Квашнин С.Е. - Медицинские ультразвуковые акустические системы для хирургии и терапии

Московский государственный технический университетим. Н.Э.БауманаС.Е. КВАШНИНМЕДИЦИНСКИЕ УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ АКУСТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫДЛЯ ХИРУРГИИ И ТЕРАПИИРекомендовано редсоветом МГТУ в качестве учебного пособия по курсу"Медицинские электроакустические системы"Издательство МГТУ1997Москва1Рецензенты И.Г.Ястребов, Р.Ш.ЗагидулинКвашнин С.Е.Рассмотрены методы расчета и проектирования применяемых втерапииихирургииультразвуковыхмедицинскихволноводов-инструментов продольных, изгибных и изгибно-продольных колебаний.Уделено внимание расчету и проектированию криволинейных волноводовинструментов, широко применяемых в нейрохирургии и стоматологии.Для студентов старших курсов и аспирантов, обучающихся поспециальности “Биотехнические и медицинские аппараты и системы”.Ил.Библиогр. назв.Редакция заказной литературыСергей Евгеньевич Квашнин21.

Расчет стержневых бесселевых волноводов-концентраторовпродольных колебаний1.1.Общие положенияИзвестно,чтоконцентраторынаибольшеесраспространениеэкспоненциальным,получиликоническим,волноводы-катеноидальнымзаконом изменения образующей [1,2,3]. Причем отдельные участкисоставныхволноводов-концентраторовтакжеобычновыполняются с теми же, что иперечисленывышезаконамиизменения образующих. Однако,часто возникает необходимостьсозданияволноводовсвыпуклыми участками изменениядиаметра.Частоприапроксимации переходов от регулярной части волоновода к рабочемуокончанию возникает потребность в большем многообразии зависимостейизменения площади поперечного сечения волновода-концентратора.

Нижерассмотрен класс так называемых бесселевых рупоров - волноводовконцентраторов у которых диаметр поперечного сечения меняется последующему закону (рис.1)β2D( z ) = D0 (1 + z z0 ) ,(1.1)где β/2 - константа расширения;D0 - диаметр меньшего конца;D(z) - диаметр на произвольном расстоянии z, измеряемом от меньшегоконца.3Площадь F(z) поперечного сечения волновода-концентратора в этомслучае имеет видF (z ) = F0 (1 + z z 0 )βНаиболее детальный анализ волноводов-концентраторов этого классапровел Фредерик Янг [14].

Он считал, что справедливость данного подходаправомерна в случае, если поперечные размеры волновода-концентратораменьше длины продольной волны. Известно, что уравнение продольныхколебаний волновода переменного поперечного сечения имеет вид [2]:u′′(z ) +F ′(z )u′(z ) + α 2 u(z ) = 0F (z )где u(z) - амплитудное значение смещение z-го поперечного сечения.Учитывая зависимость (1.2) изменения поперечного сечения послепреобразованийполучимследующееуравнениедляамплитудныхзначений смещений:d 2 u(z )β du(z )++ α 2 u(z ) = 0 ,2dzz1 + z dz(1.3)где α - волновое число;ω - круговая частота;с - скорость звука в материале.Решение уравнения (1.3) может быть представлено в следующем виде:u(z ) = (z + z1 )1− β2ω⎞ω⎞ ⎫⎧⎛⎛⎨C1J 1−β ⎜ (z + z1 ) ⎟ + C 2 J β −1 ⎜ (z + z1 ) ⎟ ⎬ ,⎝⎝c⎠c ⎠⎭22⎩(1.4)где С1 и С2 - произвольные константы;J(1-β)/2[y] и J(β-1)/2[y] - функции Бесселя 1-го рода порядков (1-β)/2 и (β1)/2.Для дальнейших расчетов потребуется производная от амплитудысмещения, поэтому вычислим ее сразу:4u(z ) = (z + z1 )1− β2⎧ω⎤ω ⎤⎫⎡⎡⎨C1J 1−β ⎢(z + z1 ) ⎥ + C 2 J β −1 ⎢(z + z1 ) ⎥ ⎬ ,c⎦c ⎦⎭2 ⎣2 ⎣⎩(1.5)Выражение для текущего продольного смещения также можнопредставить в виде:u( x , t ) = u( x )e − j ω t ,(1.6)тогда выражение для амплитуды колебательной скорости будет выглядетьследующим образом:v(z ) = − jω u(z ) .(1.7)1.2.

Вывод матрицы переходаТеперь получим матрицу перехода для бесселевого рупора поаналогии с тем как это изложено в [ ]. Для этого обозначим через αвыражение ω/с, т.е. теперьα=ωc,(1.8)Получим выражение для смещения в начале и конце участка:u(z ) = (z + z1 )1−β2⎧⎨C1J (1−β ) (z + z1 )α −2⎩[]− C 2 J ( β −1)⎫(z + z1 )α ⎬ ;⎭[2v ( z ) = − jω( z + z1 )uk = (l + z1 )1− β21− β2(1.9)]⎧⎫⎨C1 J 1− β ( z + z1 )α + C2 J β −1 ( z + z1 )α ⎬ , (1.10)22⎩⎭[][⎧⎨C1J (1−β) (l + z1 )α −⎩2[]]⎫− C 2 J ( β −1) (l + z1 )α ⎬ ,2⎭[](1.11)где l - длина участка. Пустьl + z1 = L ,(1.12)тогда51− χ⎧⎫U k = L 2 ⎨C1 J (1− χ ) [αL] − C2 J ( χ −1) [αL]⎬ .22⎩⎭(1.13)Выражения для усилий в начале и конце участка:⎧⎨C1 J − (1+ β ) ( z + z1 )α −2⎩⎫( z + z1 )α ⎬ ;⎭N ( z ) = EFα( z + z1 )− C2 J (1+ β )2[[1− β2](1.14)]⎧⎫N 0 = EF0 α z1(1− β )/ 2 ⎨C1 J − (1+ β ) [α z1 ] − C2 J (1+ β ) [α z1 ]⎬ ;22⎩⎭(1.15)1− β⎧⎫N k = EFk α L 2 ⎨C1 J − (1+ β ) [αL] − C2 J (1+ β ) [αL]⎬ .22⎩⎭(1.16)Будем решать (1.10), (1.13), (1.15) и (1.16) совместно, получаяматрицу перехода.

Но следует учесть, что мы получали решение длярасширяющегосяволновода,аобычноволноводырассматриваютсужающимися, поэтому гораздо важнее получить матрицу перехода отконца к началу (в данном случае), а не наоборот. Пусть⎛u ⎞V0 = ⎜ 0 ⎟ ,⎝ N0⎠⎛u ⎞Vk = ⎜ k ⎟ ,⎝ Nk ⎠матрица перехода⎛a a ⎞A = ⎜ 11 12 ⎟ ,⎝a 21 a 22 ⎠тогдаV0 = AVk .(1.17)Получим матрицу А. Для этого разделим (1.13) на( 1− β )2LJ ( β −1) [α L] , а (1.16) делим на2результаты, исключаем С2:6( 1− β )2EFk α LJ (1+ β ) [α L] и, складывая2L(1− β )/ 2ukNk+=(1− β )/ 2J ( β −1) [αL ] EFk α LJ (1+β ) [α L ]22(1.18)⎧ J (1−β ) [αL ] J −(1+β) [αL ] ⎫⎪⎪2= C1 ⎨ 2+⎬.ααJLJL[][]()()β−+β11⎪⎪⎩ 2⎭2Исключим теперь С1. Для этого делим (1.13) на( 1− β )2L( 1− β )2J (1− β ) [α L] , а (1.16) делим наEFk α LJ − (1+ β ) [α L] и вычитаем из22первого второе:L(1−β )/ 2ukNk−=(1− β )/ 2J (1−β) [αL ] EFk α LJ −(1+β ) [α L ]22⎧ J ( β −1) [αL ] J (1+β ) [α L ] ⎫⎪⎪= C2 ⎨ 2+ 2⎬.ααJLJL[][]−(1+ β )⎪ (1−β )⎪⎩ 2⎭2(1.19)Обозначим через К следующее выражение:K =*1( 1− β )/ 2L*1⎧⎫⎨ J (1− β ) [α L] * J (1+ β ) [α L] + J (1+ β ) [α L] * J ( β −1) [α L]⎬222⎩ 2⎭.(1.20)Тогда выражения для С1 и С2 будут иметь вид:⎫⎧NkC1 = − K ⎨uk J (1+ β ) [α L] +J ( β −1) [α L]⎬ ;α EFk22⎩⎭(1.21)⎫⎧NkC2 = − K ⎨uk J − (1+ β ) [α L] −J (1− β ) [α L]⎬ .α EFk22⎩⎭(1.22)Пусть H = K * z1(1− β )/ 2 , тогда получим u0 и N0 через uk и Nk, исключая из(1.10) и (1.15) С1 и С2 с помощью (1.21) и (1.22).7⎡⎧⎫Nku0 = H ⎢⎨uk J (1+β ) [α L ]J (1−β ) [α z1 ] +J ( β −1) [α L ]J (1−β ) [α z1 ]⎬ +α EFk 2222⎭⎣⎩⎫⎤Nk⎧+ ⎨uk J −(1+β ) [α L ]J ( β −1) [α z1 ] −J (1−β ) [α L ]J ( β −1) [α z1 ]⎬⎥ ;α EFk 2222⎩⎭⎦После перегруппировки:⎡ ⎧⎫U 0 = H ⎢U k ⎨J (1+β) [αL ]J (1−β ) [αz1 ] + J −(1+β ) [α L ]J ( β−1) [α z1 ]⎬ +222⎭⎣ ⎩ 2+NkαEFk⎧⎫⎤⎨J ( β −1) [α L ]J (1−β ) [α z1 ] − J (1−β ) [α L ]J ( β −1) [α z1 ]⎬⎥ ;222⎩ 2⎭⎦(1.23)Аналогично получаем и для N0:⎡ ⎧⎫U 0 = H ⎢U k ⎨J (1+β ) [αL ]J (1−β) [αz1 ] + J −(1+β ) [αL ]J ( β −1) [α z1 ]⎬ +⎭222⎣ ⎩ 2Nk ⎧⎫⎤+⎨J ( β −1) [α L ]J (1−β ) [α z1 ] − J (1−β ) [α L ]J ( β−1) [α z1 ]⎬⎥ ;αEFk ⎩ 2222⎭⎦(1.24)Исходя из уравнений (1.23) и (1.24) можно записать матрицуперехода:⎛aA = ⎜ 11⎝ a21a12 ⎞⎟ ,a22 ⎠⎛⎞где a11 = H ⎜ J (1+β ) [αL ]J (1−β ) [α z1 ] + J −(1+β) [α L ]J ( β −1) [α z1 ]⎟ ;⎝ 2⎠222a12 =H ⎛⎞⎜ J ( β −1) [α L ]J (1−β ) [α z1 ] − J (1−β ) [α L ]J ( β −1) [α z1 ]⎟ ;⎠αEFk ⎝ 2222⎛⎞a21 = αHEF0 ⎜ J (1+β ) [α L ]J −(1+β ) [α z1 ] − J −(1+β ) [α L ]J (1+β ) [α z1 ]⎟ ;⎝ 2⎠222a22 =8HF0 ⎛⎞⎜ J ( β −1) [α L ]J −(1+β ) [αz1 ] − J (1−β) [α L ]J (1+β ) [α z1 ]⎟ ;⎠Fk ⎝ 22222.

Изгибные колебания стержня переменного сечения спрямолинейной осью2.1. Свободные изгибные колебания стержняРассмотрим стержень длины l с прямолинейной осью переменного,но незакрученного сечения, совершающего изгибные колебания вплоскости 0yz (ось 0z направлена вдоль оси стержня и проходит черезцентры тяжести сечений, оси 0y и 0x являются главными,так что∫ yx d F = ∫ y dF = ∫ x dF = 0).FFFНа рис.2. показан стерженьпеременного сечения, бесконечномалый элемент которого длинойdz расположен на расстоянии z отлевого конца. Обозначим через Wперемещение точки поперечногосечения с координатой z в направлении оси 0y.Дифференциальноединамического равновесияуравнение,сил,вытекающеедействующихнаизмалыйусловияэлементстержня dz (рис.3) в направлении оси 0x можно представить в форме∂Q∂ 2U−dz − ρF (z ) dz 2 = 0,∂z∂tгде Q - перерезывающая сила, действующая на элемент dz.9Дифференциальноеуравнение,условиеописывающееравенствамоментов,нулюдействующихнамалый элемент dz, имеет вид−Q dz +∂Mdz = 0,∂z(3.8)где M - момент, действующий на элемент dz в плоскости yz;J(z)=∫x2dF - момент инерции сечения относительно оси 0x.FИз элементарной теории изгиба стержней [40,47]∂ 2WM = EF ( z).∂z 2(2.9)Отсюда с учетом (2.7) и (2.8):∂2 ⎡∂ 2W⎢EJ (z)∂z 2 ⎣∂z2⎤∂ 2W⎥ dz = −ρF (z ) dz 2 ,∂t⎦(2.10)что является общим уравнением поперечных свободных колебанийстержней.2.2.

Свободные изгибныеколебаниястержня с учетом инерциивращения и поперечного сдвигаВ предыдущем рассмотрении задачи об изгибных колебанияхпредполагалось, что размеры поперечных сечений малы по сравнению с10длиной стержня. В случае, когда масштаб изменения напряженнодеформированногосостояниявдольосистержнясопоставимсхарактерным размером поперечного сечения в направлении оси 0x,применяетсяуточненная теория Тимошенко, в которой учтеныпоперечные сдвиги и инерция поворота сечений [39,47].

В теорииТимошенко введены следующие предположения:- поперечные сечения при деформировании остаются плоскими, нонеперпендикулярными деформированной оси стержня;-нормальныенапряжениянаплощадкахпараллельныхосипренебрежимо малы;- учитываются инерционные составляющие, связанные с поворотомсечений.Легко видеть, что при поперечных колебаниях стержня его малыйэлемент (см.рис.3) совершает движения, соответствующие не толькопереносу, но и повороту (положительным будем считатьнаправлениевращения против часовой стрелки). Угол поворота, который равен углунаклона кривой прогибов, имеет вид ∂W/∂z, тогда соответствующие угловые скорость и ускорение∂ 2Wи∂ z ∂t∂ 3W.∂ z ∂t 2Поэтому момент инерции малого элемента dz относительно оси,проходящей через центр тяжести перпендикулярно плоскости xz равен−ρJ (z)∂ 3W∂z ∂ t2dz и вместо (2.8) имеем∂M∂ 3Wdz = 0.−Qdz +dz − ρJ (z )∂z∂z ∂t 2(2.11)Еще более точные дифференциальные уравнения для поперечныхколебаний стержней можно получить, если учесть не только инерции11вращения, но также и прогибы, обусловленные поперечным сдвигом.Угол наклона кривой прогибов зависит не только от поворота поперечныхсечений стержня, но также и от деформаций поперечного сдвига.Обозначим через α - угол наклона кривой прогибов в том случае, когдапоперечная сила не учитывается, а через β - угол поперечного сдвига нанейтральной оси для рассматриваемого поперечного сечения.Такимобразом суммарный угол наклона можно записать в виде [37,47]:∂W= Θ + β.∂z(2.12)Из элементарной теории стержней следуют такие выражения дляизгибающего момента [47]M = EJ (z)∂Θ∂z(2.13)и среднего угла сдвига [37]β = −k ( z)Q,GF ( z)(2.14)где G - модуль сдвига, k(z) - безразмерный коэффициент, учитывающийнеравномерное распределение касательных напряжений изгиба по сечениюстержня.Еслиβопределяетсяизусловияравенстваработыперерезывающей силы и потенциальной энергии деформации сдвига, тодля стержня постоянного сечения [37]k=FJ2S2∫ β2dF ,(2.15)Fгде S - статический момент (относительно нейтральной оси) части сечения,отсеченной плоскостью y = const и расположенной по одну сторону отуровня y = const; b - ширина поперечного сечения при y = const.