так как здесь нет утечки энергии.Вместо этого она непрерывно перекачивается между пружиной, накапливающейпотенциальную энергию, и массой, накапливающей кинетическую энергию.Потенциальная энергия пружины максимальна, когда кинетическая энергиямассы равна нулю, и наоборот.Амплитуда этого гармонического колебания определяется величинойвозмущающего воздействия yss≡F/K.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАСлучай 2.

Недодемпфированная система (0<ζ<1).Если 0<ζ<1, то корни характеристического уравнения являются комплексными исопряженными. Формулы этих корней удобно переписать в следующемвидегде ω = ωn(1 —ζ2)1/2Из табл. 3 следует, что такие корни характеристического уравнениясоответствуют гармоническим колебаниям с экспоненциально затухающейамплитудой.Посмотрим, как можно прийти к такому заключению с помощью формулы(IV.30).Подстановка (IV.43) и (IV.44) в (IV.30) даетРешение уравнения свободного движения и устойчивостьПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАВынесем e- ζωnt в правой части этого уравнения за скобку:Выражение (IV.46) можно переписать в следующем виде:Воспользовавшись теперь в уравнении (IV.47) формулами Эйлера, получимгде В1 и В2 выражаются через А1 и А2 следующим образом:В1≡ А1+ А2В2≡i(А1 - А2 )(IV.49)(IV.50)Наконец, выполним операции, указанные в формулах (IV.49) и (IV.50), надкоэффициентами уравнения (IV.46) и получим искомое выражениеПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕ ВТОРОГОПОРЯДКАИнтерпретировать выражение (IV.51) проще, если ввести новую постоянную,равную {1+[ζ/(1—ζ2)1/2]2}1/2=1/(1—ζ2)1/2 и угловой параметр φ(—π<φ≤π) такой,что cosφ=(1—ζ2)1/2.Воспользовавшись этими обозначениями, мы можем переписать выражение(IV.51) в следующем виде:Очевидно, что выражение (IV.52) описывает гармоническое колебание с угловойчастотой ω и с убывающей по экспоненте огибающей с постоянной времени1/ζωn..График выражения (IV.52) показан на фиг.

32 для нескольких значений ζ.Заметим, что при ζ=0выражения (IV.51) и (IV.52) сводятся(IV.42),описывающему случай гармонического осцилляторакПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАФиг. 32. Переходные процессы всистемах второго порядка.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАСлучай 3.

Система с критическим демпфированием (ζ=1).Если ζ=1 , то корни характеристическогоуравнения действительны иравны, т. е. r1= r2= — ζωn= — ωn.Это критическое значение ζ определяет границу между системами сколебательными (0< ζ < 1) и неколебательными (ζ≥1) реакциями.Выражение для реакции системы с критическим демпфированием легкополучить, подставляя в формулу (IV.37) (— ωn ) вместо r1. В результатеполучим, чтоГрафик этого выражения показан на фиг. 32.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАФиг.

32. Переходные процессы всистемах второго порядка.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАСлучай 4. Передемпфированная система (ζ >1). Еслиζ > 1, то оба корня характеристического уравнения вещественны,различны и отрицательны, а именно r1= —ζωn+ω1 и r2= —ζωn—ω1. Гдеω1≡ωn(ζ2—1)1/2.Обычно удобнее пользоваться не этими корнями, а их обратными величинами —постоянными времени τ1 и τ2.Подставляя выражения (IV.54) и (IV.55) в формулу (IV.30), получим выражениедля реакции передемпфированной системы через эти постоянные:ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАИсследуем теперь изменение характера этого решения при увеличении ζ.Из определения постоянных времени τ1 и τ2 очевидно, что их отношениеочень быстро растет с увеличением ζ.

Так, для ζ = 1,5; 2; 3; 4 и 5 значения τ1/τ2соответственно равны 6,9; 13,8; 34,3; 60,6 и 99.Если отношение τ1/τ2 достаточно велико, то второй экспоненциальный член ввыражении (IV.56) оказывает очень незначительное влияние на характеррешения, поскольку его величина в первый момент времени мала, аэкспоненциальный множитель быстро затухает со временем.Поэтому с увеличением ζ реакция (IV.56) приближается к реакции системыпервого порядка (см. кривую для случая ζ=2 на фиг. 32).ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАФиг.

32. Переходные процессы всистемах второго порядка.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАБезразмерные кривые на фиг. 32 и соответствующие формулы в табл. 4 вудобной форме подводят итог решению прямой задачи исследования реакциисистемы второго порядка на ступенчатое возмущение.Если ζ=0 то выходной сигнал системы, не затухая, колеблется с собственнойчастотой системы ωn .При увеличении вплоть до единицы частота колебаний падает, а их амплитудазатухает по экспоненте все быстрее и быстрее.Как только ζ становится равным единице (случайдемпфирования), колебательность реакции системы исчезает.критическогоПри дальнейшем увеличении ζ поведение системы быстро приближается посвоему характеру к поведению системы первого порядка с единственнойпостоянной времени.ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАОстановимся теперь вкратце на решении обратной задачи.Метод, используемый при решении, зависит от того, является линаблюдаемая реакция колебательной, близкой к режиму критическогодемпфирования или передемпфированной.Если наблюдаемая реакция имеет характер гармонического колебания, торешение поставленной задачи очевидно: ζ=0 и ωn=2π/Т , где Т —измеренный период этих колебаний.Если наблюдаемая реакция по своему характеру напоминает затухающиегармонические колебания, то вспоминаем, что частота таких колебанийдолжна быть равной ωn(1—ζ2)1/2 , а постоянная времени экспоненциальнойогибающей — 1/ζωn.Из последнего условия ясно, что натуральный логарифм отношенияамплитуд двух последовательных положительных пиков реакции (такназываемый логарифмический декремент затухания D) должен иметьследующий вид:где Т — период колебаний.

Однако нам известно, чтоПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАподставляя это выражение в формулу (IV.57), получим, чтооткудаЗная ζ и частоту колебаний ω, легко вычислить и ωn [так как ωn=ω/(1—ξ2)1/2].Поэтому мы остановимся на решении обратной задачи только для режимов,близких к критическому, и для передемпфированной системы.В первом случае измеряют расстояния во времени между точками, в которыхреакция системы составляет 0,736; 0,406 и 0,199 своего значения в начальныймомент времени (до того как она в первый раз обратилась в нуль).Если ζ=1 то эти интервалы должны быть одинаковыми; для ζ<1 второйинтервал больше первого, а для ζ>1 больше первый.Для передемпфированной системы τ1 и τ2 можно вычислить по наклонамкривых реакций, построенных в полулогарифмических координатах.Как уже отмечалось выше, с увеличением ζ система начинает вести себя каксистема первого порядка.Определив τ1 и τ2 , нетрудно вычислить и ζ и ωnПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАДля решения уравнения (IV.

18) методом преобразований Лапласа сначала надовычислить это преобразование от обеих частей уравнения, в результате чегополучимПолагая, как и раньше, ý=О и замечая, что & yss=(1/s)yss после необходимыхпреобразований получимили, выделив в явном виде передаточную функцию,ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАПервый сомножитель выражения в правой части является передаточнойфункцией системы (инерционного звена второго порядка), а второй сомножитель— входной функцией, учитывающей и внешнее ступенчатое входное воздействиеи начальные условия.Если полюсы передаточной функции, приведенной выше, различны, торазложение на простейшие дроби даетПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАили после вычисления обратного преобразования:Хотя и не очевидно, что выражение (IV.64) идентично выражению (IV.29), но спомощью несложных алгебраических преобразований нетрудно показать, что этодействительно так.В самом деле, для любых допустимых значений ζ (ξ=0 или любомуположительному числу, кроме 1) s1s2=ωn2, так что первое слагаемое в выражении(IV.64) равно просто yss.Кроме того, можно показать, что (s12+2ζωns1)= — ωn2 и что (s22+2ζωns2)= — ωn2Тогда, если умножить второе слагаемое на (s1/s2), третье — на (s1/s1), уравнение(IV.64) сведется к уравнению (IV.29).ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕВТОРОГО ПОРЯДКАЕсли полюсы нашей передаточной функции одинаковы (т.

е. если ζ=1)разложение выражения (IV.64) на простейшие дроби будет иметь видили после вычисления обратного преобразования:Если теперь принять во внимание, что s1=—ζωn =— ωn, то после несложныхалгебраических преобразований уравнение (IV.66) сводится к уравнению (IV.36).Надо вспомнить, что это есть частное решение для системы второго порядка,полученное ранее классическим способом.