Варфоломеев В.И., Копытов М.И., Проектирование и испытания баллистиеских ракет, страница 11

Пусть эта зависимость, как-либо аналитически изображена в форме (2.10) Тогда, выражая подынтегральную функцию через г, найдем по выполнении всех операций вполне определенное числовое значение интеграла Х. Будем теперь менять форму за'- висимости (2.10). Если, например, это была квадратическая зависимость, то сделаем ее кубической и т. д. Тогда очевидно, что и числовой результат, т, е.

значение У, также изменится, Иными словами, каждой новой форме связи у=в(1) соответствует свое определенное числовое значение интеграла У. Таким образом, получаем обобщение понятия функции и аргумента. В обычном понимании функции н аргумента функция зависит от конкретных числовых значений аргумента: каждому определенному значению аргумента соответствует определенное числовое значение функции. Здесь это понятие расширяется.

Каждой форме функции (2.10) соответствует числовое значение интеграла (2.9). Во избежание путаницы понятий этот интеграл назвать функцией опасно, так как он зависит уже не от числового, а от функционального аргумента. В математике для этого случая выбрали новый термин, созвучный старому, — функционал. Теперь можно говорить о различных значениях функционала, соответствующих различным формам .функций у= ~Г(Г).

Например, можно поставить вопрос о разыскании такой формы связи (2.10), которой соответствует экстремальное значение функционала Х. В эхом- н.еоогонт задача варизционного исчисления в простейшем;елучав.;Кривую у =9(1) называют эксгремалью функцйоналй-.(, .Совершенно очевидно, 'что разбираемая задача,, дойусклчй' следующие .ста.. , дни обобщению бΠ— подынтегральная функция может содержать более высокне производные; — число неизвестных функций уь ув, уа может быть увелнчено, соответственно чему экстремаль будет браться в трехмерном, четырехмерном н т.

д. пространствах; ' — число 'независимых аргументов также может быть увелнчено, в связи с чем кратность интеграла соответственно повышается. Условимся, что экстремаль у=в(2) всегда будет проходить через две определенные точкн Г1, у1 н га, уа (рнс. 2.2). Рис. 2.2. График вкстреиааи Сформулируем окончательно задачу. Из всех кривых вида у=р(г), проходящих через две точ. кн гь у~ н 1ь уа, надо выбрать ту, уравнение которой, подставленное в интеграл ,Г- ~~(2, у, у)(г, доставило бы ему экстремальное значение. Предположим, что экстремаль найдена н ее уравнение дано в форме у В(Г). Рассмотрим кривые, проходящие через те же краевые точки н несколько уклоняющиеся от зкстремалн, так называемые кривые сравнения (рнс.

2,3). В данйом случае прнбегаем к нзмененню формы функцнонального аргумента, т. е.' к ее варьнрованню. Отсюда -н происходит термин «варнацнонное нсчнсленне». Такнм образом, варьнрованне есть операция, родственная дифференцированию. 61 Можно даже сказать, что это есть дифференцирование функционала по форме его функционального аргумента. Общее уравнение кривых сравнения можно представить в такой форме я=У+ ии(0. (2.11) где ч(1) — любая непрерывная функция, обладающая свойством ч(11) =0 и ч(Юя) =0; и — параметр, не зависящий от Таким образом, форма функции теперь регулируется одним независимым переменным числом и. Ясно, что и значе- Рис. 2.3.

График кривык сравнения %) =' (2.12) Уравнение (2.121, дающее решение поставленной задачи, после некоторых несложных преобразований с учетом зависимости (2.11) может быть приведено к следующему виду: ние интеграла Х теперь также будет зависеть от и. Другими словами, у как функционал превратился в функцию переменного независимого аргумента а. Теперь в силу этого, используя соответствующее правило дифференциального исчисления о разыскании экстремума, можно написать условие того, что у=и(1) является действительно экстремалью, т. е, сообщает интегралу Х крайнее значение Функция Р включает в себя функцию а, следовательно, по.

лученное уравнение может трактоваться как дифференциальное уравнение экстремали, проходящей через точки 1ь у~ и 1в ув Уравнение (2,13) было известно еще Леонарду Эйлеру и независимо от него получено Лагранжем, поэтому и имеет наименование уравнения Эйлера — Лагранжа. Поступая аналогично, нетрудно обобщить формулу (2.13) и на другие случаи функционала у. Подынтегральное выражение содержит производные высоких порядков до у'"~ включительно: ,У = ) г=(~ у, у, у," у'"') М.

и Уравнение Эйлера в дайном случае запишется так Функционал имеет вид У=ЦР(х, у, г, р, д)Фхыу, с где г з(х, у); дя Р= — ' дя ' дг ду Таким образом, речь идет об экстремуме двойного интеграла, распространенного на некоторую поверхность, ограниченную контуром С.

Экстремалью будет поверхность, проходящая через тот же контур. К каждой из частных производных применимы приведенные выше рассуждения, и поэтому уравнение Эйлера принимает вид До сих пор предполагалось, что на функцию, дающую экстремум функционалу, не наложены никакие дополнительные условия. Экстремум в этом случае называется безусловным. Совершенно аналогично в вариационном исчислении ставятся задачи об экстремуме некоторого функционала прн условии, что искомая функция должна удовлетворять некоторым дополнительным соотношениям. 63 Пусть, например, ' требуется найти экстремум функционала г ь у = ) гт(г, у, у) «гг (2 15) при условии, что другой функционал по величине постоянен 1, = 1 ЧГ (г, У, У) 4и = С., (2.16) В функционалах (2.15) и (2.16) должны быть заданы функции Р и Ч', а также граничные условия: г=гь У=У(С,); (2.1У) Г=~э у=у И.) (2.16) Задачи такого типа называются изопериметрическими.

Это название происходит от одной частной задачи, в которой среди всех линий заданной длины требуется найти такую, которая ограннчнвала бы наибольшую площадь. Решение изопериметрической задачи сводится к составлению уравнения Эйлера для вспомогательного функционала У = ) 0 (Ф, У, У) йт, ' (2.19) ь где О=гт+ ЛЧг; (2.20) 1 — некоторая подлежащая определению постоянная. Составив для функции О уравнение Эйлера и решив его, получим две произвольные постоянные С~ и Сь Эти постоян- ные и величина Х определяются из двух граничных условий и из изопериметрического условия (2.16). В общем случае функционала, содержащего а функцийуь ув рз ° ° .

уя: ) г (г Уь Уь Уэ Ув" У Ул)'(~ (221) с, и при наличии любого числа й изопериметрических связей вспомогательный функционал записывается в виде с, У = ) ОсИ = ~ (Р+ Х,Ч', + Х~Чз +:.. + Х„%„) Ф, (2.22) ь ь а число уравнений Эйлера равно а. В этом случае имеется (2п+й) постоянных, которые определяются из 2п граничных условий и Ф изопериметрическнх условий. Сделаем одно 'замечание по поводу выражения (2.20). Со- вершенно очевидно, что решение задачи не изменится, если 64 вместо принятого выражения записать функцию О в симметричной форме а- ЛсГ+ Лзр, (2,23) где ),с и )сз — постоянные. Поскольку в это выражение 'функции Р и Ч' входят симметрично, то вместо задачи определения экстремума функционала (2.15) при условии (2.16) можно решать задачу определения экстремума функционала (2.16) при условии, что функционал (2.15)' равен постоянной величине.

В этом состоит так называемый принцип взаимности в его.простейшей форме., Несколько'сложнее формулируется задача на условный экстремум. В этом случае требуется найти вид функций х(1) н у(1), дающих экстремум функционалу с, У= ~Р(Ф, х, х, у, у)М с, (2,24) н удовлетворяющих условию Ф(с', х, у) О (225) при граничных условиях: х(Г,) = хй у(г,) =у;, х(гс) =хс; у(гс) =уе (2.26) Решив уравнение (2.25) относительно у, получим у=е(г, х).- (2.27) После подстановки выражения (2.27) в систему (2.26) ин- теграл будет зависеть только от функции х(1), т.

е. с, .7= ) с=(~, х,'х, р, т)й', (2.28) где дт ссх т (2.29) нли после вычисления соответствующих производных и под- становки их в выражение (2.29) примет следующий вид: 65 сссля функционала (2.28) условие экстремума [уравне-' ние (2.!Э)] запишется так: После дифференцирования уравнения (2,25) по х.имеем Исключая иа двух последних уравнений 5~-, получим д 5.э Правая и левая части равенства (2.30) могут рассматриваться как одна и та же функция независимого переменного, по.

лучившая наименование множителя Лагранжа. Обозначим эту функцию Х(Г). Тогда необходимым условием экстремума функционала (2.24) с учетом условия (2.25) будут выражения: Эти же условия можно записать иначе. Введем обозначение а-г+ л (г) ф. Тем самым вместо основного функционала (2.24) введен вспомогательный функционал ь У= ) аа- ~(г+ ) р) Ф) к я ь Тогда условия экстремума функционала совпадут по форме с условием (2.13); (2.31) (2.32) Связи, не содержащие производных от искомых функций, называются голономными связями. Такова, например, связь (2.25). Условия экстремума функционала (2.31) и (2.32) оказываются справедливыми и для неголономных связей вида Ф(г,л,л,у,у) =О.