Квашнин С.Е. - Медицинские ультразвуковые акустические системы для хирургии и терапии, страница 2

Длястержня круглого сечения k = 10/9, а для прямоуголь-ного сечения k = 6/5.12Упрощенныеформулыдлявычисленияэтогонекоторых других формах поперечного сечениякоэффициентапристержня приведены вработе [36].Дифференциальное уравнение, описывающее условие равенстванулю моментов, действующих на малый элемент dz (2.11) примет вид∂M∂2α−Qdz +dz − ρJ (z) 2 dz = 0,∂z∂t(2.16)а условие динамического равновесия сил (2.7) останется без изменений.Исключив из уравнений (2.7), (2.12)-(2.14) и (2.16) α, β, Q и M дляоднородногостержняпостоянногопоперечногосеченияполучимвыражениеEJ∂4W∂z 4+ ρF∂ 2W∂t 2ρ 2 J ∂ 4WE ⎤ ∂ 4W⎡− ρJ ⎢1 ++= 0.⎣ kG ⎥⎦ ∂z 2 ∂t 2 kG ∂t 4Дифференциальное уравнение(2.17)(2.17)поперечныхколебанийпрямого стержня с учетом поперечного сдвига и инерции вращенияизвестно как уточненное уравнение Тимошенко или уравнение балкиТимошенко (двухмодовая аппроксимация) [39,47].2.3.Свободныеизгибныеколебания стержня с учетомрассеяниямеханической энергии за счет внутреннего тренияКак и в случае продольных колебаний стержня уравнение (2.13),полученное на основе закона Гука, при наличие вязкого трения примет видψ 0 ∂2α∂αM = EJ (z )+ EJ (z).2πω ∂z ∂t∂zПри выводе уравнения (2.18) использовалась(2.18)условнаяупруго-вязкаямодель [31].13При поперечном сдвиге также происходит рассеяние механическойэнергиизасчетвнутреннеготрения.Используязависимость,связывающую касательные напряжения, возникающие при сдвиге, с угломсдвига, аналогичнуюуравнению(2.3) и применяя условную упруго-вязкую модель внутреннего трения, уравнение (2.14) можно преобразоватьк видуQ=−ψ ∂β⎤GF (z) ⎡β+ 1,⎢k (z) ⎣2πω ∂ t ⎥⎦(2.19)где ψ1 - коэффициент поглощения при сдвиге.Переходя к полным производным с использованием представленияфункций W(z,t), α(z,t), β(z,t), M(z,t) и Q(z,t) в комплексной форме (2.5),получимсистему,состоящуюиз8-иуравнений,разрешенныхотносительно первых производных, и описывающую изгибные колебаниястержня с учетом инерции поворота сечений, поперечного сдвига ирассеяния энергии за счет внутреннего трения:ψdW 1k (z)⎡⎤= Θ1 −Q + 1 Q2 ⎥ ;2 ⎢ 12π ⎦dzGF (z )[1 + ( ψ 1 / 2π) ] ⎣dW 2k (z)⎡ ψ1⎤= Θ2 −− Q1 + Q2 ⎥ ;2 ⎢dzGF (z )[1 + ( ψ 1 / 2π) ] ⎣ 2π⎦(2.20)dΘ1ψ1⎡⎤=M1 + 0 M 2⎥;2 ⎢2πdz EJ (z)[1 + ( ψ 0 / 2π) ] ⎣⎦dΘ 21⎤⎡ ψ0=−M1 + M 2⎥;2 ⎢dzEJ (z )[1 + ( ψ 0 / 2π) ] ⎣ 2π⎦dM 1= Q1 − ρJ (z )ω 2 Θ1;dzdM 2= Q2 − ρJ (z )ω 2 Θ 2 ;dz14(2.20)dQ1= ρF (z )ω 2W 1 ;dzdQ 2= ρF (z )ω 2W 2 .dz3.Изгибно-продольныеколебаниястержняпеременногосечения с прямолинейной осью3.1.

Нормированная система уравненийЕсли не учитывать поперечные деформации,возникающие припродольных колебаниях стержня, то с учетом допущений, принятых привыводе уравнений продольных и изгибных колебанийстержня, можносчитать, что продольные колебания не влияют на изгиб и наоборот. В этомслучае изгибно-продольные колебания стержня переменного сечения спрямолинейнойосьюописываютсясистемойиз12-иуравнений,объединяющих уравнения (2.6) и (2.20).Для проведения расчетов на ЭВМ полученной системе уравненийследует придать безразмерную форму. С этой целью введем следующиесоотношения~~ξ=z/l; U = U / U 0 ; N = N l 2 / ( E 0 F0 );~~~W = W / W 0 ; Θ = Θ / (2πϕ 0 ); β = β / (2π);~Q = Ql 2 / ( E 0 J 0 );(3.1)~M = M l / ( E 0 J 0 );и запишем полученную систему уравнений:~ψ0 ~ ⎤dU 1E0J 0⎡~NN2⎥;=+1dξ U 0 lEF ( ξ)[1 + ( ψ 0 / 2π) 2 ] ⎢⎣2π⎦(3.2)~dU 2E0J 0⎡ ψ0 ~~ ⎤=−+NN12⎥;⎢d ξ U 0 lEF ( ξ)[1 + ( ψ 0 / 2π) 2 ] ⎣ 2π⎦15~dN 1ρF ( ξ)ω 2 l 3U 0 ~U1;=−dξE0J 0~dN 2ρF ( ξ)ω 2 l 3U 0 ~U2;=−dξE0J 0~dW 1 2πlϕ 0 ~E 0 J 0 k ( ξ)⎡ ~ ψ1 ~ ⎤=Θ1 −Q1 + Q2 ⎥ ;2π ⎦dξW0W 0 lGF ( ξ)[1 + ( ψ 1 / 2π) 2 ] ⎢⎣~dW 2 2πl ϕ 0 ~E 0 J 0 k ( ξ)⎡ ψ1 ~ ~ ⎤=Θ2 −− Q1 + Q2 ⎥ ;2 ⎢dξW0W 0 lGF ( ξ)[1 + ( ψ 1 / 2π) ] ⎣ 2π⎦~dΘ1E0J 0ψ0 ~ ⎤⎡~=+MM 2⎥;1d ξ ϕ 0 2πEJ (ξ)[1 + ( ψ 0 / 2π) 2 ] ⎢⎣2π⎦~dΘ 2E0J 0⎡ ψ0 ~~ ⎤=−M1 + M 2⎥;2 ⎢dξ ϕ 0 2πEJ ( ξ)[1 + ( ψ 0 / 2π) ] ⎣ 2π⎦~dM 1 ~ ρJ ( ξ)ω 2 2πl 2 ϕ 0 ~= Q1 −Θ1 ;dξE0J 0~dM 2 ~ ρJ ( ξ)ω 2 2πl 2 ϕ 0 ~= Q2 −Θ2;dξE0J 0~dQ1 ρF ( ξ)ω 2 l 3W 0 ~W 1;=dξE0J 0~dQ 2 ρF ( ξ)ω 2 l 3W 0 ~W 2;=dξE0J 0Система уравнений (3.2) описывает изгибно-продольные колебанияпрямолинейного стержня переменного сечения с учетом рассеяниямеханической энергии, инерции поворота сечений и поперечного сдвига.163.2.

Граничные условияДлярешениясистемыдифференциальныхнеобходимо задать граничные условия.уравнений(3.2)Края могут быть свободны,закреплены или опираться на шарниры, именно в таком виде и будемзадавать граничные условия.В общем случае на краях УЗКС могутнаходиться присоединенные массы, жесткости, диски (момент инерции),демпферы (частотно-зависимое и частотно-независимое вязкое трение) инагрузка (импеданс).Кроме того,может находиться внутри УЗКС.например,сосредоточенная массаПоэтому целесообразно учитыватьсосредоточенныеиприсоединенныепараметрывусловиях стыковки участков УЗКС(дляграничныхучастковэтобудут условия стыковки с краем).РассмотриммалыйбесконечноэлементУЗКС,находящийся на расстоянии z0 отлевогокрая,накоторыйдействуютвсеперечисленныеприсоединенныепараметры(рис.4).вышеВведемследующие обозначения:M0 - сосредоточенная (присоединенная) масса;Jd-физическиймоментинерциисосредоточенный(присоединенный) относительно оси y;ky, kz - сосредоточенные (присоединенные) жесткости в направленииосей y и z соответственно;17kx - сосредоточенная (присоединенная) жесткость в направлениивращения относительно оси x;ν1, ζ1 - коэффициент внешнего вязкого трения в направлении осейy и z соответственно;μ1 - коэффициент внешнего вязкого трения в направлении вращенияотносительно оси x;ν2, ζ2 - коэффициенты внешнего условного вязкого трения внаправлении осей y и z соответственно;μ2 - коэффициент внешнего условного вязкого трения в направлениивращения относительно оси x;Zx, Zz - импеданс присоединенной нагрузки в направлении осейx и z соответственно;Zy - импеданс присоединенной нагрузки в направлении вращенияотносительно оси y;Из условий динамического равновесия сил и моментов получимследующие соотношения:∂ 2UN (z0 ) = N (z0 ) + M 0 2∂t+−∂U+Zz∂t(3.3)z = z0−∂W+Zx∂t+z = z0;∂ 2WQ (z 0 ) = Q (z 0 ) − M 0 2∂t+z = z0ζ ⎤ ∂U⎡+ k zU (z0 ) + ⎢ζ1 + 2 ⎥ω ⎦ ∂t⎣z = z0ν ⎤ ∂W⎡+ k yW (z 0 ) − ⎢ ν1 + 2 ⎥ω ⎦ ∂t⎣+z = z0;z = z0μ ⎤ ∂α∂2α⎡+M (z0 ) = M (z0 ) + J d 2+ k x α ( z 0 ) + ⎢μ 1 + 2 ⎥∂ t z = z0ω ⎦ ∂ t z = z0⎣+−∂Θ+Zy;∂ t z = z018(3.4)(3.5)Подставляя в уравнения (3.3)-(3.5) функции переменных z и t вкомплексной форме (2.5) и учитывая, что Z = r + jX, получим системыуравнений:N 1+ = N 1− − ( M 0 ω 2 − k z + ω X z )U 1 − (ζ1 ω + ζ 2 + ω rz )U 2;N 2+ = N 2− + (ζ1 ω + ζ 2 + ω rz )U 1 − ( M 0 ω 2 − k z + ω X z )U 2;(3.6)Q1+ = Q1− + (M 0 ω 2 − k y + ω X y )W 1 + ( ν1ω + ν2 + ω ry )W 2 ;Q2+ = Q2− − ( ν1ω + ν 2 + ω ry )W 1 + (M 0 ω 2 − k y + ω X y )W 2 ;(3.7)M 1+ = M 1− − (J d ω 2 − k x + ω X x )Θ1 − (μ1ω + μ 2 + ω rx )Θ 2 ;M 2+ = M 2− + (μ1ω + μ 2 + ω rx )Θ1 − (J d ω 2 − k x + ω X x )Θ 2;(3.8)Системы уравнений (3.6)-(3.8) описывают все возможные сочетанияприсоединенных или сосредоточенных параметров.4.Изгибно-продольныеультразвуковыхколебаниякриволинейныхволноводов-инструментовмедицинскогоназначения4.1.

Свободные изгибно-продольные колебания при отсутствии тренияПрипроектированиинизкочастотныхаппаратовультразвуковыхдляобщейкосметологии,сосудистойхирургиии,приходитьсясоздаватьстержневыевысокоинтенсивныххирургии,травматологии,особенно,стоматологииволноводы-концентраторыкриволинейной формы, в которых возбуждаются электроакустическимпреобразователемпродольнаямодаколебаний,авсвязиснепрямолинейностью волновода также и поперечная мода колебаний.19Ограничимся рассмотрением лишь плоских изогнутых стержневыхволноводов-концентраторов переменного поперечного сечения в которыхпоперечные колебания происходят лишь в плоскости изгиба.УравнениядинамическогоравновесияКирхгофа-Клебшадляплоского криволинейного волновода имеют вид [1]:∂N∂sQ ( s, t )∂2u=+ ρ ( s) F ( s)R ( s)∂t2∂QN ( s, t )∂2w= −− ρ ( s) F ( s)∂sR ( s)∂t2∂M∂sгде N ( s, t )∂2θ= Q ( s, t ) + ρ ( s ) J( s)x∂t2и(4.1)(4.2)(4.3)Q( s, t ) - соответственно продольное и поперечное усилиев сечении, расположенном на расстоянии s от начала волновода (рис.1) вмомент времени t, M(s,t)- изгибающий момент в поперечном сеченииволновода, u(s,t) и w(s,t) - соответственно продольное и поперечноеперемещение центра тяжести текущего поперечного сечения волновода,θ(s,t)- угол поворота поперечного сечения при деформировании, ρплотность материала волновода, F(s) - площадь поперечного сеченияволновода, Jx - момент инерции поперечного сечения относительноглавной центральной оси сечения, R(s)- радиус кривизны волновода.Соотношения между силовыми факторами и геометрическимиw⎞⎛ ∂uN ( s, t ) = E ( s ) F ( s ) ⎜+⎟⎝ ∂sR ⎠⎧ ∂θ∂ ⎛ u⎞⎫M ( s, t ) = E ( s ) J x ( s ) ⎨−⎜ ⎟⎬∂s ⎝ R ⎠ ⎭⎩ ∂sгде E(s)- модуль Юнга материала волновода (может быть функциейкоординаты s).20Разрешая соотношение для продольного усилия относительно∂ u∂ sполучим∂uN ( s, t )w=−∂sE ( s) F ( s)R ( s)(4.4)Подставив полученное выражение в соотношение для изгибающегомомента после преобразований и разрешая относительно∂θимеем∂s∂θM ( s, t )Nwu dR ⎞1 ⎛=+−−⎜⎟ (4.5)∂sE ( s) J x ( s) R ( s) ⎝ E ( s) F ( s) R ( s) R ( s) d s ⎠Учитываятакжеисдвиговыедеформации,какпредложилС.П.Тимошенко [2], уравнение, связывающее поперечное смещение и уголповорота сечения примет вид∂wu ( s, t )= θ ( s, t ) ++ β ( s, t )∂sR ( s)(4.6).где β(s)- средний угол сдвига [2] определяется какβ( s) = − k ( s)Q ( s, t )G( s)F ( s)здесь G - модуль сдвига, k - безразмерный коэффициент, учитывающийнеравномерное распределение касательных напряжений изгиба по сечениюволновода, полагаем что он не слишком отличается от значенияопределенного Тимошенко для бруса постоянного сеченияF ( s) S x2k ( s) = 2 ∫ 2 dFJ x ( s) F bВсоотношении(4.7)-(4.7)Sx-статическиймоментинерции(относительно нейтральной оси) части сечения, отсеченной плоскостьюx=const; b - ширина поперечного сечения при x=const.21Ограничимсяколебаниийсрассмотрениемкруговойчастотойстационарныхω,иперейдемгармоническихкамплитудамгеометрических и силовых факторов, используя следующие соотношенияu( s, t ) = u0 ( s) exp( jω t ), w ( s, t ) = w 0 ( s) exp ( jω t ), θ( s, t ) = θ 0 ( s) exp( jω t ),N ( s, t ) = N 0 ( s) exp( jω t ), Q ( s, t ) = Q 0 ( s) exp( jω t ), M ( s, t ) = M 0 ( s) exp( jω t ),где j - мнимая единица, нижним индексом 0 обозначены соответствующиеамплитудные значения переменных.Тогда система уравнений (4.1-4.3,4.4-4.6) примет следующий видdw0uQ0 ( s)= θ + 0 − k ( s)dsR ( s)G( s)F ( s)du0N0w=− 0ds E ( s)F ( s) R ( s)dθ 0M0N0wu dR=+− 2 0 − 20ds E ( s)J ( s) E ( s)F ( s) R ( s) R ( s) R ( s) dsdQ0N= − 0 + ρ( s) F ( s)ω 2 w0dsR ( s)(4.8)dN 0Q= 0 − ρ( s) F ( s)ω 2 u0dsR ( s)dM 0= Q0 − ρ( s) J x ( s)ω 2 θ 0dsИспользуявекторно-матричныеобозначениясистемудифференциальных уравнений (4.8) можно представить в видеdW= A( s)W( s)ds(4.9)где n=6 - размерность системы уравнений, W( s) - вектор столбец размераn с компонентами W( s) = {u0 ( s), w0 ( s), θ 0 ( s), N 0 ( s), Q0 ( s), M 0 ( s)} ,A(s)- квадратная матрица коэффициентов размером n*n ненулевыекоэффициенты которой следующие22−1−1⎡ 0R ( s)1− k ( s) ⋅ (G( s)F ( s))⎢⎢ − R −1(s)000⎢ −2−200A( s) = ⎢− R ( s) − R ( s)2⎢ρ F (s)ω000⎢−120ρ F ( s)ωR ( s)⎢ 02⎢ 0− ρ J p( s)ω01⎣⎤⎥−1⎥0( E(s)F(s))−1−1⎥( E(s)F(s)R(s)) ( E(s)J (s)) ⎥−1⎥0− R ( s)⎥00⎥⎥00⎦00При расчетах ультразвуковых колебательных систем (УЗКС) ихудобно разбивать на отдельные участки, в пределах которых задаются какмеханические свойства отдельных участков волноводов так и основныегеометрические параметры как это подробно изложено в работах автора[3,4].В этом случае условие стыковки двух соседних участков с номерамиi и i+1 будет следующимWi + 1 = Wi00Представляет интерес также случай сопряжения двух участков подуглом α.