Неровный В.М. - Теория сварочных процессов, страница 99

!3.4. Такая сетка конечных элементов называется регулярной. Е!ри произвольном расположении узлов на плоскости или в пространстве построение ячеек, границы которых равноудалены от ближайших узлов, также возможно, хотя ячейки имеют более сложную форму. Нерегулярная сетка на рис.

13.7 состоит из элементов, полностью аналогичных показанному на рнс. 13.6, а. Возможность применения нерегулярной сетки является основным преимуществом МКЭ по сравнению с более простым мвиоДам сетон. Конечные элементы обеспечивают моделирование деталей произвольной формы со сложным очертанием границы, а сгущение сетки !измельчение элементов) используется в отдельных местах, где требуется повьпценная точность расчета. о 6 Рис.

13.6. Плоский (а) и пространственный !6) конечные элементы Рнс. 13.7. Разбиение на ячейки и элементы участка пластины с произвольным расположением узлов 710 7!1 ! 3.2.3, Граничные условии Чтобы рассчитать токи и потенциалы по модели, представленной на рис. 13А и ! 3.5, необходимы граничные условия, т. е. параметры недостающего Внешнего участка электрической цепи, присоединенного к модели в узлах А и 8. В рассматриваемой модели проводника внешние границы элементов ничем не отличаются от внутренних: через каждую нз ннх проходит электрический ток согласно закону Ома, Однако в зависимости от устройства Внешнего участка цепи, различают трм рода граничных условий. 1.

Задан электрический потенциал на границе. Это соответствуег наличию во внешней цепи стабилизированного источнмка питания, в котором поддерживается постоянное напряжение, не зависящее от сопротивления модели. В этом случае потенциал во всех точках границы заранее известен, а плотность тока через иее зависит от разностн этого потенциала и потенциала ближайшего внутреннего узла согласно (13.1). 2. Задан ток, протекакпцнй через границу, или его плотность. Это со~~ве~с~ву~~ наличию во Внешней цепи другого источника питания, поддерживающего заданный ток независимо от сопротивления модели.

В этом случае граннца является узлом, потенциал которого зависит от потенциала ближайшего внутреннего узла и определяется В ходе решения задачи. Частным случаем такого граничного условия является нулевая плотность тока (адиабатмческая граница для тепловых задач). Для задач электропроводности это соответствует границе проводника с изолятором.

На рис. 13.4 такие условия действуют на всех внешних границах модели, кроме границ, присоединенных к точкам А и В. 3. В наиболее общем случае плотность тока на границе связана с ее потенциалом некоторым уравнением. Это соответствует, например, обычному источнику питания с внутренним сопротивлением. Создаваемое им напряжение снижается по мере увеличения тока. Очевидно, что первые два рода граничных условий являются частными случаями третьего.

13.2.4, Нелинейные задачи Рассмотренные уравнения протекания тока в проводнике являются линейными (ток между узлами прямо пропорционален разности потенциалов между ними). В этом случае правила Кмрхгофа, по которым можно найти потенциалы узлов, приводят к системе линейных уравнений. Нелинейность уравнений может возникнуть в следующих двух случаях: 712 — уравнения моделируемых физических явлений включают более сложные математические выражения; — коэффициенты уравнений не являются константами, а зависят от решения уравнений (например, если удельное сопротивление проВодника заВисит От плотности тока), Методы решения системы нелинейных уравнений гораздо сложнее, чем линейных, и требуют большего объема вычислений.

Как правило, систему нелинейных уравнений решают итерационным способом (методом последовательных приближений) и» основе их линеарнзацми. 132.5. Стацменарные н иестацненарные задачи Поскольку скорость движения зарядов в проводнике велика, переходные процессы прн изменении граничных условий протекают практически мГнОВснно и ВО мнОГих случаях их мОжнО ИГИО- рировать, рассматривая только установившееся распределение потенциалов и токов. Тогда результат решения ие зависит от начального распределения зарядов и потенциалов, а зависит только от граничных условий. Такие задачи называют стационарными. Их решение сводится к дифференциальному уравнению Лапласа эллнптическоготипа.

Протекание тока в проводнике входит в группу физических процессов под общим названием лроцсссм энергомассолереноса. В эту группу входят также процессы теплопроводиостн„диффузии, гидродинамики и др. Общим для них является то, что поток некоторой субстанции (ток, теплота„примесь) под действием разности значений некоторой величины (потенциала, температуры, концен'трации) распространяется через среду, оказываю1цую сопротивление этому потоку. Уравнения теплопроводностн и диффузии аналогичны уравнениям электропроводностн (вместо закона Ома В мх основе лежат аналогичные законы Фурье и Фика).

Однако скорости протекания этих процессов значительно ниже. Вследствие этого при моделировании сварочных процессов не всегда можно ограничиться расчетом установившегося поля температур или распределения примесей, во многих случаях требуется определять распределение параметров во время переходного процесса. При этом решение зависит не только от граничных условий, но также от начального состояния и времени. Соответствующее уравнение Отличается от уравнения Лапласа (13.2) добавлением частной производной исследуемой величины по времени и называется уравнением парабо- лнческого типа.

Примером может служить уравнение теплопроводности + ) сР (13 5) Очевидно, что эллиптическое уравнение (13.2) является частным случаем уравнения (13.5). После завершения переходного п роцесса скорость изменения температуры — стремится к нулю, СТ дг и дифференциальное уравнение установившегося процесса становится уравнением эллиптического типа. Как изменяется физическая картнна при переходе от стационарной задачи (электропроводности) к нестационарной задаче (теплопроводности)? Анздогом электрического потенциала является температура„аналогом плотности заряда — энтальпия, аналогом тока — тепловой поток.

Если в задаче электропроводности вследствие быстрого перемещения зарядов не происходит их накапливания в точках тела, а потенциалы этих точек сразу принимают равновесные (стационарные) значения, то в задаче теплопроводности тепловой поток действует медленнее, теплота накапливается в одних точках и убывает а других, эитальпня и температура в этих точках изменяются. Эти изменения приводят к перераспределению (нестационарности) тепловых потоков.

Если граничные условия изменяются медленно„переходный процесс успевает завершиться н наступает стационарное состояние. Конечно-элементные модели стационарного и нестационарного процессов отличаются устройством узлов (рис. 13.8). В стацио- нарных условиях емкостью д д узла ~ожно пренебре~~.

Если заряды в узлах не накапливаются, то распределение потен- цизлОВ Остается рзВновссным. Р с стью С (способностью накап- Ю ли Вать электрический заряд, теплоту, водород и т. д.), то Рис. 13.8. фрагменты конечно- возможно возникновение не- ЭЛРМЕНТНМХ МОДСЛЕН: СТЭЗШОНЗРНОГО РЗВНОВЕСИОГО ПОЛЯ ПОТЕНЦИЗ- (а) н несииионарного (6) процессов лов н переходного процесса.

Т14 йз сопоставления стационарной н нестационарной задач ясно, что для решения той и другой необходимы: — уравнение потока массы илн энергии (на основе законов Ома, Фурье, Фнка и т. д,); — граничные условия первого, второго и третьего рода. Этого д~стато~но для решения стационарной задачи. Для решения нестационарной задачи необходимо добавить: — начальные условия, т, е. Исходное распределение потенциа- лОВ, температур или примесей; — условия накопления заряда, энергии или массы (применительно к тепловой задаче этому соответствует уравнение теплоемкости, связывающее энтальпию с температурой). 13.2.6.

Явим и неивияи схемы решении Особенностью нестационарной задачи является необходимость последовательного прослеживания промежуточных предыдущих состояний тела для правильного расчета текущего состояния, т. е. рассмотрение истории процесса, в то время как для стационарного процесса понятие истории не существует, так как каждое состояние может быть рассчитано независимо от предыдущих, Если историю процесса прослеживать с достаточно мелким шагом по времени, то можно пренебречь влиянием из температуру данной точки тела температур удаленных от нее точек, т, е.

считать, что на каждом шаге порция тепла пересекает только одну границу — между двумя соседними ячейками. Можно таике, определив мощности тепловых потоков через границы ячейки на момент начала шага, считать их в течение шага постоянными. В этом случае система уравнений для расчета температур в конце шага оказывается очень простой н распадается на отдельные уравнения, в каждом из которых есть только одно неизвестное. Такая схема решения называется явной и требует существенно меньшего объема вычислений по сравнению с неявной схемой, в каждом уравнении которой присутствует несколько неизвестных.

На рис. 13.9 решение по явной схеме ()м) представлено ломаной линией, каждый отрезок которой соответствует шагу решения. Если в начале шага правильно определено направление отрезка (ои параллелен касательной к кривой искомой функции), то эта ломаная с определенной точностью повторяет вид кривой У(г). Но если при этом шаг решения недостаточно мелкий, то предположение о сохранении постоянства тепловых потоков становится некорректным и приводит к неправильному решению (ломаная г Рпс. 13.9.

Результаты расчета изменения температуры 7(г) по явной (1) в неявной (2) схемам решения прв малом (и) и большом (6) шаге по времени Ф 16 удаляется от кривой 7(г)). Максимально допустимый шаг по времени т прямо пропорционален квадрату линейного размера самого мелкого элемента ! и зависит от свойств материала (для тепловой задачи он обратно пропорционален коэффициенту температуропроводности а), т.

е. Поэтому при решении стационарных задач, как правило, выгоднее олин раз составить и решить систему уравнений неявной схемы, чем выполнять большое число шагов, необходимое для решения по явной схеме. Решение по неявной схеме (2м, 26) представлено на рнс. 13.9 ломаной, сосгшшенной из секущпх, начало н конец которых лежат на кривой У(г). Порядок точности явной и неявной схем (отклонение ломаной от кривой) прп одинаковом мелком шае одинаков ()м н Зм). Прп увеличении шага решение по неявной схеме, хотя и становится грубее, но остается устойчивым (ломаная 26 продолжает следовать за кривой 7(г)).