Неровный В.М. - Теория сварочных процессов, страница 3

По мере того как теплота источника распространяется по телу, температуры отдельных точек тела меняются (рис. 6.1), но общее теплосодержание остается постоянным, так как бесконечное тело не теряет теплоту в окружающую среду. В весьма удаленных от источника точках температура во все время процесса не изменяется Т(с,7)= Т„.

0,5 1 2 1= 5 с 6.1.2. Мгновенный линейный источник в бесконечной пластине Бесконечная теплопроводящая пластина (см. рис. 5.5, в) толшиной б имеет начальную температуру Т„. В начальный момент времени 7 = 0 в элементе объема, который представляет собой прямую призму с бесконечно малым основанием ~йф и с осью, совпадающей с осью 07, сосредоточено количество теплоты Д с равномерной линейной интенсивностью Д!б (рис. 6.2). В этом слу- 206 чае нестационарное температурное поле от действия мгновенного линейного источника теплоты описывается выражением Т(г, 7) = Т„+ ехр — — — Ь7, (6 2) Д~б ( г 2 ~ 4а7 срз~(4ка1) где г=з)х +у — расстояние от 2 2 линейного источника теплоты ОО' (от оси 07) до произвольной точки О,' пластины с координатами х, у.

Выражение (6.2) является решением ', х 8 дифференциального уравнения теплопроводности (5.23). Темпера- у 7 турное поле в данном случае симРис. 6.2. Схема линейного исметрично относительно оси 07, точннка в пластине термический цикл любой точки пластины определяется только модулем ее радиус-вектора г, а изотермическими поверхностями являются соосные круговые цилиндры г = сопз1. 6.1.3. Мгновенный плоский источник в бесконечном стержне Бесконечный теплопроводящий стержень сечением Е имеет начальную температуру Т„. В начальный момент времени 7 = 0 в элементе объема, который представляет собой плоский слой с основанием, совпадающим с плоскостью у07 (рис. 63), и бесконечно малой высотой ~й, сосредоточено количество теплоты Д с равномерной поверхностной интенсивностью Д!Г.

В этом случае нестационарное Рис, 6.3. Схема плоского источника температурное поле от действия в стержне мгновенного плоского источника теплоты описывается выражением Т(х, 7) = Т„+ ехР— — Ь7, Д/Ь' ( х ср /4ка7 ~ 4а7 (6.3) 207 дт К Я!< Я2< Я 800 100 200 г, с а Г1 < Гз < Гз дт,к 800 400 100 200 г, с б х1< хр< хз дТ,К Т(Г, г) =Т„+ х срб14а(à — 1')) 0 100 200 г, с в В соответствии с принципом наложения выполним интегрирование элементарных приращений температур по времени т в пределах от О до г и получим результирующее температурное поле от непрерывно действующего точечного источника: р1 4, 44 = р„° 1 р )44. 44.44 4444 1 р' 4 р 14 44-4414 Г "4 41 В частном случае 47(г') = соп81 интеграл в выражении (6.5) сво дится к табличному с помощью подстановки Я Яс(г' г= ГГХ = 44 44 4 1 ' 4 4-Р 4 43 2 и выражается через функцию интеграла вероятности Ф(и)= = — 1е ггк С учетом этого получим выражение для темпера=д1 турного поля, создаваемого в бесконечном теле непрерывно действующим точечным источником: тоянной мошности температурное поле становится стационарным, температура убывает обратно пропорционально расстоянию от источника.

В стационарном состоянии тепловой поток через ! любую изотермическую сферическую поверхность одинаков и равен мощности источника 47. В случае нагрева пластины без теплоотдачи непрерывно действующим линейным источником постоянной мощности 47, проведя аналогичные выкладки с использованием выражения (6.2), полу- чим Т(Я, г) =Т„+ 2 — е ' арх = ср(4латг),Я л рваар (6.6) Температура каждой точки тела во время действия источника возрастает (рис. 6.5,а), стремясь к предельному значению Т„, которое устанавливается при длительном действии источника.

Если Р г — ьаэ,то =О, Ф(0)=Он 4/4а1 (6.7) Т„= Т(гг, аэ) = Т„+— аР ' " 4л),4Р В предельном состоянии процесса нагрева бесконечного тела непрерывно действующим точечным источником теплоты пос- 210 (6.8) 2 т(,, г) =т„+ ехр — ггг = Х 4 ,рр,г4 4 74 ~ 4 4~-44) в 211 где Ег(и) — интегральная показательная функция. Температурное поле при непрерывном действии неподвижного плоского источника постоянной мощности 47 в стержне сечением Г без учета теплоотдачи с поверхности получим интегрированием приращения температуры в соответствии с выражением (6.3): Рнс. 6.5. Зависимость прирашення температуры от времени прн непрерывном действии неподвижного источника теплоты эффективной мошности 1500 Вт на расстояниях 0,7 см, 1 см и 1,5 см от источника: а — точечный источник теплоты на поверхности массивного стального тела; а — линейный источник теплоты в стальной пластине толщиной Ь = = 1,2 см; в — плоский источник теплоты в стальном стержне сечением Г=8 ам 2 ( 2 [ =Т„ 2яХ г 16.9) ЬТ,К ьТ, 1000 с1Т вЂ” ~ ( с1ТА = ехр— ср /4каС 1 4ау 1 ~ 2 ( срТ„( 1х — х ) ~Й'.

ср /4кас 1 4ас ) 16.1 0) 16.1 1) 212 2!3 В отличие от нагрева массивного тела, характеризуемого достижением предельного 1стационарного) состояния, при непрерывном действии неподвижного источника в пластине или стержне 1без теплоотдачи с поверхности) предельное состояние не достигается и температура возрастает беспредельно. Если есть теплоотдача с поверхности„ предельное состояние в пластине и стержне достижимо. Температурное поле становится стационарным, когда поток теплоты с поверхности делается равным мощности а неподвижного непрерывно действующего источника. 6.4.

Выравнивание начального распределения температуры Начальное распределение температуры Т1х, у, г, 0), заданное начальными условиями задачи, можно рассматривать как результат действия совокупности мгновенных источников теплоты, распределенных соответствующим образом по объему тела. Рассмотрим в качестве примера выравнивание температур в бесконечном стержне сечением Р; который при г = 0 был натрет до Т„на участке длиной 21; будем полагать, что остальная часть стержня имеет нулевую температуру 1рис.

6.6, 6.7). Выделим некоторый элементарный слой с координатой х' и толщиной с1х', в котором при с = 0 сосредоточено количество теплоты сф = срТлЕ 1х', Будем рассматривать его как мгновенный плоский источник теплоты. Приращение температуры от действия данного источника в сечении А, имеющем произвольную координатух, составит Рис. 6.6. Схема представления начального распределения температуры Т„ иа участке 21 в стержне совокупностью мгновенных плоских источников теплоты Рис. 6.7. Процесс выравнивания температуры в неограниченном стержне, участок которого 21 = 2 см был натрет при с = 0 до Т„ = 1000 К 1а= 0,1 см!с): а — распрелслелля темпсратуры в рвзллчлыс момспты врсмспи; б — термические циклы в различных сечениях; я — схема стержня Полное изменение температуры в сечении А определяется интегрированием приращений температур от совокупности элементарных источников теплоты, расположенных на участке [ — 1, + 1], т.

е. 0 --- г 0 01, -== ~ ~0 У (х — х) ~й и= й'и = —— /4а~ ~/4а~ 6.5.2. Адиабатическая граница 6.5,1. Изотермическая граница 214 215 Для вычисления интеграла (6.11) применим подстановку и с учетом смены пределов интегрирования получим кМ т„- —" / " и= — "[Ф~ — ~ — Ф~ )). ~6.12) йа~ Выражение (6.12) описывает процесс выравнивания температуры. Температура середины нагретого участка остается наиболее высокой температурой в стержне за все время процесса выравнивания (см.

рис. 6.7). 6.5. Учет конечных размеров нагреваемого тела Процесс распространения теплоты в теле, имеющем конечные размеры, можно представить как часть процесса в соответствующей области бесконечного тела, в котором введены дополнительные (фиктивные) источники или стоки теплоты, оказывающие на процесс такое же действие, как и условия на ограничивающих поверхностях. В расчетах тепловых процессов при сварке граничное условие первого рода встречается сравнительно редко. Изотермическая граница может быть учтена введением фиктивного стока теплоты (источника «отрицательной» мощности), расположенного симметрично реальному источнику относительно изотермической границы (рис.

6.8, а). Процесс распространения теплоты в теле с ограничивающей изотермической плоскостью Т = О от источника, действующего в точке О (кривая 2), эквивалентен наложению двух независимых процессов: — процесса распространения теплоты в неограниченном теле от источника в точке О (кривая 7); — процесса распространения теплоты в том же теле от стока в точке 01 (кривая Т), Рис. 6.8. Расчетные схемы для обеспечения выполнения граничных условий: а — учет изотермической границы с помощью дополнительного стоке теплоты; б — учет едиабатической границы с помощью дополнительного источника теплоты Очевидно, что в любой точке плоскости симметрии относительно точек О и 01, изменения температуры от источника и стока будут равны между собой по модулю и противоположны по знаку.

Суммарное изменение температуры на плоскости симметрии всегда будет нулевым, что означает выполнение изотермического условия. Этот прием может быть распространен на любое количество реальных источников теплоты. Выполнить условие адиабатической (т.

е. непроницаемой для теплоты) границы можно, воспользовавшись аналогичным приемом. Суть его заключается в том, что вместо ограниченного тела рассматривают бесконечное, а для компенсации теплового потока, проходящего через ограничивающую плоскость А — А (рис. 6.8, б), в расчет вводят фиктивный источник теплоты (в точке О1), равный по мощности и расположенный симметрично реальному источнику (в точке О) относительно границы А-А.