Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет, страница 12

Число наложенных связей может быть любым, однако вариациониая задача на условный экстремум может быть по- бб ставлена только в том случае, если число связей меньше числа неизвестных функций. Подынтегральная функциявспомогательного функционала будет выглядеть так: а=г+ ~л,(с) э„ аж1 где А — число связей, меньшее числа неизвестных функций, входящих в выражения г" и Ф,; Л,(Г) — множитель Лагранжа; Ф,— наложенная голономная или неголономная связь. д Рис. 2Л.

График эксаремали с закрепленным концом До сих пор предполагалось, что на концах интервала интегрирования (Гь 1а) значения искомых функций заданы. Такие задачи называются задачами с закрепленными концами. Если же граничные условия не заданы жестко, то граничные условия называются естественными, а задачи такого рода— задачами со свободными концами. Рассмотрим часто встречающуюся в динамике полета задачу, в которой одно из граничных условий зафиксировано, а другое естественное.

Пусть отыскивается экстремум 'функционала ) Р(а', у, у)с(г, ь причем левый конец искомой кривой закреплен (у,, у1), а на правый конец никаких условий не наложено, кроме очевидного условия, что он находится на прямой г=га (рис. 2.4). Если-кривая у (г) обеспечит экстремум функцно- 3» 67 налу У, то, по-видимому, она останется экстремалью и при зак еплении второго конца.' зтэтого предполонсения можно получить граничное усло. вне иа свободном' конце: — =о. дР (2.33) ау Изложенные выше общие методы разыскания экстремали сводят вопрос к интегрированию уравнения Эйлера — Лагранжа, что не всегда возможно. Поэтомр на практике обычно пользуются приближенными методами решения вариационной задачи (Бубнова — Галеркина, Ритца и т.

д.). Заметим также, что изложенные методы предполагали, что отыскивается всегда минимум функционала. й З.а. ВЫБОР пРОГРАммы дВижения, РАкеты НА АКТИВНОМ УЧАСТКЕ ТРАЕКТОРИИ Выбор приближенной программы движения управляемой ракеты на активном участке траектории является одной нз Рнс.

З.б. К выбору системы координат частных задач баллистического проектирования. Под программой понимается одна из зависимостей: ср(с), 6(т), 6(г) или а(г). В точной постановке задача выбора оптимальной программы по тангажу Р(() очень сложна и не имеет аналитического решения. Однако для целей баллистического проектирования можно ограничиться приближенным решением.

Примем следующие упрощающие предположения: — поле тяготения постоянно; — суточное вращение Земли не учитывается; аэродинамические силы пренебрежимо малы по сравнеййю с тягой двигателей; — расход топлива является известной функцией времени (в частности, расход топлива может быть постоянным). 68 Кроме того, при решении задачи будем считать заданными следующие характеристики ракеты: — коэффициент заполнения ракеты топливом р,; — удельную тягу двигателей на Земле Ргя.э, — коэффициент,'начальной тяговооруженности ракеты на Земле Хо.

движение центра масс ракеты рассматривается в стартовой системе координат Оху (рис. 2.5), при этом система уравнений движения на активном участке траектории имеет вид: У вЂ” соз 9~ -Р Р Уг з1п 9 Кэ~ (2.34) у =У„; х У„; р= г.,И). Известно, что прн постоянном запасе топлива на борту ракеты скорость в конце активного участка У„зависит от программы изменения угла тангажа во время полета рчэ(Г). Следовательно, задача отыскания оптимальной программы по тангажу, обеспечивающей максимально возможную скорость У„', является типично вариационной задачей.

При решении ее прежде всего необходимо выбрать выражение для основного функционала, минимум которого обеспечивает искомая функция. Выберем в качестве основного функционала величину ( — У'„), которая может быть записана в интегральной форме так: ч с„ 1 — У„' — ) 2 (У,У, + У„Р„) Ж = ~ РЖ. (2.35) о Э Итак, сформулируем задачу: найти закон регулирования угла тангажа р, обеспечивающий экстремум скорости полета ракеты в конце активного участка траектории при условии„ что на ракету действуют только тяга двигателей и сила при- .

тяжения Земли, н при заданных значениях н„, Р„ ,, ~,> и О„. С точки зрения математики сформулированная задача относится к классу вариационных задач на' условный экстремум. В качестве дополнительных 'связей, отражающих систе-' б9 ' му сил, действующих на ракету в полете, используем первые два уравнения системы (2.34), приведенные к виду: Ф, = )Ух — — соз чх Р (2.36) Ф,=)У вЂ” — з)п р+ам Р (2.37) Запишем выражение для подыитегральной функции вспомогательного функционала б = х' + Л1 И) Ф1 + Лг (х) Фу (2.38) В развернутом виде подынтегральная функция запишется так: б= — 2 (Ъ'„Ъ'„+ )У )У )+ л,()Ух — — „, сов ~р) + + Л ((у — Р з!п9+ аЪ) . (2.39) Неизвестными функциями являются У„, Уу, ~р, Х1 и Лз, а от- Р ношение — согласно допущению о расходе топлива представляет собой известную функцию времени.

Вычислим производные, необходимые для составления уравнений Эйлера — Лагранжа: дб . дб — = — 21' ' —. = — 2)У + ) — ~ —.~ = — 2)У + Л ' 1дбл х1 др х о дг ~др ~ х х х х дб . дб — = — 2)/; —. = — 2)У + Л . — ( —.~ = — 2У + Л ' П гдбл д1 дй дГ (дй ~ У У У У вЂ” = — (Л1 З1П е — ЛуСОЗ9); —.

= О. дб Р . . дб дт т Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид: л,=О; л,=о; Л, з1п ч — Л, соз ~р О. (2АО) (2.41) (2.42) Решая уравнения (2.40) — (2.42), получим: л,=с,; л,=с;, л, с, 1д р= — - — -1ае,. л„с (2.43) Таким образом, оптимальная программа по тангажу предпо. лагает, что угол наклона оси ракеты к горизонту остается по- стоянным на всем активном участке траектории (рис. 2.6). 70 Величина мо определяется из граничных условий, в качестве которых можно использовать выражении: 1 а сов 6а яоРуа о соз ча 1п 1 (244) ри 1 У„з(п 6„= даРуд, а 61п 9о 1п — 6о1оРуд, аРк (2 46) Рис. З.а. К выбору оптимальной программы по тангажу или УБР При заданных 6„),е, Р,о и ри из уравнений (2 44) н (2 45) можно найти неизвестн™ые велйчнны ме и )гн методом последовательных приближений. Рис.

2.7. К выбору оптимальной программы по тангажу дли ракеты-Носители Рассмотрим теперь оптимальную программу по тангажу на «ктнвном участке траектории ракет-носителей. В общем случае выведения космического аппарата на рабочую орбиту траектория полета ракеты-носителя .состоит из двух участков (рис. 2,7)1 активного участка ОК; — пассивного (баллистического) участка КА. Вычислим производные, необходимые для составления урав- нений Эйлера — Лагранжа: др' , дР Ф г дР 1 дь'» ' др„, ь . '~г ~ дрс,) 'дГ 1'т ~ . дР рт = — — — 1 — = — — + Лз' оу аь ' зр„а> У -Х вЂ” — (Л, З1П <Р— Лз СОВ Р); — =(Л аг ~ . .

ар Зт и дт (2.53) Уравнения Эйлера — Лагранжа имеют вид: л,=О; (2.54) (2.55) (2.55) л' — 1; л, з1п~р — л,созе=О. Решая зти уравнения, получим: л,=с;, л =с — к; л, с — г (ар = — = —. С, (2.57) Обозначим: с, =кто =Се. с ' с, Отметим, что 1 с,= — (й р,. с, (2.58) Окончательно получим тат=тйт,— С,г.

с„ У = — созрлг = л 1 г Р лг (2.59) ,1+ (1К т — СФР Таким образом, при оптимальной программе по тангажу для ракеты-носителя (йр представляет собой линейно-убывающую функцию времени. Константы Сь Сх (и их сочетания: (доз и Сз) определяются из граничных условий. Первым граничным условпем является достижение заданной горизонтальной скорости У„„ в конце активного участка: Для вертикальной составляющей скорости в конце активного участка можно использовать естественное граничное условие или из уравнения (2.53) зр. ~ и„, дру ~~=~„г Ю0 (2 60) Из формулы (2.57) следует, что Лз =Сз — (а, или, учитывая выражение (2.58), получим "° = с ~Кч'0 — г' 1 (2.61) с, Сопоставляя формулы (2.60) и (2.61), находим 'к $'ку Г7Р 1 — = ) 1 — яп ~р — 11 Ш вЂ” 1я р, — Ф„ к, —,) Лам или окончательно к — — Ф (2 62) с0 й~ к"" )Г~+(~кт,— сд Прн заданных величинах („и У„„из формул (2.59) и (2.62) Р можно определить неизвестные (й З~, и Сз.

Отношение — является при сделанных ранее допущениях известной функцией времени. Итак, идеальная программа движения для УБР требует постоянства угла тангажа в пределах активного участка траектории, а идеальная программа движения ракет-носителей представляет собой линейно-убывающую функцию времени. Этн идеальные программы закладываются в основу построения реальных программ движения. Обычно к реальным программам движения УБР и ракет- носителей предъявляют следующие требования: — обеспечение максимально возможной скорости в конце активного участка (при прочих равных условиях); — воэможность осуществления вертикального старта; — ограничение перегрузок (главным образом нормальных или поперечных); — плавное изменение параметров (для нормального функционирования системы управления требуется существование на всем активном участке производных в и в); 74 — отсутствие углов атаки прн околозвуковых скоростях полета.

Перечисленным требованиям, например, удовлетворяет траектория полета иа активном участке, включающая следующие составные части (рис. 2.8): Хбр лга Ранвлгвг- Рис. 2.2. Траектории полета УБР н ракеты. носителя на активном участке вертикальный участок Оа; участок завала аЬ; участок разворота Ьс; участок наведения сй.