Глава 5 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами)

— 137— ГЛАВА 5 АБЕРРАПИИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ГРАДИЕНТНЫХ ОПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ С МАЛЫМИ НАРУШЕНИЯМИ ОСЕВОИ СИММЕТРИИ 5.1. Геометрические параметры оптической системы с малыми нарушениями осевой симметрии На рис.5.1,а показана исходная осесимметричная оптическая система, описанная в разделе 2.1. Рассмотрим оптическую поверхность й, разделяющую среды й и 1+1. Функция распределения показателя преломления среды к в системе координат О,Х,У,Е, описывается выражением: п(х,„у,,з,) = и (а,)+п,(з,)(х, +у, )+ (5.1 ) Функция распределения показателя преломления среды Ы1 в системе координат О„,Х„,У„,Я„, описывается выражением: Уравнение поверхности й в системе координат О„Х„У„Е„ где р — кривизна поверхности в вершине. Системы координат Обозначим: Ь=Ь,„,, Н=Н,„,, имеет вид: 2 О*Х*УЛ начальн~е точки О,, О„, (рис. 5.1,а). О„,Х„,У„, Е„, совмещены и их О„, находятся в вершине поверхности к б) Рис.

5.1 Исходная осесимметричная оптическая система (а) и оптическая система с нарушенной осевой симметрией ~б) Оптическая система с нарушенной осевой симметрией (рис.5.1,б) отличается от исходной осесимметричной оптической системы тем, что оси О,Е,, О„Е„, О„,Е„, не лежат на одной прямой. Оптическая система с нарушенной осевой симметрией может быть представлена состоящей из двух осесиьяетричных оптических компонентов, являюшихся составными частями исходной осесимметричной оптической системы, и поверхности й.

Первая часть включает: предметную плоскость, оптические поверхности от первой до й-1 включительно и среды с первой (пространство предметов) по й. Ось О,Е, совпадает с осью свпетрии первой части оптической системы. Вторая часть включает: поверхности от (йМ ) до ш, плоскость изображения и среды от 1+1 до и+1 (пространство изображений). Ось О„,Е„, совпадает с осью симметрии второй части оптической системы. Учит ы вая с деланный в раба т е ~27 ~ вывод, ограничимся рассмотрением случая, когда в оптической системе сохраняется одна плоскость симметрии, совпадаюцая с меридиональной плоскостью. При этом оси О,Х,„ О„Х„, О„,Х„, остаются параллельными друг другу, точки О,, О„, О„, принадлежат меридиональной плоскости.

Точка О„ в системе координат О,Х,У,Е, имеет координаты (х,=О;у,=а;х,=О), а точка О„, в системе координат О„Х„У„ Е„ имеет координаты (к„=О;У„=Ь;я„=О). Переход от системы координат О,Х,У,Е, к системе координат О„Х„У„Е„ можно описать вектором переноса 6, и матрицей поворота Я, 140 О О О соя ф я~п ф 0 -я1п ф соя ~р где ф — угол между осами О„Е„ и О,Е,. Переход от системы описывается вектором переноса О, и мятрицей поворота Я,: 1 0 О 0 соя ф я1.п ф О -я1п ф соя ф позволяет представить матрицы Я, и Я, в виде: 1 О О 0 1 О -ф 1 0 0 О 1 ф 0 -ф 1 5.2.

Расчет хода луча, совпадающего с осью симметрии первой части системы Рассмотрим расчет луча, который совпадает с осью симметрии первой части оптической системы — осью О,Е,. Векторы линейных координат и оптических направляющих косинусов луча в точке О, в системе коорджат О,Х,У,Е, согласно Формулам (4.21) имеют вид: В = |О;О;0)', Т = ~0;0;и, )', где и, = п (О). В системе координат О„Х„У„Е„ векторы линейн|х координат и оптических направляющих косинусов луча в точке О, в где ф — угол между осями О„,Е„, и О„Е„ .

Параметры ад,Ь,ф будем считать бесконечно малыми первого порядка малости, что — 141 относительно параметра а точка О, является точкой встречи луча с поверхностью (5.1). Преломление луча на границе двух сред описывается уравнением (1.19): где = (О; -ра + О(о,'); -1 ) И„= чФ Н=Н„ Вектор линейных координат луча в точке встречи луча с поверхностью в системе координат О„,Х„,У„,Е„, имеет вид: Н„,=Я (Н„-6 )= (О; -(а+Ь);О) (5.7) Показатель преломления среды 2+1 в этой точке равен: и' (х„,,у„,,з„,)= и' + О((а+Ь)'), где и,' =и,'(О). Из Формулы (1.2О) следует: и=и -и,' .

Вектор оптических направляющих косинусов после преломления на поверхности согласно Формулам (5.4)-(5.7) имеет вид: Вектор Т,', в системе координат О„,Х„,У„,Е„, : Т' „,=Я,Т' „ = (О; и,ср — ра (и -и,' ) + и' ф; и' )' . (5.9) Векторы линейных координат Н,',', и оптических направляющих косинусов Т,',', луча в плоскости з„,=О равны Н,',', = Н„,; Т,',', = Т,' „ . Представим каждый из этих векторов в виде сумвн соответствии с Формулами (1.22),(1.24),(1.25) равны: Н„=а, (Н „-а, )= (О;-а;О)', Т„=Ю,Т„„ = (О; и ~„и. )' . (5.

) С точностью до величин второго порядка малости двух векторов: =Н, „„+бН„ ~5.10) Т" ХХХ тктах ХХХЮ где Н„, =~О;О;О)', Т„, =~О;О;и.)', бН„„=~О;-<а+Ь); О)', бТ„„ =~О ; п (р-ражип,-п,' ) + и,'ф;О)'. Векторы Н„, , Т„, описывают луч, совпаданщий с осью симметрии второй части оптической системы.

Координаты векторов бН„„ и бТ„„ являются величинами первого порядка малости. Векторы бН„, бТ„„ описывают ЛД1П, построенный на луче (Н„, ;Т„, ) и принадлежащий плоскости э„,=О. Этот ЛД1П является АЛД1П для второй части оптической системы и его параметры связаны„ согласно выражениям (4.13), с параметрами эквивалентного параксиального луча : а =О( а = -(п,~-ра(п-п' )+и' Ф~ /и'; Х=О; Р = -(а;-Ь~ . (5.(1) Таким образом, расчет луча ~Н,',',; Т,',',) через вторую часть оптической системы сводится к расчету параксиального луча, параметры которого в плоскости э„,=О определяются выражениями (5.11). 5.3. Расчет лучевого диФФеренциала первого порядка Рассмотрим ЛД1П, построенный на луче ~Н ;Т ).

Так как этот ЛД1П является АЛД1П для первой части оптической систежн, то в плоскости я,=О его параметры бН,=(бх;бу;О)', бТ,=(бр;бд;О)'. Параметры этого ЛД1П в плоскости я„,=О после преломления на поверхности й определяются с использованием Формул (1.3б), (3.7)-(3.14) М... =(бх„.бу;Ю)', бТ...

=(бр...,бо...;И...)', (б.1г) где бр,',', = бр + рбх по-по ; бд,',', = бц ~ лбу(п -и') б1'' = — бя'' (~ у — Р~~~ -~~) ~. ~~ ф) '~~ — Е~'(с~~Ь)бу; ххх~~ тххх б~,' ' бТ,',', (5.13) где М„, „= (бх;бу;О)'; бТ,„„„= (бр...; бо...; О)' вежливы первого порядка малости, б Н„„=(0;0;О) ; б Т,' „ =(О; О, "б1,',',) — величины второго порядка малости. При атом во второй части оптической системы (бН„, ;бТ,' „ ) представляет собой АЛД1П в плоскости к„,=0.

АЛД1П (бН„, ;бТ' „, ) не зависит от параметров а,~р,Ь,ф и в плоскости я„,=0 в исходной осесимметричной оптической системы он так же равен (бН„, , "бТ' „, ). Векторы б Е„„ и б Т,' „, описывают АЛД2П, который построен на двух АЛД1П, а именно: ( Вхжка~' ~тжо~ )' ( кгпв' ткано)' и,' =и'(О). Представим векторы линейных координат и оптических направляещих косинусов ЛД1П (бН„,;бТ,' „ ) в виде сумм двух векторов 5.4. Расчет лучевого диф$еренциала второго порядка параметры имеют вид: б'Н, = (О;О„.О)'; б'Т, = (О;О;б'Ц' где б*), = Пп,[бх,бх,~бу„бу,~ — [бр,бр,~бп,бц,1/и.; и,' =и,'~о).

Параметры этого ЛД1П в плоскости к„,=О после преломления на поверхности й определяются с использованием Формул (3.25)-(3.31): б*х... = — ~ар-И) [бр„бу,--бр,бу„1/и,+ + (бР,',' „ бу,+бР,',' „ бу,)(~Р+Ф)/и,' ~ (5 14) б*у,',', = -~ар р) [бб,бу,+бр,бу,1/п. ~~при))[бб,','„бу, ~ бц,','„бу,)/и,' + ркиб)~бх,бх.+бу„бу,)- — р[ и б-па~и;и,') ~ и,' а) [бх„бх,+бу„бу,)/и' (5.15) (5.16) '~111 = — ~п, (оо-~[)) (бх„бу,+бх,бу„)- -р(ар-а) ~п;И') [бр„бу, бр,бу„)/и,— 83 а(бх бу + бх бу )(и и ) Рессмотрим ЛД2П, построенный на луче (Н ;Т ), ЛД1П (бН,;бТ,) и ЛД1П (бН,;бТ,).

Так как этот ЛДЕП является АЛЬП в первой части оптической системы, то в плоскости я1=О его — Р'а(п;И) <бх„бу, + бх,бу,)/И' х- +2п,' (ра+ф) (бх бу +бх бу ) б*я,',', = (ар-р) <бр„бр, х- бц,бц,)/И— -гп,(ар-ср)(Збу„бу.+бх,бх„)- и р(ар-(р)(Збу бу +бх бх )- 1 1 -р(ар-Ф) (бу,бд,+бу,бд, ) (и -и' ) — + — + "О "О ~ р р*(и;и,')(бу,бу,~бх,бх,) + гр*р бу бу и <п -и )/и -8а,а(п,-п') (Збу,бу,+бх,бх„) + ап,'р(а+а) (Збу бу +бх,бх„)+ ~ и'р(ар~ф)(ббу„бу,~бк,бх„) — ур а бу,бу, <и;и,'~ /и' + Яп,' (ар+ф) (Збу„бу,+бх,бх,)— — (арну) <бр„','„бр,','„х- бб,','„бц,','„~/и,' (5.18) 'ХХ1 = гп, (бу,бу,+ бх,бх„)— — б~х( б~х( + бл(х бл(( 3 /и У ЛХХХ Р"ВХХХ 'хВХХХ 'ау 111~/ О где д(п,'(я„,) ) и' д(п,(~,)) П дк, Представим векторы линейных координат и оптических +Ярп,"(а+Ь) (бх бу + бх бу„) + р и' (ар+ф) (бх„бу +бх бу„)- -рп (ар-а) (бх,бу,+бх,бу,)- р(арр) (и,-п,') <бх„бд, + бх,бб,)/и,'~ ~ р*п,р(п;и,') <бк„бу ~ бх бу )/и' направляющих косинусов ЛД2П в плоскости з„,=0 в виде сумм двух векторов: второго порядка малости; б Т,'„=(б р,',',;б д,',',;О), б Н„, =(б х,',',;б у,',',;О) — величины третьего порядка малости.

ЛД2П (б Н„,; б Т,'„) построен на ЛД1 П (бН„„;бТ„„, ) и ЛД1П (бН„„„бТ,„, ) и является ЬЛД2П во второй части оптической системы. ЛД2П (б'Н„, ;б'Т,' „ ) не зависит от параметров а,Ьд,ф. Следовательно АЛД2П в плоскости к„,=0 в исходной осесимметричной оптической системе также б ~хжк ) ~~~~~р~ б ~тххх' б ~ххххх описывают ЛДЗП, построе~ный на трех ЛД1П: (бН„„, ;бТ„' „, ), (бН„„ ;бТ,' „, ), (бН„, ;бТ,' „ ); соответствующих им трех б*Т'„„ ). Опорным лучом является луч, совпадающий с осью О„,Е„,. Таким образом, ЛДЗП (б Н„„, б Т,' „, ) является АЛДЗП во второй части оптической системы.

5.5. Определение величины смещения изображения Из Формул (2.1 5)- (2.1 8), (5.1 2), (5.13) следует, что в параксиальном приближении координаты х„ ,у„ точки пересечения луча с плоскостью изображения оптической системы с нарушенной осевой симметрией равны: — 147— 'из= "из"у. ' уиз= "изи', ' 'уиз где У ,К' — меридиональная и сагиттальная составляюшие У' х полевых нормированных координат луча; Н„ — высота второго вспомогательного луча в плоскости изображения. Величина смещения изображения Лу„' не зависит от нормированних координат луча.

Так как в параксиальном приближении координаты х„ ,у не зависят от апертурных нормированных координат луча и линейно зависят от полевых нормированных координат, то предметная плоскость и плоскость изображения оптически сопряжены [51. При У =У =О =й =О луч совпадает с осью О,Е, и пересекает плоскость изображения в точке А', которая оптически сопряжена с осевой точкой А предметной плоскости. Из выражений (5.21) следует, что точка А' принадлежит меридиональной плоскости и смещена с оси О„,Я„, на Ьу„' Для определения величины смещения изображения запишем инвариант ~3.4б) в виде: Ь =а'и' бу„, + Ь бц,'„ бс,'„, = п,~ -ра~п,-п,' ) + и' Ф где бу„„= -(а+Ь), 5.6. Определение коэКжциентов аберраций второго порядка Так как плоскость изображения оптически сопряжена с предметной плоскостью, то в оптической системе с нарушенной параметры ЛД1П ~бН„, ;бТ,' „,) в плоскости я„,=О. Смещение Лу„' точки А' с оси О„,Е„, определяется как: а' и' Ьу' = 1 = -а'п'~а+Ь)+Ь~п р-ра(п -и' )+и' ф).