Том 2 (Седов Л.И. - Механика сплошной среды), страница 14

+ 2\n)—T.gradaE.1)ЕслиобъемныеизвестнысилыиE.1)сизвестнымитеориисвычисляютсятакойпритакпостановкепостановкезадачPoFlму.Внозаранееичтозаключить,Тогданулю.равнырп,тоэтомвтолькоуравнениямическиопределимыми.Уравнения^ельтрамичитьдополнительныерятькомпонентыВqуравненийТакиеобщемтензорарассматриватьсяможетЕслипользуясьназываютсясистемапомощьюГуказаконастати-E.2)совместности+ViV,ewуравненийможноЭтиполуудовлетво-должныуравненияОниМичелла.—замкнута.неиздеформацийкоторымнапряжений.Бельтрамиобразом.известныграниценанапряжения,случаетриизвестныостальныезадачиуравнения,следующимИзнайтисовместностиуравнениямивыведеныможноE.2).ичелла—ютсяслучаетольковходятаE.2)мож-задачи,симметрииE.2)Гука.комсисте-незамкнутуюиззаконаотнеизвестныхшестьсистеманезависимоотдельно,E.2)составляютнапряжений,компонентыназывавбытьмогутдеформаций-ис-0.=напримервуравненияслучаях,некоторыхэтомнапряженияхвообщенапряженийнеизвестныеилиV#yреше-—Принапряжениях.в+решениятелупругихвсодержатуравнениятензорадеформаизвестно,какпутьравновесииравновесияуравнениятриудовлетворя-собой,задачниеЭтиэтогосовмест-распространенныйозадачнапряженияхпонентзадачупослесовместности.Другойвпользуютсяпереме-выражающиепредставляютуравненийрешениенайтирешитьзадачиформулы,какперемещения,черезобщееОзаконауравненийизможнообразомНапряженияГука.Уравнениятакимперемещениях.автоматически,цииикоординаттоданнымителапомощьюдеформацийностиютсяперемещения,точеквфункциикактемператураначальнымивнутреннихупругостищенияизаданыграниценаV,V,ew-VtVpu=0344сГл.помощьюIX.ТеориясвертыванияЯ?*-R^iтензораAei}=упругостиУЗД+(е)можноK*АгдесиспользуяуравненияЕ,(еслилучимМичелла(a)соотношенияхв-Y&gi)+Го)-E.2)постоянны)Т9а,(Таравновесияа,gMБельтрами+pgw+iPoiуравненияеслисовымточекМичелла—З5тринапряженийслучаеобъемныхсилидатемпера-турыСТакимсилтензораобразом,являетсяВнентыфункциямиизкаждаяпостояннойслучаенапряженийрассмотренныхтензорабигармонической—=E.4),соот-получимq__E\"равенстваE.6)0.компонент§ 3поэтомуфункцией,объемныхпостоянныхафункцией.озадачахбылинапряженийтензораигармоническойнапряженийкоординат,+Рзз-+Рггрп=этоготемпературывБельтра-что&Аривтя-вид:использованиемE.4),извывестилегко/,=постоянныхвсилауравненияiветствующиемас-ускорение—координат).простойкоординатах(кнапример,уравнениятоСкладываякомпоненттензора(как,постоянна,следующийдекартовыхвасистемыпостояннытожепринимаютпричемСвойствасилытемпературатела(F—a)р0инерции,инерциальнойобъемныеичерезсилыотносительносредыЕслижести)мидобавляютсясиламE-3)0-упругогоE.3)в—=движущегосядляp0Fзаменитьпо-^^Аналогичные(б),равенствоиуравненияdivполучаются,(a)Гука-и0,=F)ЗаменяяЛапласа.законапомощьюVfcV^-0,=оператор—получитьVjVfce'V-первыйинвариантбрусарастяжениипостояннымиилиуравненияВельтрамикомпо-линейнымиавтома-•5)/§ 5.тическиПостановказадачВудовлетворялись.нуляненийнойтолькокомпонентаE.4)Ь,а,Суперпозициячтоdс,Водногосовыхсил2линейнойимеютсяуравлиней-толькоF(i)те°Риипринципдваупругости,суперпор%ц\)W(i),решения:напряженно-деформированноежетоготелаF(ii)идействиипри$1негонаw(H)мас-внешнихусловиях2ьнаисосто-следующихприЩ\)=на=WiнаSa,=w2на2j,телаграницеТогдасоответственно.Wдают=озадачирешениетеледействиемподперемещенияхмассовыхрпперемещенияхзаданныхпри#"+#"=инапряжениях-j--F'(i )F(i)силсилахповерхностныхииз-f- d,справедливПустьиex3-f-раМКаХописывающих=21+22:Ьхг-f-очевидно,Рши),яниебытьможетрпототличнатоконстанты.—решений.Щи.),ах1=решенийзицииеслислучае,напряжений,координатрпгдеобщемполучить,345упругоститензорар1глегкофункциейтеорииw=начастиw^-j-этомвзаданныхпри2Хграницы22частина^2границы.Так,снапример,задачдвухпределенныхпоствиемегозадачегоныхчувствовозможностьможноупругости.теорииносительныходействиемравномернорастяжениибрусарешениесконструироватьбрусарешенияупштости'rjrсилами,рас-дей-подрас-озадачираспределеннымиравномерноПрирешенииГ0Сти,такуравнений.кактеориизадачзадачеГовподбираютсяВассвязинеудовлетворенности,существованиядоказавустранить,Отметимперемещений.интуитивныхизопределяютсяможеткактребуетсярешений.исключитьЭточтотеориизадачстатическихрешениетолькочувствозадачрешенияединственностьоснов-естественноевозникатьтакединственноупругостичастичноэтимдругихзаранее,неизвестныхзначениякаких-либоизупру-растяжении*«бруса,соображений,опытныхмногихжетяжелогочастичновеличинилиисилторцамвышерассмотренныхподторцам.единственностиtcodhhеготяжелогопоОбрусаможновесатяжениирешенийпомощьюрастяженииовслучаемалыхот-346Гл.Действительно,тонкогоIX.Теорияупругостирассмотрим,заделанногонапример,наподдействиемегоконцезадачу.оконцеодномрешениеостатьсяпрямолинейнымвпоказаноДваупругойниястержнядействиемподсосредо-точеннойсилы.рииэтомслу-рассматри-проявляющейсябольшойприложен-величинечтовозможноравновесия,несновсенеустойчивы.СстатическихустановимлинейнойВозьмемзадачКлапейрона.теоремудекартовойвпростотыдляединственностидоказательствацельюрешенияупругостиравновесиянениявзадачиположенийониКлапейронаУравнениеНе-конечными.Оказывается,колькоотно-частности,системы,достаточносилы.115.положе-изнеустойчивостьюссвязанапринойвоз-положе-врешениячаеРис.~115.на(и,будутповороты)ваемойможетизогнуться,рис.стержняЪположениеединственностьможныхСтерженьчастицдо-неедин-иликактак,сительныеслучаевозможнозадачи.ПеремещенияаэтомFсилественноенапример,В115).большойнияприложеннойсилы,(рис.статочноравновесиистержнянадругомприпрямоугольноготео-уравкоординатсистемеE.7)Умножимуравненияконечныйкакилиперемещенияногокоторыйw,векторамалыйрассматриватьможнодействительноговектор=дх>Втензорасимметричногослучаеследнийэтогочленвозмож-илих):средыточеккомпо-соответствующиенаравновесиянекоторогонентыможноуравненияE.7')0.напряженийпреобразовывать(рУдопущениями,непрерывныечто=образом:щимгдеJ)векторамыеПоследующиеwфункции(u?j)тензоракоординатссвязанывыводыинапряженийвобъемеp*Jпространства,—pi%)следую-компонентыдифференцируезанятоготелом.по-§ 5.задачций,ПроинтегрировавтеоремойE.7')Гауссапоw.объемувсемурьщщс1зV,ивоспользовавчтотем,w^da,(рп)г=деформа-тензораперемещениямОстроградского—347упругостикомпонентымалымсоответствующиешисьтеориикакрассматриватьможно«уПостановкаполучим<\Po(F-w)dx+avЭтонийE.7).Пустьностныхp0F=§ 2)собойE.8)равенствоверноняетсятовj (pn¦изотропногоПоимеемобтеоремеввести=Vесли\ ви ^объемаdx.E.9)"ОноКлапейрона.теоремунесредаподчиняетсятелоФпроцессов(сегу-законуможноточностьюсчитатьподчиг-Гука,одно-аддитивнойдое.тела,(см.B.24))+функцияходнородных]$ =*}(!)dx—const.отбрасываяеи^Еслиdaw)рассматриваемаякогдаизотермическихт.стоянную,единицывидквадратичной*формойслучаеповерх-деформациймалых•шгпВданныхэнергию**,Однако,Гука.случаероднойконстанты),Длясобойпредставляетслучае,томзаконувсил.~приметВравенствоиперемещений,вектордействиемсвободнуюVЭтопереуравне-чтотак,РТогдасмещение,системеподтелавнешних(см.ввестиможномалоеэквивалентноеточкимассовыхиE.8)возможныхпринципапредставляетwтеперь\p\,dx.бесконечноупругости,испытываюткоторыеФтеориивvуравнениекакрассматриватьмещений=го—мысленноекогдаравенство,можно\(pn-w)de=полнуюнесущественнуюпо-получимE.10)2Ф.свободнуюэнергиютела348Гл.целом,вIX.упругостиКлапейронаравенствотоТеорияE.9)можнозаписатьn-w)d3Эторавенствособойпредставляетподчиняющейсясреды,ЕслиЛамекоэффициентыизотермическихзаконуФформой.имеетрешенияупругостижениях,прикоторых(средаE.11)однозначны,щенияДоказательствоЩ1),РассмотримwЕслиг*>(п),—ковымеуипервоесуществованииграничнымоТо=виотносительныеаИпереме-малы).Допустим,противного.различныхоттео-предполо-Клапейронаравенстводвавтороечторешения:W{U),Вщщ,согласнорешения,двухрешенийусловиямРЩ11).иpm)массовымКлапейронадопущениюодинатовведенныезаданнымсилПоэтому,E.11),сил.E.12)Рщщ.—силам,соответствующимповерхностныхмассовыхравенство=сделанномусоответствуютзадачи,значениямотсутствиюpi}ei;(n),—решением,граничнымE.12)sm)=являютсяразностилевымизадачТразностиw(i)=тел.решениястатическихГука,РуA)8уA),ква-неизотропныхслучаеиимеетзадачаслучаевышенепрерывныпроведемпоставленнаяопределен-единственностьвсправедливозаконуподчиняетсявиIIвдефинитностьтеперьиподтверслучаеФподчиняющейсясреде,местоуказанныхII,типаэнергия(положительноПоложительнаяДокажемдля(чтоположительны\iсвободнаяизотропнойвдефинитнойявляетсяквадратичнойной)формыдратичнойриияE.11)КлапейронатеоремутопроцессовГука,ЕдинственностьКданными),опытнымиждается2j&,=Гука.законуну-перемещенийикпримениврешениюполучим3=0ОтсюдааГука,ниямогутwтелачтов«Я1)типаствоиперемещения,I,Заметим,оставалосьрц8«<п>»IтоиIIР щ!)что=сразуТаксобойжетеиwРщщ,=etJперемещенияпри0,=тое,-7перемещеупругогоформулировкезадачиобразом,та-гищ=доказана.длясправедливым,того,чтобыпроведенноедостаточно,доказатель-чтобыг#(Ц),задачрешенияединственностьО,=исключающиепредположения,Таким0.ичтоследует,кактолькоЕслитвердого.одни=0.=представлятьиспользуютсякиеиабсолютнокакE.13)Фдефинитностисилувзаконаизвидевграничные§ 5.условияудовлетворяливсейнаПостановказадачтеориитела2поверхностиусловию:(pn-w)daкотороевыполнятьсяможетПринципСен-Венанаципмалойобластинекоторойвссравнениюпосистемаствуетвдитсялиженноненогоотзависятследующегоупругости.малойтео-задачЕслибыбылинипроволоку),чтонепочтипроволокизажимаемтискамипроволокутак,(онинапряженийсилывызовутобласти,внемыэтивеликиониторца[сил,убывающиетопоонамерепроволо-действу-чтоТогдауравновешена.силсистемапроизводятстерженьА.насистемасжимаюттисковнееб)иотбыстрооченьДопустим,концынавдалиуравновешеннаяА.отпричема)действиеАчастинапряжения,немСилыодинаковоестеластатическив116.Рис.какой-всравнениюповсеговызываеточевидно,дажечто,перерезатьмогутосновнойвмас-примыкающейнепосредственнокзащемления.местуСен-ВенанаПринципданныхирастягивающемсяичисленнымиСен-Венана,деформированноедлинномзаделанноготорца,част-навытекает,всобственногодействиемотрасчетамичастности,состоянияподудаленнойвопытныхмножествомподтверждаетсямногимиподкрепленпримерах.Изпринципаженноедостаточновы-общегорешенийразмерамиприложенаныхглавнымвСен-Венанаизсвойствасеивекторомглавнымокрестно-Принципкаксостоянияприложения.ихтекаетющаяприло-местанапряженноеа)толькобобластиудаленияку,отнахо-практиче-силнепосредственнойлибоителоиудаленныхдей-негодеталейсказываетсяриинасилраспределе-распределенияститела,поверхноститела,деталь-Влияниесил.скинаприб-ихарактеранияилитолькосилпринзаключаетсяповерхностныхобластях,восновномвэтихкоторыйI I.иважныйоченьразмерамиилитоопределяютсямоментомII,типазадачахтеперьвнутридеформированноесил,этихвосновнымимассовыхравновесии,женияО,толькоСен-Венана,решенийдвухследующем.вЕслиразностидля=неСформулируем349упругостичтонапря-брусе,упругомвеса,внезависятобласти,от350Гл.способазаделкиегосостоянияввзадачечтовнешними116)имеющимжетурав-приближенныеполучатьпомощьюсупругоститеорииреше-распределенийчастныхдляеслисилами(б).позволяетзадачаналогичныхзаменитьсилзадачразличныхизменятся,поверхностнымираспределениемСен-Венананеосновномвдеформированноеинапряженноебруса(рис.(а)FПринципупругостистержнесилраспределениенодействующуюТеорияилидлинномрастяженииорешениянийIX.действую-сил.щих§ 6.обЗадачаизгибеРассмотримбалкиупругуюбалкуцилиндрическую(рис.сеченияпоперечного117).произвольногоПредположим,чтобоковойна¦J117.Рис.Бповерхностит.е.напобалкиБторцеБалка0,надействуютнаходитсяусловиюpnd30иSiт.е.натужетКрутяшийпар,изгибающийосямглавнымРазложимх,п?авленаМ,моментМ=М1,1торцеМ,—общийсил,общеммоментмомен-знакуМмоментслучаеу,мо-п?осибалкиаосидействующий+Myjна+осьхипроходилауиz(рис.сеченияпоперечногоsiчтобытак,MJe.ко-системудекартовуzсечений,поперечныхинерцииМ.моментомпоправуюординаттяжестицентры=пары22.причемнаправление.Выберемизгибdsр")XВ0,поэтому^напротивоположенинапроизвольноеиметьчистыйсоставляющиевеличинепо(гфрпобщимссилдействоватьдолжнытакжедействующихимоменты;Бхравенкоторых^моментов22торцепарыравновесии,в=М%№vj+Mzk).=действиемподизгибающегопрпбалки2балкаЦилиндрическаяМх(М2=крутящеготорцеОчевидно,былана-черезпонаправим117),2а,натриподЗадача§ 6.МхдействиемМументовщим,МулинейностисилуопределениичениидействиемдачиобРассмотримподробнозаданногообычно,будемосибающегокШ,изчасовойдействием0.=Приэтом,есликонцасвиденстрелки.находящейсясостояниядействиемподглавныйбалки,торцовза-положительным,напряженноекогдабалкидвеподМуМ,возникающиемоментакру-аналогичны.=хоизгибебалкиМдействиемпротивкаждомуизгибеМподбалки,последниемоментиравновесииобчтокогдасчитатьсовершающимсяzДеформированноезадачсовершеннообМ,=возникающийповорот,двухсуществу,задачуМгмоментакакпозадачиЯсно,ихMz.иМмоментазадач:трехММубалки,изгибезадачисостоянийнаправленногомоментамоментоврешениедеформированногорешенийсуммудействиемподподкрутя-упругостипроизвольнокакмо-называетсямоментами.теорииидействиемдействиемподаМхизгибающимизадачполучить351ПоэтомуMzибалкизакручиваться,напряженногоподможновбудетизгибаться.—моментыаВоббалкибалкаMzиизгибеобвекторнулю,равенизги-толькоприложенныхсил,чистымназываютсяизгибом.ВдляодинаковасовыесилытатьпостояннаКромеЛегкопримем,круточекТо)ичтотензор=чтомас-де-можнокоторыеторце2счи-этойвектор)Действительно,черезпроходиткакрпdz=J(ГХpn)yd3У d3=°.такх,а=aJyzdu=0,нулю,покаксечения,поперечногооси=только\а*—чтополучим,равенбудетнапряженийпараллельноМукоординат,тяжестицентрF.1)составляющуюиметьРпсилРи=—Щ,системысистемыбудетмомент22торцераспределе-поверхностныхРп*,=начастноевнепшихвыбораусловияесличто,следующеениеучитываяглавныйаглавныйвидеть,принять2>пLоразличныхэтого,озадачизадачеви(Тперемещениями,напряженийтактемпературавременивоотсутствуют.определяетсятакмалыми.Распределението,изгибе,чтопримем,ирешениеприведенообзадачевпростотыченииформацийнаКакбалки.балкибудетпараграфеследующемкрученииосиосьz.х352Гл.таккакногоосииусеченияТеорияссовпадаютzМ2=упругостиглавными\ (rXpnJda==к=/гдемомент—инерцииосипопереч-F.2)Изz.F.2)к/,=2.S2носительноинерцииосямиимеемнаконец,и,MIX.формулапоперечногоБбалкисечениякоэффициентадляот-вытекаетамПримемеще,начтораспределенныеБхторцезаконупо(PnhiНа%>\118рис.очевидно,такоенаНижетическоероданоеленнойлюбоезаданномуЖ"БхторцахиРаспределениераспределеныИзпринципасправедливобудетрешениеотееиторцов,распределениедругоемоментуслучае,(и—М).обизгибесилыповерхностныеF.3).иПрактакогоограничиваетсяследует,балки,частиизгибтор-F.1)невтомназадачиСен-ВенананапряженийМрпзаконамрешениявызоветсилкогдаслучая,пов2а.решениеточноеБ2инапряженийн22.2Хдлятолькоэтогоприменениеслучаями.2ХвнешнихполучиммоментомнапряженийНепосредственнораспределениецахбалки.балкиF.3)(рп)а>#_распределение118.Рис.силы,поверхностныеторцахнаауг=что=изображено—аг/inps,—действуютчтополучен-достаточнонакогдарп,22(иприводящеесяуда-2Х)заданок§ 6.НапряжениябалкивнутриДля353ивнутринапряженийтензора=Очевидно,чтоэтомРпУ,j-Ргз=наверныповерхностиравенстваРгз=Рзз=F.4)0.=равновесияуравнениябудутиудовлетворяютсяграничныеРгч.=чтоположим,решениямРиприбалкиточкахвсехкомпонентдляизгибеполучениявобалкиобЗадачатакжеудовлетворенывсеусловия.Действительно,чтовидно,условиям22набораосейБх.и(п,cosрх=х)+СКомпонентыдеформацийперемещенийтензоравектораиcos(n,х)cos(п,у) +PiкомпонентамF.4)легковидно,менты,чтоосьюх,B.28)0.=извест-понапряженийтензоракомпонентзначения<sMydw-iMyF.5)сМуе12нииспытываетосипараллельныеегз=изгибечистомпринеГукаz)~Ш~дюзс(п.,созр3найдемприх,уе1з=—балки,элементсовпада-Эле-сжатия.ниудлинения,0 сжимаются,^>Непосредственночтопроверить,можноF.5)уравненийперемещенийдлядиффе-решениеwsw2,wx,0<^уприарастягиваются.ренциальныхвы-поэтомудеформаций:дин~дх~граничнымв силубалки0,=законапомощьюнымтензораОтсюдающийудовлетворяетповерхностиимеемкоординатрпF.4)непо-рассуждениявышеприведенногорешениебоковойНаизсредственноимеетвид..Мух__=-#7foa-1*4-бF.6)eMyzПриэтомтвердойкоординат)началев12чтопринято,осейглавныхЛ.И.Седов,перемещенийустранениядлятомдеформацииперемещениевравны2балкицентренулю.какэлементарныйитяжеститорцаабсолютно2Хповорот(т.е.354Гл.УравнениеизогнутойбалкииееЛюбаябалкиосикривизнасточку-J-ХпWX(хдеформацииz),у,у-jjrj-у0,переходит=повычисляемымиХ0—х0,—после(х,=упругоститочкакоординатамиXТеорияIX.zвформулам:,мZДляточек+Zo=W3балкиоси(у0z0=?%Отсюдаясно,чтое.изогнутаяполучаем0,=изогнутойм_2EJX_—119.1/RкривизнуF.8)'изогнутой1119).(рис.параболудеформации.послеидовидимеет2собойБалкабалкиосипредставляетРис.Рассмотримм?зуравнениеось0)==Ут.F.7)аЛ/.i/ozoZo—балкиосиdQF.9)_~~R—снапример,визнарадиусмала,9кривизны,осьютоMRdsaх,md?y/dx2,—'dsRгдеz0)=касательнойугол—элементдугиF.8)поэтому1М~7ГEJ*ккривой.Есликривой,кри-даетF.10)Задача§ 6.ДеформацияВозьмемплоскихсеченийпоперечныхххперейдетх0=обвповерхность355балкиплоскоенекотороеПосдеXq_=изгибебалкисечениедеформациихПЛОскостьXq-j-Wj^=илиF.7)попо-вверхностьI.МуХF.11)IЭтоуравнениеопределяетпоперечноеПокажемостаетсятеперь,деформациичтопоперечныециикбалки,деформадефор-доосих,врезультатепереходятперпендикулярныечения,изогнутойсекбалки.тангенсДействинаклонауглаF.11)плоскостиплоскиевосительно,припло-сеченияперпендикулярныемацииосикравенхугловойизогнутойкоэффициентБалкидвутавровогопрямоугольногопоперечногочений.F.8)балкиосисе-равенMdyт.120.Рис.иEJаплоскоедеформации.послеплоскимизгибачистогоскиеСледовательно,плоскость.сечениехо,е.P tgtgЖесткостьбалкиизгибнаМмоментащегоИзF.10)мопропорциональнаEJ,торогосделана=—балкибалка,Ечерези/черезEJ,величинепропорциональназависитпря-изгибаю-величинежесткостьюочевидно,балкикривизначтовидно,обратноиназываетсякотораябалкиaЖесткостьнаизгиб.отматериала,формыотко-изеепоперечногосечения.Рассмотрим,причемнапример,Поперечноепрямоугольниквид,тавровой),инерциибудетжелезнодорожныеречныеS,изображенныйимеети/,анарис.тужеследовательно,а120ибалки,Поэтомурельсы),сечениепоперечноеплощадьбалкаS.работающиеОчевидно,имеетдвучтодвутавровойнаимеютсобойвторойназываетсяEJжесткостьобычнопредставляетнихиз(такаяматериала,одинаковогоизоднойплощадибольше.балкидвесечениеизгибдвутавровыемоментбалки(например,попе-сечения,12*356§Гл.7.балки.КручениеРассмотримствующийВразличныхневчастности,валыстержняп.обзадачуопределениидеформаций.Рассмотримвабсолютноенойzзадачмассовыхбудемне(ввлияниеотдельно).РассмотримG.1)Системамиозадачелиндрическогоргтакили,cosкакдрической(п,х)ось-{-выбранаzриcosр12cospVicosСтальныедиаметрстержняможнонаписатьдвух(**»cosнарп=вУ)(n,(cos(п,(и,х) +х)+(n,x)-j-р21cosрюcosразcosсовременныхметров.Бельтра-+z)(п,(п,(и,121.коордиповерхусловиеz)=0образующей0),=у)==сверхмощныхцилин-видеву)у)(и>cosPa=системурис.боковой0.Этовидепараллельно2валыкруглыеоколоначтоностиРгсовместностидекартовуПримем,поверхности*)имеютци-по-добавитьуравненияпоказанокакТп—нейМичелла.нат,стержня.куравненияиВыберемвТеслиили—икоординаткрученииG.1)условииприГуказакондеформацийОбозначенияуравне-0.=замкнутой,лучитсяосейэтихможноравновесия«121.учи-необходимостипринияРис.силлинейностисилуупругоститеорииучестьрав-перемен-влияниеитемпературытыватьфакторовотносительноепричемвала,цималыхтеориирамкахилиновесиевыборнапрясостояниякручениипримакмак-закручиванияугол0,0,|I0.Jиикакойженно-деформированноголиндрическогох)какововал,каковт.Поставимзадачигидротурбининтересует,данныйнапряжений,ипо-множествопароходныхобычномоментедей-плоскостивработаетвоспринятьзначениележитсамолетных,можетзаданномстержнямомент,когдакручениямашин,моментПостановкаусловиях(автомобильных,Инженеровдвигателей.симальноебалки,сечениивсевозможныхсимальныйтомвконцевомцилиндрическогослучае,крученииовозникаетсечения.приупругостистержнейзадачуКручениедругих)ТеорияцилиндрическихвперечногочастейIX.G.2)гидротурбин§ 7.ПустьначтоБ2изаданыповерхностныеповерхностныеприводятсясилыкспаре357стержнейцилиндрическихБ2торцахсчитать,22КручениенаБудем2Хсилы.изкаждоммоментом,торцовпараллельнымосииaz,именно:\pndz=0,§dsрп0,=SiEiЕслимыПредположенияpii7иaпроцессеосиЕслиТ\-у+/0,=е22.=осиТакимасоответству-0,=е12подчиняется=afi[x+/.Гуна,законуформулыр23G.5)0,=a,представляетабалки.длиныа/ / \-te-^Jaz,переуголрас-z0=образом,деформаций,е33перемещеперпендиуголнаzкоординат,единицуИмеемстержняполучаютсяр13найтинадопропорционалентензора0,материалнапряженийG.4)y),плоскостиу).началаот==(x,этойчтосеченияG.4).Ехзafсечения,-\~af(x,z0компоненты=видепроисходятоколонаae3iвкоторуюбалкевтак—сеченияеп=функция,поперечногоперемещениямющие„полуобратныйплоскиезакручиванияуголбыло7^Сен-Вена-назаДвоспользуемся.w3wz—еслиzэтогостояниюу)чтокаждогоповоротаazx,первоначальноz, поворачиваютсяискривляются,поверхностивВычислим/ (x,w2,тотого,кромесобойпарезадачи.понять,кходятw2=задачилетприменилздесьмыwx,аG.4),кулярныеонкоторым—azy,решениявидастаэтомперемещения=постоянная,Нетруднои,силквышеоколоПрином.искать—ниярешениераспределенииприводятсясилыУжеметод,WlвудовлетворяэтопоставленнойДаноформулыБудемгде—какому-нибудь22,иСен-ВенанадругомэтиРешениепере-оli=моментом.же„мещениях;М—напряженно-деформированноелюбомтолькоеслиМ/с,=Ёхпринципупопристержневторцам,=торцамописыватьсостояниеизрп)XсоответствующеетоприближеннотемMпоG.3),условиямпое(гнапряженийбудетдля^решение,получимраспределениюющемус(rxpn)da=-щ)•djтодля358IX.Гл.Постановка?T?Z*ВносядлязадачиФУ**4™ТеорияКРУнапряженийG.1)G.3),величинаИзу)хis.квидуравновесияG.2)условия{—«И-(вдваавтоматически,-^-Граничныеи|f)+Уграничные/ (х,у)иа.уравненийтрехудовлетворяютсярав-G.2)функцияудовлетворятьзакручиванияуглауравненияусловияграничныеуравненияикомпонентдлявполучимдолжныкоторымG.6)выражениятензорановесияусловия,упругостиосиG7)боковой(п.наприводится^=0+наcosпроекцияхтретьеаповерхностих) -Ь(х«И-+дают¦^~)cos(n,у)на2.у)0=илиЗаметим,G.8)чтонеycos(n,=-~ниz.сС.гдеsdyэлемента,ycos(n,дуга—обходаконтуравнутриС,dsx)чdscos(s,x)dy=dscos(s,y)задача—стержнярешения=дляизвестно.координат,Извнутреннейds—dscosнаправлениезаключеннаяy),(n,cos(n,,.Jчастьвкактаквидно,Нейманауравнениечтоу)/ (х,функцииПраваяG.9)1x).определениязадачиj^дпds=Oудовлетворяется.=dx,проекцийимеемНеймана.функцияизвестнаяdsобласть,чтослева,==d=ds¦длятак,балки,переписатьdx,У-тт+х-т-ds=внутрисечениемdyчнайтиу)можноположительноеобходезадача/ (х,G.8)еслиdxвнутренняяусловиечтобытого,Действительно,С,приСформулированнаяестьу)С.контураконтураустановленоостается,xcos(n,—G.8)граничноепоперечнымУсловиеобразом;=вдляфункциюсовпадающейконтуромdf_всегданиопределитьобласти,дпверхностигулярностиG.7),Поэтомууравнениевдостаточноограниченнымследующимxcos(n,—переменнаявходитрешение,плоскойG.9)x)условиеусловиипо-ре-§ 1.Отметим,иКручеййефункциячтоодинакованыхматериалов,Функциюно/Удовлетворение/ определяетсяОбратимсяНаторцахнаодноимеющихграничнымусловиямсделанныхdsтожесечение.поперечноекрпG.3))наусловиямр3=можно0,=изотроп-разныхкручения.имеемловияPsiитеперь2агеометрическиизфункциейназываютчасточистостержней,всехдля359стержнейцилиндрическихзаписатьdapsiторцах.+p^=Ус-PszJвидев0,=G-И)Покажем,чтоявляетсярешениемпервыествительно,издваJdap31=J^Сau,=rдIdfдх\дхГ\J \IyjАналогичноdeаyj—\ух)(n,cosвекторы-f„-\-(^jLxрезультатеdfду~'\-])\d3IJхxj-fp32di\про-=y)](n,cos0.=,dsG.6)торцахчастнойнарешениипостроенномотвычисляемыенапряженийрпнаформулампоодинаковычастности,ви,zЕ2торцах2ХиG.6),Б2сеченияхв0.=Формулынапряженийвнешнихвнапряжения,кактовкручении.озависят![\х2-дучтоцилиндране-тг-•x)распределениеопределяютзакручиваемогод.-1--Iпоказывается,ТакG.8)Дей-=l-J-x——сзадачиfеслиНеймана.задачиG.7),G.6),—^х (~-a\iвыполняются,вышеполучаемa|i=условийэтихоснованиипреобразованийМ.=поставленнойнастыхdsур31)—итолькоотличаютсязнаками.ПоэтомуСвязьесличтоясно,Третьемеждучиванияитом.ЖесткостьприкрученииЭтовающеезакру-угломоф,можносоотношениеуголзакручиванияG.11)G.6)согласновидмомен-крутящимудов-удовлетворены.такжеравенствизимеет2]наБ2наусловияграничныеусловияграничныетолетворены,С\fГ#Iя:-f-dfч-~\у—какрассматриватьасвеличинойI df[~y\\dsI=связы-уравнение,крутящегоM.21?560Гл.ТеорияIX.упругостиМ:моментаМУголзакручиванияпропорционаленпропорционаленмодулюG.12),образом,менателеТакимКручение/ (х,функциидлястержняу).некоторыхэтойниесеченияzсовпадаетссываетсянимаетя2видевкруглогоуг-\~R2,=аСконтуразапи-G.9)условиепри-вид0.=РешениемвнутреннейG.13)G.13)Нейманазадачисграничнымусловиемявляется/ (х,Смещениеw3точека/Если,=стержня.неподвижной,Тогдасчитаетсянулю.круглогоОтсюда,всечениеw2частности,видно,поперечныесеченияотвw3прислучаеэтом=Bis=круглыхКаждоетвердыйкакразныесечениекогдаG.14)плоскими.осиуглы,z=0диск,пропор-закреплено.деформацийтензороввиде0.кручениинаz,в=остаютсякомпонентынуляточекзаписаныazx,поворачиваютсякоординатеОтличныерав-положитьнужнобытьчтостержняперемещенияотносительносеченияразличныециональные=¦всехдляточкасмогутazy,—одинаковопостояннуюопределяющиеповорачиваетсянослучаекакая-нибудькручении,=const.=этомобычно,топлоскиевzкакприс=формулы,валавалову)осивдольu>iпряженийсечения.уравнениеграничноедпнойна-стерЕсликрученииопоперечноготореше-Дадим,задачицилиндра,осьюобластейизвестно.решениекрученииНейманаозадачипростыхпример,жняосьзадачирешениюзадачизна-вкручении.рассматриваемойкобратноистоящуюприсводитсяДлякруглогошшеречногоВеличину,|х.жесткостьюрешениестержняцилиндрическогоМмоментусдвиганазываютG.12)И..XIL_иравны—уж,-f-у,рп=Pis=Рза=Ргз=~py\G.15)на-§ 7.ПрикрученииКручениеВидно,касательныеп№е^™Ятечен™Д°Мчтоналогонапряжения,напряжениягранице|имеемстержнятельно,Y p\s=стержнейногосечения.чтообщемвОсьнейNточкечинущdfу\нидостигатьобластинайдетсяNбольшее,чемУчетиР23дляввсегдатакаяточкаутверждениеСвязьиугласдлядоказано.11 |лг,которой|Длякрутящегокруглогозакруткивалаоснованиинапряженийкоторойв|/v, будет\р13усилитвнутренней^>|n,внутриjv-большеВысказанноебудет|^|л-.вышекрученииприпоперечногополучимокрест-неравенство,NнайдетсяэтомоментаG.12)функцияточки111ВN.точкеэтаитолькоtVII )гл.сечениянамоментомкрутящимдлявзначениелюбоймаксимальныхкасательныхN,определенияокрестностиNx,/V1;точкаточкеФункция§ 12значениячастности,встержняпоперечногоМкруглогосеченияи,следовательно,гмa==a\i—rj—В.велих.ось(см.можетминимальногои,у)\тольконаневнутренвеличина(^цх=собойинивхнаправле-Nточкенапряжениямаксимального,всегданостииметьсэтой[т [равнагармоническойопределенияосейсовпадалавкасательногосвоегонаправлениипроизвольнойвпредставляетдхявляетсянапря-GЛ7)онабудетпроекциир13(-J-—местокасательного»))'сечения.Тогдаточкахзаметим,имеютлюбомтак,чтобынапряжениядругихпоперечвсегоперемещенийнапряженияпоперечногокасательногокруглого)преждедля?касательноговекторараспрецилиндриче-толькопривыбратьможновсегдахсвойствовиде«"¦/=ниемЭтонетольковУ2-~Ькрученииэтогосечениипоперечномвкруг-Следова-G.16)результирующегопредставляетсяуYx*И1*=при(авеличинавекторасечениистержня.доказательстваеслимодулядля[xai?=границеслучае,G.4),женияр\%+выполняетсяДлясечениикасательныенапряженияпроизвольногоформулыивнешнейнанапряженийскихпричемпоперечномкасательныеTmaxполучаютсяпоперечномтольковf-смаксимальныеделениялюбомвдействуютстержнямаксимальны361стержнейцилиндрическихG.18)362IX.Гл.образом,Такимчинеуголкасательноговели-пропорционаленпропорционаленВеличинаобратноипоперечногонапряжениярадиусастепениногоупругостипрямозакруткиМмоментакрутящеготойТеориясечения.четвермаксималь-заданномприМзначенииравнаШтЕслидопустимыхвеличиначенияминимальногоу),овозникающиенапряженияхунаправленыстикаждойв-сДействительно,крешениечтобытак,и,легконаусловияудовлетворяетусловиюочевидно,набытьможетторцахпологоплоско-ввалаграничномувалапологополостиграницыней.чтотак,касатель-валасплошногодлявнутренняяивырезанасплошноготочкеравновесия,уравнениямграницецисечениявалаикасательнойпопологопоперечногосечениипоперечномвтакогонапряженийотсече-поперечногосплошногосвободнакоторогоцилиндриче-крученииграницаграницейссовпадаетполостьрешениелюбогоовнешняясечений.известноекаждоесплошногозадачивала,линдрическогокотороговаларешениеэллипти-поперечныхкрученииоскоготакжедаетныечтозадачи^ниядругихЗаметим,кручениистержнейдлямногихиопределениицилиндрическоготакжерешеныфунк-обзадачаисостоянияприкручениипрямоугольногоЗамечаниезна-определениядляследовательно,анапряженно-деформированногоческого,отсюдатодопустимогоНейманазадачавыше/ (х,стержнястержневМ,момента19)вала.крученияциикрутящеговеличинуопределитьдиаметраПоставленнаяможнонапряженийкасательныхзначениезаданоиизвестнаG-внешнейподобрановалаудовлетво-рялись.Остаетсяпоказать,тольковнутреннейнаграницевыполнено.Легковнутреннейстороневалачтопологоесли=полостьPl3вCOS=Рпу(И,=х) -fвыбранаPnz=0.ибудеттакжевыбораосиzиметьО,COS/>23так,получаемэтомприG.6)силубудемвалаРпхОтсюда,О=пологовидеть,Pnzусловиечторп(П,каку).указановыше,на§ 1.валакруглогопоперечногосконцентрическирасположеннойкруговойдвумяG.15)всечения*т-г0,=ностигт.P23JЖесткостьУ1будет,очевидно,ограничен-кольца,кактакпокасательнойВ.глюбойкокруж-R.пологотакэтомвкакRрадиусаслучаевнешнеговалаG.12),поxj),-f.<Jconstyi(—№у,по—крученииприрадиусавнутреннегоивид=.направлено~Ьсечениепоперечноеимеет+Pis*tпригодноимеем=е.Уж2=случаядлястержней,xипопе-круглогоrrокружностями,концентрическимислучаеэтомстержнядляреше-вышеприведенноезадачиречногокручениякоторыхполостьюногообразом,ние363стержнейцилиндрическихТакимКручениесеченияКручение/=0,равнаRЙ1Оследовательно,и,G.12)5будетсвязанокрутящимспонапряжениекасательноемаксимальноеG.16)имоментомМвал,работающийформулой2MRбезИногдаможнозначительнойпростойРассмотримведемдиаметрасплошной2R,площадьЕслирадиусплощадинениеR2.и25%составитсплошномG.20)полостивалавалауменьшитсянаравенR/2,валах,этосогласноравнаRi/R'l-ORi/i?LчтовЯсно,тоRxслучаечтовесвалаR/2—такойеслиможноприближеннопотерейзначительношестиравняетсяпрочностиуменьшить.вмаксимальноговеличиневалу,сплошномnR^.измеваланапряженийквтонасплошногоплощадиототнесеннаянапряжениябудетсплошногокасательныхмаксимальныхкасательногоисечениявнутреннейкрутя-одинаковыхзаменырезультатепоперечногоРазностьломВпривнешнегоодинаковоговалыдействиемподнаэтогоподтверждениерасчет.полыйинаходящиесякхВвалом.конкретныйМ.полыйяполыммоментовщихсплошнойеслизаменитькручение,конструкциюпрочностипотериоблегчить,сильноможнопроцентам.пожертвовать,G.19)по-364Гл.ИзложимнияСен-Венанарешениячастныхокрученииокручении1|з (х,df_Граничноенаусловиех)(|^[cos(п,(п,=Отсюдачтообразом,снейВозьмемфункцииi\)zэтойТогда,х=Можночастьу):переи/заимеликомплексногодействительнуюзамкнутуюи"фмнимуюсоответственно.а/).=Напряженияпоступить(z)изафункциюconstтокривую,сеченияw(z)/ (х,=точек—1|з,т.аможновнаправлениипри-у)стержняопределятсянаоборот,еестержня;перемещениеопределитz(w3w/ мысопряженнойкрученияопределения~\} у—|-поперечногоконтурэтомi|5 (x,G.21)Дирихле.w(z)=Reelосивыпол-должноconst.принятьможнокакую-либовыражаетприfфункциюкоторойImagw(z)за/основа-уравнениееслинятьСфункциидляфункциинафункциидлязадачаiy,G.8)=-у2)+получилась-\~связаны(Ц- xjу) —] [i|>^4дляаналитическуюменногочасти(х*~мнимую.у)крученияИзty.контураНеймана,задачу,,/ (х,-определениядлявнутреннююфункциидляусловие=^Функциибудутдхточкахвсехграничноеi|>Таким(п,cosвоу)(п,cos-мож-гармониче-уполучимх)-^-следует,следующеенятьсяу)-у)дт|>_СРиманаейу).функциидлягармо-/ (х,известно,dfдуконтуре—1,1|з (х,как'дупереформулироватьКошиусловийcosу),д^_дх=функциюРиманареше-вместо*,„—чтокручениясопряженнуюискатьиОзаметим,функцииСКУК>Кошиспособстержней.этогоноусловияминииСен-ВенаномническойцилиндрическихможноynpytocfitцилиндрическихДлязадачстержнейТеорияпредложенныйтеперьзадачМетодtX.е.формулеподействительнуюпринять—за/.G.6).§ 1.КручениеКручениеВстержняп^чногГсечениячастности,wАAzl==A{x±iyf2Аху,=ф=(х>А-у*),-уравнениебудетсобойпредставлять=сэллипсауравнениеСаЪ—т==г,Выражаяпоследнихиз=получим,Услипс=ачерезЬ,иаКакнапряжениику)?(*цилиндрическогопредставляетуказывалосьуравненияхнууравнениюкручениисводится+стерж-собойэл-Ъ.и„.¦*кручениикоторогоосечениеполуосямитретьеЪзадачирешениепоперечноеня,АфункциячтодаетA—соотношенийдвухполуосямиС,Yа2)+2iA-положитьтоприА(х*-=постоянная/функцияаналитическуюпеременногокомплексногодействительная—365взятьеслифункциюгдеиcfepjKHefiцилиндрическихвыше,прикрученииrrдвапроекциивравновесияудовлетворяютсяосинаавтоматически,дрп'дхНаоснованииdyр13некоторойf (x,переду)ир13dxp23—а\ъ&введен(постоянныйу)тензораf(x,ивыкладокпоследующихфункциейсвы-дифференкоэффициентполныйкомпонентысвязаныр23удобствадляСледовательно,(х,чтовывод,сделатьсобойпредставляетфункциирассуждений).нийможноуравненияэтогоражениециалдуу)напряжеравен-следующимиствами:JUqiФункциявидно,чтовf (x,общемОС^^у)Up^—^*5t^^—¦функциейназываетсяслучаеj^4функцию'§ (х,ОС IXI'ifc™"#можноtОче-напряжений.у)Iвсегдавве-&?лI366изеслисти,Еслиний,Однакото§(х,у)венноравенствамисвязь/,G.6)иG.22))а|эфункциидляG.22).иДлясвязаныс(х,равновесия,Мичелла.Мичеллау).непосредстустановимзадачфунк-кручениинапряженияочтофункциямиэтимикак—у), пользуясьПредварительновспомним,этого—§решениядля§.§• (х,такуравненийБельтрамиБельтрамиуравнениявведеннымииудовлетворяются.кромедляz.напряже-функцией,уравнениямG.6)междуциямиавтоматическислучаеотфункциюпроизвольнойуравнениеуравнениеотличнызависятнер23черезнапряжений,вполучимир13бытьможетненапряженийтензорар23,причемпредставленыравновесиярассматриваемомпревращаютсяМыупругостикомпоненттензораудовлетворятьдолжныТеорияир13напряженияуравнениякомпонентыВвсехтольконуляотIX.Гл.(см.соотно-следующимишениями:w[-y+-?)=р23Отсюда[of.i=~-)-4-хчтоясно,*p[-y+¦?¦}=в{х«.а=случае*?-*==~оси,—лстержнейцилиндрическихкручения23)——имеем_?!+?.<F=1fФункцияjFженийоEгармонической,являетсяГраничноеусловиефункциядитивнойпостоянной,Такимобразом,цилиндрическогоудовлетворяющегодлячто^выполнениеG.6),ВизG.24)случаеG.25)вetiкрученияичерезG.26)задачаСэтомсе-ПуассонауравненияG.26).условиюграничномуБельтрамис—законапомощьюМичеллаWi.стержнянепосредственнокруглогосеченияпоперечноговытекает,G.25)формуГукапользовалисьмывыводеполученыG.25),уравнениявыводекру-опоперечногоуравненийкоторыепредставленийнапряженийвышебылипопе-G.26)односвязногоконтуреприведенномкактакад-доС.нафункциирешениявобеспечивается,лами0наЗаметим,функцииТакС.что=отысканиюкнаточностьюодносвязногостержнястержнясводитсяченияслучаепомощьюconst=спринять,можнос§даетэтомвГченииG.25)определяетсятосеченияречногопривообщенапря-Пуассона-2.=G.21)fфункцияпоэтомууравнениюудовлетворятьдолжнаAfкакG.24)чтофункцияи§ 7.напряженийКручениеимеетУстановимвидсвязьтеперьфункциеймеждуG.12)Измоментом.тящим367стержнейцилиндрическихG.23)инапряженийиA[^fc)zОтсюда,так'=яц—\ fудух)'дуОстроградского—(и,[хcos'дхГауссаформулыпомощьюМ-G-28'}какдхс-fy)]ds(и,cosуполучаем^f2х|х+сДляG.26)односвязногобудемслучаеющихнаоднозначностиусловиязамкнутомучастности,контурува/С,сечение,покакприследствиямиИмен-координат.С*,будемДлязадачи/крученияравенконутровG.23)напримернулю.постановкуфункциибытьдолженограничива-являютсяфункциивнутреннихдляпоперечноевw$=постоян-<? равнойкоторыесмещениядифференциалаэтихсеченияпоперечногоразличныекривых,кривых,положитьусловия,отинтегралсксилуG.28)изрешенияввестиможнооднойможноединственногополученияно,С,контуреэтомвdi.приниматьзамкнутыхНасечение.внешнемнанулю.полюбомуПоэтому,ограничивающихиметьс,.илисразличныхпоперечноеfмногосвязногоJF" будетзначения^2а[х=стержнянапряженийныесеченияпоперечногоиметьМфункцияиз.s2стержняВкру-имеемG.10)поI -^-cos(п,х)+-^-(п,cos=у)—фds=[хcos(n,x) -f-г/cos(n,у)]ds.368Гл.Отсюда,IX.Теорияформулойвоспользовавшисьского,SkгдеОстроград-—G.29),аналогиявремястержниинтересныетокручениеНекоторыепользуясьпроведениякоторыхпоставленныемногихфункциибраныпостояннымсраспределеннойуравнениеМембранойПустьрастяжению.h защемленаформуконтураисследуется,поперечногопричемрогоТ.действуетПрисостояниенапряженноевплощадке,нормальноезадачи,$F, встречаютсяфизики.ипрогибоввозникающихподповерхностинагрузки.растягивающеемем-действиеммембраны.имеющеенотонкойвидпостояннойсечениястержня,защемлениянатолщинекповерхностинапряжениемембранумембранывоздействийвнешнихвездеимеющемукото-кручениепобудеточеньС,контуруобластиВы-сопротивляющеесямембранадругихмембраныперпендикулярнойзадачеймеждуопределенияпостоянноеотсутствииможновозможность/, о|эплоскомупоодинаковоеповсюдунатяжениекаждойизгибу,однороднаятолщиныстержнейтело,упругоемалойдействуетпрогибасопротивляющеесянесечения.математическиетакойназываетсяпленки,ееподляпростейшихработающиеаналогиюзадачейнатяжением,равномерноведемвычислитьпоперечногочтослу-которыйG.29).условиякручениианалогиями,установитьиэтомвлегкоматематическойразделахможноопределения—fфункцийfрадиусаG.25)const),числатем,сопределениядругихнапряжений(Aсложногооначалевнешнегоиспользуютсяданныесвязаначастности,функциейiтехникевесьмадляВввпомощью*УСхконтурцентромнебольшогодлякак—Сцполярныхзасrс/•",различнымиполучить,воInрешенияMтольковтрубыПуассонаAвидаФункцииJобластей,RуравненияискомогодлявпримеммыR1<^член-которуюявляетсясодержатьгеслирадиусарешениед§1дпаконтуруквидецилиндрическойчтоисключаетсяG.27),вследовательно,и,Си,стержня.записатькрученияможетчаесеченияусловиюнекоторогоокружностькоординат,вслучаеR.Заметим,G.29)контуранормалинапряженийможноудовлетворяет2Sk,-внутрифункциячтокоординатахи=внешнейнаправлениюпоперечногоЯсно,наdsпоплоскостив"§-заключеннаяплощадь,—производнаяМембраннаяГауссаполучим",упругостинаодинаковым,мембраны,Т.Если§ 7.принятьКручениесреднююкартовойнапряженийкоординат,примембранымембраныплоскостьсистемыzвнешнихможнотеперьраспределеннойперечнойzh/2=мембраныwшер12грузкиизменениемw,порядкаЕдиничныебраныточностьюронахмембранынаправленыющиекосинусыравны(n,cosx)-^-+=знакиверхниегдеdw+я$z)условиясп,Piz)=ъ=Pl2C0S+p23cosPiscos(»*,X)(n,(n,+z)a;) +Т=Раздеформированной—де-кнормалинапряжениймембранывектораповерхностирп,смалостипорядкапервогонордают\(П,у) +dwр3»=Рзз=р23—-^-piScos¦книжние-рCOSршнаправля-+=у)Т-^=ихdwm\сто-разныхh/2.—j-placos(n,a;)=будутG.30)ачленовдор33=P1,внешнейточностьюимем-наy)(it,компонентдляэлементенаиповерхностинормалиzТ=на-р23а=—h/2,=поверхностидействующихмальюzр22=приложенияпорядкаcosсоответствуютмембраныформированнойГраничныемалым.рг1первогопротивоположно,cos(n,поверхностисчитатьучитывать.квнешнеймалыхдопрогибДаль-чтовелико,стольпо-поверхностьр13,следуетнормали—h/2=когдарезультатеКомпонентыихвекторысz),компонентвдействиемподzможнонапряженийпренебречь.можноqмалыми=0))zу,чтомембраныповерхностинагрузки.Тотнатяжение(w=ws(x,поверхностивидеосисвободнатензора0(параллельнойчтопримем,0=0еепоqПредположим,мембраныОтакойравновесиенагрузкиОде-ого=0РассмотримтензоранавГравномернохОунагрузокзаписать1Ы1плоскостькомпонентзаматрицутоотсутствии^rh!2=369стержнейцилиндрических0=G.31)(n,у) +3приz=0приz=—cos-g-.-у370Гл.НапишемIX.уравненияТеорияравновесияпервыхPi3уравненийдвухиdwjdx,dwjdyзависятнеРчяотhинаПроинтегрировавг)компонентыможноTd?Pia=написатьT^=уравнениеG.32)равновесия—ft/2отнапряженияпроизводныхмалостьюсG.31)третьеполучимп.dzсвязиоснованиимембранытолщинедрзз.¦следует,чтоВz.Pr,подр2здц'ozИмеемнапряжениях.вдриИзупругости-\-hl2доосивдольсG.32)учетомzG.31),и-Л/2Следовательно,уравнениеЛ~дх*Изусловия—мембраныwцилиндрическогогибаконтурепостоянногоПрикактакэтом,h.СовпадениеборомпроизведенияpS3распределенаусловиязадачипро-<75)§определенииG.33)крученииоформыфиксируетсяThзадачепрогибаG.26)для•постоянной,уравненийиqТАобзадачаразмернойвG.33)когданатяжения,=следуетнапряженийиграничныерешениекопределениюсводится2содержитмеренияСичтовидим,стержнямембраны{LOO)G.34)функциинатяженияС,вид•контурестержняпостоянногонаимеетwС.надляцилиндрическогомембраныиG.34)на0=G.25)уравнениякрученииоThd,fзакрепленияСравнивмембраныпрогибадляиилиG.25)G.26)G.25),неиз-единицаобеспечитьможновыборомвы-измеренияединицыдлины.х)Очевидно,величинаиеесоотношенияпоотзависимостьG.32)рассматриваемойрамкахвчтохи'G.33)иуопределяетсяустановленытолщинемембранычерезбедприближеннойпофункциюиспользованиялинейномуq(x,у),законатеориизакону,причемГука,§ 1.МыльнаяЕслиоднойкниеинеиз§г.напряженийОпределяяизЛинии,назадачевкоторыхкпленки,сеченийэксперимен-получимf.((dw/ds)=0),одинаковлиниям,плоскостяхвнаправленыстержня,каждойвлежащиенапряжения,будетфункциюнасоответствуютполныепоперечныхналагаютсянапряжениймембраныпрогибкоторыхкрученииоточкепрогибыфункциидавле-прогибтограницы,которыеопытазначенияпостоянноемалоеееточекусловиям,натяжением.постояннымсприложитьсмещенийудовлетворятьтальныемембранусторонеедопускатьнатя-поверхностногоналичиюсобойпредставляет371стержнейцилиндрическихблагодаряпленка,жения,касательнойпоним.В0Кручениесамомделе,^!?._i?l_dsG.22)по??_^!L—dsjdynнормаль—мембраныВместекdxЭхdsж)-fp13cos(n,((dw!ds)линииплоскостивд9Глинийтакихдляимеем—ds=гдеG.10)и0)=y)(n,р2зcosx-n,=прогибапостоянногоху.темс91следовательно,и,равноголинииобразом,заключенныйплоскостьювитогда,вниманиестержнянасизмерениясвязанытакжеобычносравнимбольшойтем,смембранечтопрогибом,вподдействиеманалогиямембраны,довольнопоэтомуитрудно.вызванныйвозникающимнебольшогопопе-частяхсостояние.мембраннаяпрогиб,крученияскручиваю-случаенекоторыхвточностьюскчтото,прогибахмембраныпрогибомпластическоевмалыхприсивеличинудаети.,толькокогдапереходиттолькоG.28)).нематериалсеченияОбратимливаномоментащегоречного(см.Мна-мембраной2анаполезнастержня,равногополучитьнапряженийаналогиянатяженияпостоянноголинийпрогнувшейсяпоследующем,Такимгуще.можноумноженмоментаувидимгдетам,касательныхмеждубудучиконтура,упругогомембраны,распределениястержня.сечениипоперечномпропор-большепоэтомурасположеныкартинуиconst=«топографическую»картину\wпрогибаОбъем,ложенияwуровняпостроивскручивающегоКак| gradилипостоянногоуровнягляднуюв|§¦напряженийкасательныхвеличина| gradциональнавесомвдавления.результатесправедпровестиТрудностимембраны,при-Гл.372АналогиясвязкоиТеорияIX.упругойтйПомимотечениемжидкостимембраннойизложеннойгиирешениядлязадачстержнейлиндрическихещенойРассмотримустановившеесякоторойКактрубычения§ 20жидкостидавленийwподдействиемздесьjx—трубывижной=Ox1коэффициент-д-j-скоростиемстержня,dpldzдающийпотенциальнымидеальнойскоростьюуравнениеиабсолютноехОуосиvn=-^==(»Xr)nплоскостипоперечно-хунеподвиж-вращениипотенциалаДля=угловойссосудаф(х,у)имеем0контуренаусловиенесжимае-относительноприz.этоговнутриплоскопараллельноевАфграничноеПустьсосудацилиндрическогокоординатювокругЛапласакручениеидеальнаяжидкостидвижение'совпа-сосуд,находитсяРассмотримжидкость.системыдавленийстержнем,соизучается.гсосудапотенциальноесечениясечени-поперечнымперепадаG.y 38)цилиндрическийформепокоторогожидкостимаятрубе,длиннойс-2.=dzВозьмемтечениембесконечнопостоянногоинесжимаемойикогда1^сифунк-определениистержнядвиженияодинаководействиемподG.26)условияобустановившегосявкоторойсовпадают,прилипанияцилиндрическогожидкостисечениепоперечноенепод-стенкахG.37)ламинарногонесжимаемойНаграничныезадачикручениипритечениявязкойиоечv0.=математическиенапряженийции,пG.36);условиеG.36)ичтовидим,скорости:'жидкости.С)G.25)Сравниваяdp-fdz-—[iимеемы;G.37),I=Стокса—определенияay'вязкости(контуреНавьеd2w-f '-д-j-те-заданногоуравненийдлявдольzпостоянногоизdhu.осьнаправитьустановившегосяскоростьуравнениеследующеепоперечноестержня.сечениемеслитовязкойтечениепоперечнымчерезтрубеdpldz,вAwнойитрубе,VII ),гл.обозначитьиперепадаполучаетсяссовпадает(см.известноосиламинарноецилиндрическойвжидкостисечениеговязкойуказатьидеаль-жидкости.несжимаемойАналогия[ци-можнотечениямисаналогиигидродинамическиеанало-кручениио=~aycos(n,x)4-warcos(и,г/),J§ 1.Кручениесовпадаеткотороекрученияс/,еслиграничнымТакимобразом,ногозадачазадачейсосикругоЗависимостьотположениятрубеПриведем^„смещенийвплоскостикоординатвпоперечногоплоскостиПеремещенияплоскостиИзложеннаялегкопредставитьположенияначаладлянекоторогоКакизвестно,скоростьюювращениюугловойжежениюниисовокругОбозначимвозникающегочерезначалоникающихz2)приUx=Таккак')мерения.Условиямэквивалентновременипервой,тойсдви-оситочеквраще-приzxс—1относительнохzxхОуу'.идви-поступательноговращениипривоз-другой,плоскостивкоординатамиотносительноформуламиопределены[<»Х(-г)\х=-у',UvдвижениямпоступательнымG.38),потенциалмгновенногоосиzl5проходящейz2,О'проходящейскоростей,осисосудаоситочек=ф'черезжидко-движениявокругаскоростиюскоростейвращениивращенияточку(скоростиженияугловойсz2поступательномупотенциалО,первой,некоторуюКомпонентыосифкоординатрезультатепараллельнойчерезосипараллельнойzuмгновенномускоростиравнойО.координатz2.привизвестнымоментипозволяетпроизвольногоперемещениянекоторойосисочерезсти,еслиданныйдругойосиО',вокругкаждыйввокругскоростьюскоростью,поаналогияслучаеначалавращениекоординатсовпадающеговположенияодногобудутстержнястержня,закрепления.гидродинамическаясебеперемещениякоординатвышеначала«закреп-стержняначаласеченияпоперечноготочкойснеz,закручиваемогоположенийразличныхдлястержня,получаютположениесеченияточекразличнымиосинаоничтоэлементычтообразом,Такимформулвидаясно,так,ху.использо-Шперемещенийдляво-х) (—1).^т_аналогии.определяютсярасположенныеусловиюпримеров^изэтойG.4)сеченияводинм„плоскостилено».вращающейсяравнойскоростью,мванияточкив(стержне),абсолют-несжимаемойидеальнойугловойсов-крученияскоростейпотенциалапостояннойперемещенийзакрепленияпоперечногостержняфункцииопределенияцилиндрическойсzG.39)движениявфункциидля-1.=определенияплоскопараллельногожидкостиG.8)условиемположитьгападаетстержнейцилиндрическихG.39)можновдольудовлетворитьосейвыборомихединицусоиз-Гл.374—у'скоростями1Х.Компонентысмещенийw1=приОчевидно,(уДляординатссмещенийвдольосичтовидно,вплоскими,чениямие.закрепитьвовсехнесжимаемоичамисительноминиеосивокругвсехностиимеетзадачкру-оте-легковидоизмезада-междуиэтогонаоотно-вихревомдвижениесосудадвиже-вращательноею1.=жидкостьазавихренностьсог=1.Врезультатебудетиметьуравнениеплоскопараллельное,воЖидкостьне-неразрыв-видЛИ.4- hдхОтсюдасе-абсолютноманалогиюнеподвижным,течениесжимаемая,такжепоперечнымианалогиюскоростьюпостояннуюточкахпрямым1).стержнейДляугловойсzстанетсосудэтогобытьналожитьдостаточнососудевновойсеченияиможножидкости.движениижидкостиось,другуюzполучитьинеполо-точеккромеосьюжидкостинитьчастицыстержнепотенциальномцилиндрическихкручениико-другоепоперечныеиначалоивыбратьвышечении0=у'х).междученииомо-равнымиперестаетжидкостифи—случаеуголеслив{х'уасмещенийидеальнойтечениемаф'.=крутящийиточках,нуляэтомвихревымсw3z,круга,Еслиz.ИзложеннуюАналогияэтомприz2сечения,z=нопослех)—следовательно,т.отw.jОтсюда(хаосиотличнымистанутостаютсяосивокругпоперечногоцентромкоординат,вдольz,=акруглогосмещенияосиш2z,совпадаетначалатоу'х.изменятся.неиспытываютжениеу')—стержняОх'уравенством—кручениинапряжения,чтоэтомприсвязаныф+х'у,=формуламиа—ф2иф=определятьсяментиф'ф'должныпотенциалы—у'х—потенциалыочевидно,упругостисоответствуютхиф1то,Теориячтоследует,v-О-—дуфункциюввестиможноi|)токатакую,чтоu=|*fнеJ)Очевидно,осиzчтоносительнооси,перечногосечениясмещенияупругиетолькоотличаютсяне1;'дуна-^.=цараллельнойосиотносительнооси,поворотz,чизменениипрималыйG.40)дхвположенияслучаепараллельнойвкакстержнястержняплоскоститвердогокруглогостержотпо-хОу.§ 7.ЖидкостьвКручениетак,движетсякаждойточке,чтовекторпоэтому375a>zkфункции<лвихрядляследующееполучаетсястержнейцилиндрическихпостоянен=определенияг|)токауравнение:дхYдуилиЛфсовпадаеткотороенийГраничноетрубыvnусловиеиметь/ucoS(n,функциидлянепроницаемостибудет=G.41)G.25)уравнениемf.нойт.с-2,-чх) +напряже-стенкахнанеподвиж-вид,Эфy)^^+/vcos(nчdi/d\bdx^,d\bJе.фconst==фЭтоТакимфункциииар13раллельногопостояннойр23сфункциюнесжимаемойзавихренностьюш,1=сжидкостисосуде-цилиндрическомв§,плоскопа-относительногоидеальнойдвижениясотождествитьможноскоростиG.26)условиемграничнымфтокакомпонентамисG.42)С.на,f.напряженийобразом,0=совпадаетусловиеграничноедляСнасеченияодносвязногослучаевилистержне.Моментколичества/17'и^р=будетосиdsXv)zт.Качественныеналсамирешенияслучайнастержнейдаюткачественныхнийдляоприх) Существуетразличныхсо2исебепоаипозволяютза-соответствующихцилиндрическихнаоборотг).сделатьрядраспределенииГидродинамичеприближенныхнапряже~касательныхкручении.множествозадачфизикидругихипримеровмеханики.1.=анало-кручениявозможностьвыводова<х(А,равнаматематическиелюбопытныдачаналогиирприведенныеG.28'),моментакрутящегоперенестиосноверавен=жидкостигиигидродинамическиханалогийскиеиу)с1з—единичнойжидкостибудетэтомзначениемВсевыводысделанные(ихплотностьчтостержней,крученииприz^р=сосовпадатьпринять,еслио(гслоядвиженияотносительнотолщиныподобногородааналогиц376IX.Гл.Например,теориинесжимаемойизтеченийидеальнойкилинийизломаобтеканииплоскопараллельныхг)жидкостиявляютсявообщеприточками,теченияугловточ-угловыхвбесконечноговоря,точ-чтоизвестно,критическимиобластьввозникают,упругостипотенциальныхтокавходящихкахТеориябольшиескорости,ММ'б)а-)122.Рис.конечно(рис.Пусть122,а)полостиравнынулю,аблюдатьсявческойРассмотриманалогии.несжимаемойноесечение(см.рис.жидкости!)Очевидно,с).См.,Л.например,изд.2)Этисвойстваидлявихревцх.скорости1950верныяВСеИ.икактех,вообте-будутВнатекающегоDбудутна-воз-которыегидродинами-циркуляционноецилиндрическомвидвытянутоготечениеМ,точкахN,М',N'скоростили-сторонгусто,Плоскиепопереч-длинныхт.наибольшими.в,идеаль-сосуде,прямоугольникасерединдииспользованиябудут1966Сиотсутствии.еенаиболееАточекПриАбольшевблизиахарактернымточкахточекчтонулю,расположеныокрестностяхаэродинамики,имееткоторого122,будуттокавжидкостиравныниитакодинещеной—окрестностинапряженияприпримерполостиместеПриведемсстержня.вкасательныеникаютDинулю.цилиндрическойсечениянекоторыхбольшее.скоростиОтсюдазадачислеигидродинамикигг.дляСкручениенасравнениюповыточ-типаравныкруглойслед—малССледовательно,делатьточкахугловыхработающегосечениирис.бес-Следовательно,напряжениявточкахВок-нацелесообразностержняскоростивВ.типауг-ввозникаютнапряжения.прикручениивпоперечномимеетсяотверстиедиаметркоторогопоперечногоразмеромтакойпотока.изображеннойстержнявобразом,моментекасательныепрочностиканииугловТакимвыточки,крутящемпрофиля,стержняполости,линейнымвАточкизакругленногокитечения2).нулюмаломзренияточкиобластиизравнылюбомбольшиеприаналогий.гидродинамическихвыходящихугловой122,а,в)применениюскороститочкахрестностисКобтеканииприаловыхN'Впотенциальныхдвиженийжидкости,§ S.чтодует,ныеприМетодыТакимбудутобразом,весьмакасатель-В.ианалогийгидродинамическихпомощьюсделатьможноособенностяхмаксимальныеАточкахвспростостержнятакогокручениинапряжения377МатериаловСопротивленийзаключенияважныеонапряженийкасательныхраспределениянекоторыхприкручении.§ 8.вМетодыЗадачиупругостиэто,насвоприближенныеботкаинженернойпредметСопротивлениеОбщаяхарактеристика«сопротивленияметодовкакразра-материалов».находитсявупругости,теорииктеоретическойкгидравликамгисозданиеотношениижетакомрешениеуспехомспрактикерасчета,«сопротивленияматериаловметодысоставляеткоторыхтеоретическоеслучаяхВлинейны.деформациямималымимногихзатруднительно.задачприменяютсяматериалов»балоктеорииНесмотряэтихматериаловсопротивленияизгибеобзадачахгидро-*1.,гМетодымеханике.риаловкоторыеполученныхшенийоснованыгидравликиивсвоювтеориизадачметодыэтируемТакиенанаиболее—Мосты,рассматриватьмиибалок.бал-конструкций.многихнебоскребыт.можночастотакжед.система-различныминагруженныесистемыизгиб»,шшеречноикоторыеиВ § 6изгибе»силойбалки,действующиеподробноизученабалки,изводитсякаж-вВбалки.этомпоперечномМи(—Ж),балки,про-противопо-идействующимидействующиенапряжения,случаесечениикоторыйравнымидвумя«чистомозадачаизгибе,е.т.моментаминаправленнымиторцахкаждомизгибвызываютмоменты,балки.изгибложносил,силысечениипоперечном«Чистыйвэлементсуммарныеподсчитаемдомнаизгибепрактике;сил.Рассмотримиобзадачре-Проиллюстри-инженернойвраспространенныйкорабли,какбалки,плотины,точныхизвестныхизученииигидромеханики.решенияприсведений,использованиинаупругостипримеревстречаютсячастозадачикаилиопытахпредположениях,некоторыхнаоснованыочередьмате-сопротивлениякприводятсяспаремо-М.ментомБолеедействующимипроизводится1).силамиJ)типовось,нуюпространенныепоперечныхДальшедлябалок,плоскостьбалкисеченийдействующимикруглого,обладаютбудемвпрямоугольного,такойпродоль-черезНаиболеедвутавровогосимметрией.простейшихизгибпроходящуюсимметрии.плоскостиосикрассматриватьсимметрии,изгиббалкикогдаперпендикулярнопростотыимеющихсилами,случай,являетсяраспространеннымрасидругих378IX.Гл.Пусть,Теориябалка,имеетсянапример,упругостиодинкоторойконецbжестко,.у123.Рис.Консоль.124.Рис.Кивекторавычислениюдействующихзаделан,ИзгибающийиПодсчитаеммоменткоторойбалкубалки,ответствующейбытьнулю.получить,легкодействующих(—Р(Iнагрузок).отрпр-п,——дятся(боковаяПользуясьх))—РММоментперерезывающейзадачеобизгибесечениипоперечномРсилеизгибающемуиотличнойоткасательныеВобщемнулянапряженияслучаеполнаясистемасечениибытьисил,—действующихдействующихвтакжеисечении.несколькосил,вразныхв—любомэтом,оказываетсянопоперечномРперерезывающейх) Р.Приизгиба,ри,величинавможет(I=сво-силанапряженийчистоготолькосвободнанапряженийа^Ь^рассматриваемойвсистемаМсил,моментааобразом,Рсилдол-х).—моментом,моментуслучаюнеусловиюв(Iвсехбалки,векторапоР=со-главногоаэквивалентнабалкиточкахразныхглавногосвойствомнапряженияМчастьравновесии,часть(—Р),статическипротивоположностьвэтунаоперацииввеличинаТакимсилойконсолидействиемсуммаизгибающимсилой.левуючастьбалкичтоназываетсяотбросимтакойизвестныммоментуибалки,направлениеразрежемнаходившаясяповерхностьзаключаем,силекх,Следовательно,равнанекотором«rтакоймысленноиначтоa2b2сечениивtосьюэтогодействующихравныОтсюдаглавныйивао124)условиюравновесии.моментов,всехсуммажныТогдаповназывает-вектороставшуюсяВрезультатенасил.балки,остатьсяДлярис.действиесистемычастьбалкас123.рис.(см.еезаменивдолжнавсовпадающейнаТакаясечениисечениюэтомуправаяипоперечномуказанопоаЬ.действующихсил,нормалью,сплощадкесил,сеченииглавныймоментсилаперерезывающаягР.сила123).(рис.моментавдействуетвторомнааконсольюсяглавногоглавноголюбомприложенныхплоскостях.поперечномр12,т.е.§ 8.будетсечении,Вграфеэтомслучай,(которуюназо-ху)перерезывающейиизгибающему(рис.125).силеличиныбалкумо-Еслисилизвестны,тоющего1)аЪсечениибалки),суммеэтогоаЪ,очевид-действующихнапряжений,т.х,сил,внешнихвсехизгиба-исилысечениинормальюсиз-моментов,балку.некоторомсилвсехвекторплощадке(наравенотвправило.Главныйисилперерезывающейподсчетадействующихмомента,Система125.Рпс.гибающаядляследующеенове-действующихРг и моментоввсехMiпри-икментунаbоднойвплоскостьюводятсяпере-крутящемукогдадействуютплоскостисиле,имоментутоль-такойкосилырастягивающейкпара-рассмотрим379материаловизгибающемусиле,моменту.вемсопротивлениясводитьсярезывающейвМетодые.начастьлевуюприложенныхсправасечения.2)СуммарныйпараллельнойдействующихвмоментоввсехаЪсечениинабалки,частьлевуюоси,ab,сеченииданномвсуммеравенсправаприложенныхпар,всехиотносительнорасположеннойиzсилнапряженийсилмоментосиэтогоотсечения.ЧастоПогоннаянагрузкабалки,например,балки,давлениерассматриватьраспределеннуюприходитсянепрерывноКу^давлениеветраполезноq(x),следующимA.FНепрерывноделеннаясеченииромраспренагрузка.сВР,силакоординатойх,действую-сила,балкислучаеэтомАх126).(рис.перерезывающаядействующаядаетсяочевидно,на-вводитсяAFполная—слу-этомобразом;элементнащаяВ«погоннойкоторое,.гдед.понятие~~х126.т.игрузки»Рпс.приближенном(прирассмотрении)чаевдольсамойвесплотины,мостнапоездаилистенкунаводынагруз-внекото-формулой(8.1)гдеI—координатаправогоконцабалки.380Гл.ЕслибалкунаинтенсивностиqнатойIX.действует(x),тоТеорияупругоститолькораспределеннаяизгибающийнагрузкамоментсечениивскоорди-равенхе.т.(8.2)ЭпюрыМетодыперерезывающихаЮЩИХмоментовсопротивленияпораспределениеиизогнутойРаспределениеизгибающемубалки.напряженийсжимающихПоэтомуперерезывающейизгибающегоВ^~Эпюрамоментау.IIIШИП!"ВА'ДавЛ11II111II1I 111\р4тмттттг^.\РВАрпвеличинызнатьважносилыГ Аопределить—ЭпюрасилсилемоментуиосиВнешнихи моментовбалкивдольперерезывающей—растягивающихформусуммарнымизвестнымхарактеристикамидаютматериаловвозможностьВА'А\'АавШТГТТТгт-г^.1ВАВАНепрерывнораспределенная(нагруэнаq= constПримеры127.Рис.)эпюрперерезывающихсилимоментов.РипределенияоткладываетсяМвсечениикаждомэтихвеличинкоординатабалки.вдольсечения,Графическиебалки,изгибающихизображениякогдаапопоосиосиординатабсцисс—расвв-8.§личинаРрамиперерезывающихтакихСледуетбалку,наМ,силграфиковнеобходимопоихматериаловрешениярассмотримсопротивлениивычисляютсяматериаловизвестныизогнутойперерезывающаяпредположения;продольногоудлинение1.кая,каждыйчтоизгибается,2.неноПлоскиебалкив(смСуществуетко-чистомпринейтральнаята-осьэтойнатолькооси,укорачивается.перпендикулярныекнедеформированномначальномМ.6)_неисечения,§лежащийудлиняетсясечениимоментточнобалки,элементрпкаждомввоп-ипредположения,выполняютсяшгибемыкакпокажем,изгибающийследующиеторыеволокнаиДальшеупругости.прежденапряженияеслиРсилаСделаемОсновныебалки,осисо-задачурешитьНозадач.случаяхмногихвополностьютакихСилызакреплена.итеорииилиформаределяетсябалканеобходимоопределенияпротивленияреакций,силмоментыикоторымнеизвестны,заранеедействующихмоментов,исилысечениях,реакциймоменты127.силвключатьПримерымоментов.рис.наэпю-соответственноизгибающихчисловчто381материаловназываютсяиприведеныотметить,вдлясопротивлениявеличинаиливозникающиеиМетодынейтральнойосипослесостоянии,щвдхУдоВалкадеформацииЗлемент^изогнутойбалкиИзогнутаябалка'*)К128.Рис.вычислениюприизгибаплоскимиостаютсянейтральнойВвоначальноудлиненияизгибеипродольныхбалки.перпендикулярнымиволоконкизогнутойоси.действительностипри(доприложенияналичиинагрузок)перерезывающейплоскиесилыперпендикуляр-пер-Гл.382ныебалкиосикТеориясечениябалоккихнебрегатьПредположенияВбалки.сечениибалки|во12иосисамомРассмотримженныймеждуОбозначимRчерез128,нейтральнойрисункаментб,осие"Формулыиизгибающегодля^==напряженийИзбалки.волокнаболеевдоAs.-+-sосиэлементиэле-масштабе,крупном-1=-7ГПоэтому,моментаГуказаконрастяжения,про-дляраспределениядлярХ1формулуPii?su=балкурастягивающая'(8.3)<*«>).используястогополучимЕслиизогнутойкривизнырассматриваемыйизображеныимеющийидлину—чтоувидеть,легкорадиусгде128).располо-аф2иизги-(рис.волокна,a1b1деформациипослеаs,балкиосьюпродольногоплоскостямидвумядлинунанейтральнойсзаконпоперечномприрасстоянииудлинениерасположенногоэтогопре-вывестилюбомвподсчитаемделе,элементдеформацииможносечений.возможностьволокна,совпадающейж,даютпретолстыхдляприложенияхмногихтон-иможнодаженапряженийпродольногоотчтоплоскихнормальныхраспределенияур1±искривлениядлинныхсеченийпоказывает,эффектомдействиемподДляплоскиханализвычисленииприбеискривлениемТочныйбалокбалкидеформацииискривленными.этимнебречь.упругостипослеоказываютсянагрузок|IX.-if.=сила(8.4)отсутствует,\тоdzрц=О,s2гдет.нейтральнаяе.поперечныхЗнаяосьдолжнапроходитьвычислитьсz.помощьютяжестицентрывобозначенчерезJЕслиизгибающий(8.4)(8.5)момент(8.5)М:sмоментисече-рассматриваемоммоментaЗдесьчерездействующиеизгибающийнапряжения,\^^оси(8.4),поили,сечений.можнонии,балки,сечениепоперечное—можноинерциикаждомнайтисеченияотносительносеченииввеличинутоизвестен,рписоставить§ 8.МетодысопротивленияизогнутойуравнениеДифференциальноеЕслиирищегомомента.силызависятбалкипрогибОднакоМнеконцыукрепленынекоторойвпомощьюшарнирно-неподвижнойнирно-подвижнойопорнаДВУХкеА)(вОбе129).(рис.точекзакрепления.катки,чтобалкиименнотакимпренебречьземлю,каетгоризонтальнойизилежащуюJ(вкоторых^точ-другаяВ)шарнирно-подвижнаясвободновточкевращатьсяВгт*а-Iвокругпоставлена\рна^;образом.трениемкат-можноска-Вточкевне129'Рис-возни-Балканадвух0П0Рах-состав-Изреакции.силыинагруженнуюустраи-точточторасРсилойоднаопораНе-Еслися,изогну-шарнирно-неподвижная,гори-вваютсязать,опорах,балкенаправлении.ляющейСточкеизгиба.конкретныхбалку,концумостовопримерыrпохо-видуПоэтомупараболу.х.собойтого,позволяетопорыковотточкеКромельномредкозависитпозволяютопорыперемещатьсязонтапочистогослучая.шар-икаса-будем.получилисьРассмотримчетов.существеннывычислениядляпредставляеттеперьДадим^балки,менеене(8.7)саматеперьслучаесечении,поперечномрассматривать(8.6),формулыизгибаю-перерезывающейбываютСпособыздесьформулыобщемвосиотлишьвизгибемывеличинаосьявновеличинынапряжепия.чтоизогнутойнапряженияприправило,соответствующиенатаязависятотнапряженийОтметим,жимитогдауравнениебалкипрогибНепосредственнонормальныечемми,тельныхd2y/dx\на1/Rдиф-величинутомал,заменитькасательныекакQ(»-°)видевзапишетсякоторые,которойм_-R--EJ--,можноВеличинас1уМ—ференциальноебалкиИзгиб_изогнутоЙосГбалкибалки:осиAn--383материаловвАточкеполучает-сразуравновесиявертикальна.условияреакциисилаКрометого,имеемRtПоследнеемоментаточкиА.Я2=Р,аР=всехдействующихна(8.8)Шх.собойпредставляетравенствонулю+балкуравенстваусловиесилотносительно384Гл.изгибающегоДляМ(I(Iх)(а(8.9)хпоказанный¦с.В(8.6)Рис.130.изгибеприлойизгибающихЭпюраментовImaxоднойприложеннойР,си-С.точкевбалки,какВИДНОкогданаходитсягрузОтметим,(п0 формуламРитериале,изпосрединемычто(8.9),(8.8),отположения(8.7),<^примерстатическибалки.Пользуясьосима-статики.=-I1(х--^г(х-If„(8.12)е.этихоусловий=B1(x-l)-P(x-~a),RiEJyВе.т.(8.11)хтегрирования.2а,=aEJyт.ЕсливдольIе.прие-т-«'получим:легкоEJт.собойизогнутойуравнениетеперьотнапряжениязадачи.соотношениемлп\сведениямиизтолькопредставляетзадачаопределимойНайдемхбалка,/озависит,перемещаетсяприиопределилипользуясьне•груза.Рсилы(8.6)),сделанакоторогоРассматриваемаяпривсенашлиh| jT¦'"maxиз-(8-10)-изнаибольшейбалки.будет==моментагрузЖтахвеличинатоI_максимальногогибающегомо-балки2hполучаем.Величинаaсжима-итолщинойпомощьюPll„(8.10).балкисимметричной-.„„Р,растягивающиеДля.,„получаетсягрузом-,—максимальныерп.наAfmaxподп)—а.вид,момент(Iимеемха,приимеетRi—будутнапряженияЛ—х)—непосредственно=сечении>хприизгибающийрасположенномэтомх)Р+координатойссечении—моментовМтахВЯх—Наибольшийющиеупругостив——Дх=сечении,в=изгибающих130.рис.ТеориямоментаМЭпюраIX.формулахчерезДляс1?ихопределения{хс2,If—с3,+с4с3хобозначеныиспользуем-fс4.константыусловиеин-отсут-§смещенийствияточке,всопротивленияАточкахв(8.11)иТаким(8.12),одинаковы@)№у'условий0)(а +любомв^2EJ9випрогибподблизкоВбалки.некбалки,то=х*определения>-1/2.близкочислоЕслирасположенгрузтеперь1/2.0И.Седов,том2^мак-местапрогиба,=i-увернойпри_т_.Дажеприточнопосрединеа_maxдляочевидно,(8.12),получаемРРЛ.Тогда,формулойУ131/2.<апользоватьсякопределению^._-—'2^3\У\тахспмального(dy/dx)x^x*=условияк?¦еслихЭто131.РисПустьнадо131).(рис.аИзгрузом.середи-посрединех*_^—---___не-деле,самомнаходитсягруз^?невсегдах*,координата\Р{.оказыва-посредственноОно\-Ушахгдемаксимален,величиныВ,=сечение,чторасположенныметсях|величинаИ=опорупропорционаленпредставляютА иинженера'алкипрогибаобратнобалки(\у\(8.13)).величинубалкидляосиповорота>аС-6изгиб.максималенЫтах),Интересно,прогибТ~—Раопределяютинтерес9аугловгде0).-—6ПрогибнаНаибольшийпро-Сц'lр„з(8.13)жесткости—у» (а=^*>—*6сечении.еепервыечто——одинаковыео,д,(8.11)фор-из0,==Сз,—с-2Формулыимеютполучается,С\чтопредположим,того,получающиесяиуэтихкромеимеемУИзВ;смещения,образом,3S5материаловигруз,находитсягдемулизводные.Методы8.—48В/->-0балки,тох*=1/2иИзгиб^балки,которойIX.Гл.386одиндругойнирно-подвижнойас—помощьютеперьбалкишар-сходитсявводитьточкавры4-ЭтихR.J.,условий/?3i?2?9?инеизвестныхне-статическисоделоусловиедополнительноезаключаетсявотсутствияусловииря, 2Q_iимеемНеобходимоеi?1,определения(8.14)0.=определениядлямызадачей.для—mСледовательно,определимойопо-даютнедостаточноЗК.иреакцийустройствомР,=при-реак-моментисоставляющихстатикисиланисечениинообеспечиваетсяпо-прежнемуУравненияВ.точкевзакреп-жесткоэтомреакции^,силулевыйизвестныневгоризонтальныхВиА)АсечениипоэтомутолькоОтсутствиеАточкахвприложения,не9R.цииееопорычтодопустим,(сечениеТогдален.ниименно,абалкиконецравновесиилевой«132)>(Рис-озадачуустройствомдругимлоп\/опорыреакции,упругостиРассмотримконецжестко,закрепленТеория\*'^'ЖРис.132.нецкоторойадругойИзгиббалки,—спомощьюимеет0ДВеличинаматериалаДляС.$ftR2,(^)дилиу(х)0.=зависитсвойствотматериала,отнезависимоопределитьнельзяизгибающихМ='—М=Rx—R%{1моментов(I——висключаетзакреплениебалки.величинбалки,приложеннойвид0-балкипрогибаRltпоэтому(жесткоеАточкевусловиемоменоситочкебалкиЭтоповорот).изогнутойсилой,опоры.осиповоротаизгибаемойизгибающихЭпюраформаитовшарнирно-подвижной133.Рис.ко-одинжестко,закрепленимеемх)x)при-f-P(а—х)прихх^>а,<а.исвойствI 8.МетодыСледовательно,Условиеформулами0д(сили=НетрудноизгибающихотрехиУсмотримбалкиточкекогдавстатики(8.15)УсловияленияДифференциальныеоси^=EJ^L1Х -\-==балкеоаR,(l-R1(l~x)х) ++(рис.опорахза-—сила134),Урав-Р.двауравненияформыопределениядляслучае(h +РP(l1опреде-дляR3.рассматриваемом-трехдействуетуравнения-типичнойзадачинасобойR2,Rt,вбал-осипримеродинчтотак,даютпредставляютбалкиизогнутойбалкунаслучаеэтомнеизвестныхтрехнутойEJхвформааполуча-неопределимойзачунениягрузещестатическимомент,напряжениярасположен'когда133.рис.наравновесииопорахизгибающиймоментовприведеныинормальныегисечениизаделанномЭпюрананаибольшийнаибольшиеиR2определяютсячтопроверить,впо-прежнемувид(8.14)следовательно,Задачаимеетбалкиоси(8.13).—(8.13))условийизкиОиспользованиемДалееютсяизогнутой(8.11)уравнениеопределяется337материаловсопротивления+a-а]-имеютх),х)h<x<h-R2изог-вид+(I,-х),a,хI<(8.16)Приинтегрированииконстант.дополнительныхтантиоднойнеизвестной(8.16)уравненийДляреакции,шестьпоявляютсяэтихопределениянапримершестиR%,консимеем13*388Гл.следующиеIX.Теорияусловий:семьj/@)0,=)величиныРнс.134.ивеличинаАналогичносил,приводящих§ 9.Вариационныенабытьнепринципа,основноговариаци-каждоммыэторавновесныхнему,киспользованиител,вариприн-находящихсяРассмотримрав-впритокапроходя-уравнениедействительногопроцесса,покоя:(9.1)=любогодляОднакорас-мывариационныйвсегопреждеупругихдЛЯсостояниеужеблизкийтакженаВведемциптеле.аиБубнова.выполняетсяуравнениеупругомточногоиспользованииЗдесьфункционалов.непосредственноdFнеразсистемынаРитца,методданноеравновесииметодыоснованныеметоднекоторогодлячерезкакназываютсяновесии.теплащегооупругостинекоторыхуравненияразличныхвпроизвольнойтеориивзадач,называемыйоснованныйационногоно,изогнутойопорах.задачадействиемметодамитакихотярешенаметодырешениясвойствэкстремальныхсмотримвтрехизгибу.ВариационнымиЭтостановятсяформанапряженийподопорахпкприближенногосананормальныхможетбалкирезнойонногобалкиРавновесие(8.15)иреакций,всехсечении.поперечномВывод(8.17)условийизвестнымибалки0,=v(i)использованияполностьюосиA^у(iПослеупругостиимеетоновделалипроцессов,§ 2,действительногоболееможнопроходящихобщуюпроцес-Имен-природу.наборрассматриватьвпространстве§ 9.состоянийВариационныечерезметодыданнуюперемещений»процессывыборефакторов,ленномвнешнихленныхсмещений,6i#j,резвозможное&FУ,другихПоэто-(9.1).уравнениеопреде-(т.имдополнительные2дзрдополни-е.связями)че-деформациичерез__i~энергиитемпературыичерезиметь^Вычислимигеометрическимисвободнойбудемтотепласмещениймалыхприращениебиопреде-мысленнодопускаемыхсоответствующиеэтивремяпридополнительных,13ажепритокаввходятбесконечновозможныхтельныхтодействительныминенаборобозначитьеслиму,«возможныхрольВтела.внешнегосил,которые389упругостииграющихупругогобытьмогутвнешнихтеориииточкуданногодля«возможные»ври=(9.2)psdT.-свободнойполнойизменение6вубтелаэнергии\ pFdt,vVгде—объемб\VpFdt§ PS/?=Дальшеправой(р4,=d&w.98w.Имеем^ЬТdt-Vх2,координат;преобразуем\ж3)—пользуясьпервыйизd&w..-\9-f-преобразованиявыполнении(9.3)чтотелоупругоел—пп(9.3)dr.состояниянаходитсяравновесиивнаписать,ni6Wiобозначениепринятонапряженно-деформированногодействительногоусловии,0.bw^(xx,^vvможнор31(р dx)=части1Дляперемещенийфункциисимметриииндивидуальныхдляdx-[PiJ8eaVвариациичтосвойствоминтеграловприI=дифференцируемыеиПриdxVпримем,непрерывныеэтимбравенствоверноVчтоучитывая,тела,данногообъемаэлементов„УV—оPi(покое),390Гл.ТеорияIX.упругостипоэтомуVинтеграле.т.работеравендействующихр%а.пповерхностных&[pFdx^=Vполучилибния(р dr)равновесиясмыслетакка,вформациямиРассмотримвсилобщейрамкахтоучтекаксправедливыГу-законасконечнымиде-состояния.начальногослучай,отдельноимеютсябытьналичииупругостиизэтоммассовыхвнешнихкогданет,ДальшевпараграфеэтомрассмотримтольконяетсяравенствоЭтоусловиеJ)методахВпроцессовbwинаперемещениявозможныеэточастности,Бубнова.проявится(9.6)0.которыхдлятакие,ограничиваетРитца«=перемещенийвозможныхкачестве(9.5)возможныхкачествевизотермические:толькоривать0.=ЬТв(9.4)теорииус-сис-ЕслидолжныприFВониуравнениеперемещениямиВэквивалентноусловиям.деформацийиуравне-(9.4)перемещениях,ивоз-(9.3)напряжений.дляграничнымималыхиопределяюпроизвольностиусловиявыводыи(9.2),преобразованиядифференциальные:).теории(9.4)соотношениемуравнениечтоусловиярамкахdx.дифференциальнымиоснованиипомощьюграничныедополнительноПредыдущие^ psbT—условиями,получитьравновесияграничныеныиVграничнымисговорить,уравненийтемеdxобъема,наbw,можноиможно(F-6w)рпользуясь(9.2)и0,=Fсилгранице.(9.4)изперемещенийловияинаОбратно,\+(9.4),напряженияможныхмассовыхVиндивидуальногоравновесиящимивнешнихСледовательно,dsШ)•уравнениеопределениемуравнениямителонапряжений.(р?ран рSМывнаввыбореапроксимирурассмат-достаточнограницетелавыпол-точектолькоющихфункций9.§Вариационныеповерхностиметодырассматриваемогомещения(9.7)условиенулю1).равныЕслиограниченийникакихИзлибо0,тонеудовлетворяют0,топростонакладыва-перемещениячто=/=либосил,(9.7)условиеусловии,припере-^>"ранперпендикулярныйвнешнихвозможныена(9.4)равенстваперемещенияможные2>?ранжебылигранице=оставляятела,Еслиbwна391упругостипроизвольными.чтобытребует,действующихнаправлениютеорииупругоготочеквнутреннихетвнагранице.нет,массовыхсилусловиям(9.6)воз-а(9,7'),иполучаем§FdrВариационныйприствиемещенияwупругоготела-\-6ги,иподчеркнем,доставляютстигаетвНетрудноГука,квадратичнойравновесииэкстремума.показать,ВFВычислимF(e«+6ги)(e,tj6^6e*'(9.8)(Ei;- +бЕу)дальнейшегоdxдлясилыудовлетворяютизотермическихпревращаетсяввлюбыхтолько+дляперемещенийусловиюdx(ei;)существенновыполнятьсяможетопределеннойсостоянии\+V$р(*.а«олкотороезако-подчиняетсяпроцессовусловиеравнове-F=[pF=Vчастности,до-получаемVx) ДлянеИмеемW^силу\ pFвсехтелаSнаF=втелоэнергии6e,j).-f-TПоэтомучастейпустьделе,самомОтметим(9.7').условий(9.8)свободнойполнойминимумасия.тоиотдельныхположительнодлягцусловиеотconst,¦=энергииперемещениями(9.6)упругоеотсутпере-вдругимисчитатьможноформойТ0=есличтоFвсемиусловиямэнергияспециальныхсвободнаяэтихпричемнуТполнойсовыполненииравновесиидействительныесвободнойсилэкстремумсравнениюпочтоприсмассовыхудовлетворяющимидаже(9.8)Следовательно,принципiv0.=(9.7')=0,бперемещенийравновесия.dx.(*е„.)равенствоJ(pri?H-aw)d3тела9Fкакtoтвердого,общегоболеетаквида,каквнешниев392IX.Гл.ТакFкактоизТеорияупругостиопределеннаяследует,положительно—равенствапоследнегоформа,квадратичнаячтоJ PFт.свободнаяе.других,ТакимзадачисвободнойМетодполнойитца(9.8)принципанепосредственноИщемдующем.бесконечнойобщейформулировсостоитметодперемещенийсле-вконечнойвидевравновесииоиспользованиинаболееЭтотв(9.4).длярешениеоснованили,уравнениядаю-изотермическихзадачрешениятелаупругоговариационного(дляэнергии).Ритцасведенофункций,нахожденииоре-бытьможетфункционалунекоторому—ке,вусловияхтелаупругоговариационнойэкстремумпроцессовчемменьше,определенныхравновесииорешениюетоднекоторыхпризадачищихсостоянииистинномсостояниях.образом,шениеквэнергиявозможных,илисуммыNЮо-г-2tv=w0,wts)мер,w^w0,равновесияполиномы),гдеasсамибытьилиОднаконапряжений.ничныеусловиявыечтобыперемещенийдлянасоответствующиеF,энергиикоординатРассмотримт.as.е.(9.9),iv0,функциейz).томожнодеформаций,тензора<zs,наличииприивеличину(иизвестнойГуказаконапостоянныхтак,asвычислитькото-свободнойоказываетсяфункциейу,bw,издляw^0.=формулойперемещенияполучающиесяЕслифункции«-'(s)функциямикотораях,,компонентылинейнымиквадратичнойтако-есливыбрать««гран=заданыимбудутгра-телаперемещениярыедлячтобытак,удовлетворялись,например,поверхности«'оЕслиусловиямивыбраныбытьдолжныуравнениямудовлетворятьграничнымисониМожно,имеются.себепосвязанными(наприФункциикоординат,константы.поканеизвестные—обязанынефункциизаданныенаперед—(9-9)«.«^изотермического(9.9)симеющиепомощьюпроцессавидварьированияперемещенияконстант(9.10)9.§Вариационныеметоды(9.7)условиямудовлетворяютщенийвыполнятьсядолжновтеорииили(9.7'),или6393упругоститотакихдляпереме-равенствоb\pFdxO==0,vЗвгдесвободнаяполная—етсяэнергияЗвфункциячтоочевидно,второйполиномомстепениПоэтомукоэффициентами.данайтичтотакие,сдругимиЕслидаютбм1ивиеbw,Однако''любуюможновдостаточноеIвообще1инонесвязанрешенияw<-s\1IРешениеоцилиндричес-крученииIкого1стержнякогопоперечногоIэллиптичес-РитцаметодомверныТогда,тензорастержня\гкак(см.перемещенийпреждеиТо,=адля=быкаковадеформацийazy,—w2былании=функциятензораazx,w3напряжений/ (х,(x,a/=у),§ 7),y).всехизотличны/наприложеннымиПримем,Т135)(рис.сечения^кру-эллип-формулы:шг',озадачимоментами,отсутствуют,силымассовыеметодаиспользованияцилиндрическоготорцах.чтофункцийрешениепоперечноготоч-°о—>¦системырассмотримкрутящимивзявлюбыхприNприпримератичеСкогосечения(9.11)(9.9).качествечениито,решение,пределеполнотойсРитцазадачифункций,получитьврядаВiz),у,точному.путемтолькоесли(х,представитьуравненийсходимостьюсоможноктакимполученииосистемы(9.9),е.т.бм.'частности,точностиэтойсистемыразрешениявопросногоблизкоевесьмаговоря,ПослеNвусло-некоторымприближенным.степеньючленовксистема,влюбойкомбинациичислоданномполнаякласса,слинейнойвидеданногопринравновесияслучаеотношению—полу-товариационныйуравненийВга^функцийизгранице),являетсярешениеполученноефункциюприближеннокакполишьсистемаеслипроизвольныминапряжений.для(9.10).виднатакточным,выполняетсяпоэтомуимеютгосравнениюпосовершенносистемеусловиямграничнымэкстремумаbwгдебылиэквивалентенполностьюцип'которыефункции/_пусловиямбыбылорешениеvфункционалунужнымченное(9.11)'определяютсяbw,w-\-вариации(удовлетворяющимиЛ','уравнений,образомэкстремумфункциямибы.