Диссертация (Разработка математических моделей и методов расчета процесса течения разреженных газов при взаимодействии с направленными потоками частиц), страница 4

Здесь же приведены экспериментальныеданные и кривая, рассчитанная по уравнению [2] с поправками на входноесопротивление.Рисунок 1.5. Зависимость величины потока углекислого газа при истечении ввакуум через короткий капилляр ( L / 2R  5,33 ) от давления на входе вкапилляр:1 – расчет по уравнению из [2]; 2 – расчет по предлагаемому в [6] алгоритму(точками представлены экспериментальные данные)Алгоритм [6] в целом дает хорошее соответствие эксперименту отмолекулярного до вязкостного режима течения.

Расчет по уравнению из работы[2] дает несколько лучшее совпадение с экспериментом в молекулярном иначале переходного режима, затем происходит прогрессирующее нарастаниеотклонения расчетных данных от экспериментальных. Несмотря на хорошее27совпадение с экспериментом, суперпозиционный подход физически не совсемкорректен. И если для переходного режима течения газа, в которомодновременно сказывается влияние внутреннего трения и молекулярногопереноса, этот метод еще может быть оправдан, то применение его длявязкостного режима течения,характер которого определяется силамивнутреннего трения (сплошная среда), носит формальный характер.В работе [7] при дифференциации режимов течения используется числоКнудсена Kn L, но переходный режим [8] дополнительно разбивается еще надве области:− непрерывный режим (или вязкостный [8]) Kn  103 , течение можномоделировать уравнениями Навье-Стокса с классическими граничнымиусловиями (неизменность температуры и скорости на стенке);− режим скольжения 103  Kn  101 , можно применять уравнения НавьеСтокса, но необходимо учитывать скачок температуры и скорости настенке при задании граничных условий;−переходныйрежим101  Kn  10 ,уравненияНавье-Стокса,применяемые для описания течения сплошной среды, больше недействительны, но межмолекулярными столкновениями еще нельзяпренебречь;− свободный молекулярный режиммолекуламинезначительны,Kn  10 , столкновения междусравнимысостолкновениямимеждумолекулами и стенкой.В [7] рассматриваются микротечения разреженных газов, режим течениякоторых соответствует скольжению и началу переходного режима.

В простыхгеометрических структурах такие течения могут моделироваться аналитически28(уравнения Навье-Стокса) или полуаналитически (линеаризованное уравнениеБольцмана).Режим скольжения изучен достаточно подробно, а для его описанияразработана достаточно простая математическая модель на основе уравненийНавье-Стокса с соответствующими граничными условиями. Граничное условие1-го порядка, описывающее скорость скольжения на стенке, было установленоМаксвеллом еще в 1879 году:Ut  U p 2 vvU t3   1 Kn2 Re TKn,n 2 Ec t(1.1)а скачок температуры на поверхности – Смолуховским в 1898 году:T  Tp 2   T 2 Kn T. T   1 Pr n(1.2)Данные граничные условия написаны в безразмерной форме.

Индекс pотносится к стенке, а индексы t и n – к тангенциальному и нормальномунаправлениям относительно стенки. Отношение теплоемкости к массе – γ; Re,Pr, Ec – числа Рейнольдса, Прандтля, Эккерта соответственно;  v и  T −коэффициенты аккомодации для количества движения и тепловой энергиисоответственно, характеризующие взаимодействие молекул со стенкой. Ихточное определение возможно для конкретного случая, поскольку они зависятот природы газа и материала стенки, а также от состояния поверхности.Таким образом, важной особенностью течения со скольжением являетсявозможность описать его или аналитической моделью, или полуаналитическирассчитать скорость и проводимость для локального установившегосяизотермического течения между параллельными плоскими пластинами [9] илив цилиндрическом канале постоянного сечения (круговом [9], кольцевом [10],прямоугольном [10,11]). Эти модели являются достаточно точными только для29ограниченного диапазона чисел Кнудсена, примерно до 0,1 [12-15].

ДляKn  0,1 экспериментальное исследование [16], или прямое численноемоделирование статистическим методом [17] показывают существенноерасхождениесрезультатамимоделирования,гдебылииспользованыграничные условия 1-го порядка [7]. Начиная с 1947 года, некоторые авторыпредложили использовать граничные условия 2-го порядка [18,19], чтобырасширить область скольжения до более высоких чисел Кнудсена. Условияскольжения 2-го порядка являются довольно громоздкими выражениями,которые сложно совместить в единой записи.

Действительно, согласнопредположениям условия 2-го порядка ( ( Kn2 )) могут зависеть от  v [18,19] и 2Uсодержать вторые тангенциальные производныеt 2[20]. В простейшемслучае установившегося течения вдоль плоской пластины тангенциальныепроизводные 2-го порядка равны нулю и можно оценить большинство моделей2-го порядка, которые в общей форме можно представить в виде2U t2  UtU t  U p  A1Kn A2 Kn.nt 2(1.3)Для частном случая идеального диффузионного отражения от стенки (  v  1 ) в[7] приведено сравнение коэффициентов A1 и A2, предложенных в различныхисточниках [9,18,19,20]. Существенные различия в основном видны длявыражений граничный условий 2-го порядка.С другой стороны, следует отметить, что некоторые модели сграничными условиями 2-го порядка, полученные как производные от простогоусловия Максвелла, приводят к уменьшению скольжения в сравнении смоделями 1-го порядка, тогда как другие модели, наоборот, к увеличению.Последние указанные модели основаны на физическом подходе к поведениюгаза вблизи стенки в соответствии с экспериментальными данными.

P.Lalonde[21] провел измерения расхода газа в микроканалах, которые помогли косвенно30установить, что в моделях с граничными условия 1-го порядка недооцениваетсяскольжение. Модель с граничными условиями 2-го порядка, предложеннымиDeissler [22], хорошо согласуется с измерениями до чисел Кнудсена около 0,25,что также было подтверждено Maurer [23].Основной сложностью при использовании данной модели являетсяопределение коэффициентов аккомодации.

Также следует отметить, чторешений уравнений Навье-Стокса с граничными условиями 2-го порядка можетвесьма проблематичным для сложных геометрических структур, причемсложности вызывают как поиск аналитического, так и численного решения.Методы, которые используются для численного моделирования газовыхпотоков, зависят от степени разряжения. Таким образом, для вязкостногорежима течения (сплошная среда) численное решение уравнений Навье-Стоксатрадиционными методами (метод конечных разностей, метод конечныхобъемов, спектральные методы и т.д.) не представляет сложностей. Для режимаскольжения 103  Kn  101данный подход все еще действителен, нонеобходимо учитывать граничные условия скольжения на стенке канала.Karniadakis и Beskok [18] разработали спектральный алгоритм «μflow»,позволяющий применять уравнения Навье-Стокса для моделирование газовыхпотоков в вязкостном режиме и режиме скольжения.При увеличении разрежения газового потока (Kn>10-1) необходимоперейти к молекулярному подходу.

Для моделирования потока в этом случаеможет быть использовано уравнение Больцманаfff v  F  Q( f , f *) ,txvкотороеописываетпространственно-временную(1.4)эволюциюфункциираспределения скоростей f ( x, v, t ) , где x – координата, v – скорость молекул, F– внешние силы в объеме. Второй член уравнения связан с межмолекулярными31столкновениями, которые предполагаются бинарными и мгновенными. Этоуравнение справедливо независимо от степени разрежения, так как допущениелокального термодинамического равновесия здесь не используется.

Однакоинтегрирование выражения Q( f , f *) является очень сложным в общем случае[18] из-за нелинейности и большого числа независимых переменных. Прямоечисленное решение этого уравнения возможно только для задач с простойгеометрией или в случаях, когда степень разрежения позволяет значительноупроститьзадачу.Членуравнения,описывающиймежмолекулярныестолкновения, обращается в нуль, что имеет место в свободном молекулярномрежиме.Аналогично,когдаKn→0,уравнениеможетбытьрешенополуаналитическим методом моментов Грэда [24] или Чепмена-Энского [19].Следует отметить, что его численное решение в переходном режиме возможнотолько приближенными методами, основанными на упрощении интеграла,описывающего межмолекулярные столкновения. В работе [25] Шарипов иСелезнев дают описание различных используемых методов (уравнение БГК[26], линеаризованное уравнение Больцмана [27] и др.) и области ихприменения.Проблемы описания течения газа в переходном режиме при егомоделировании, основываясь на МКТ [64], связана со сложностями прирешении уравнения Больцмана или построения имитационной моделиблуждания молекул [65-67].Молекулярные методы моделирования, действительно, соответствуютпереходномурежимутечениягаза.Методпрямогостатистическогомоделирования [79, 83], разработанный Бердом [28], изначально широкоиспользовалсядлярасчетапотоковразреженныхгазов[29-31].Егомодификации, метод частиц в ячейках [54] и метод крупных частиц [54, 80]Принцип численного эксперимента состоит в расщеплении физическихпроцессов межмолекулярных столкновений и движения частиц на временном32шаге  t .

Моделируемая среда заменяется системой из конечного числа Wчастиц, распределенных по ячейкам неподвижной сетки [32].Ю.М. Печатников разработал статистическую модель для определенияпроводимости элементов вакуумных систем в переходном режиме течения газа[63].

Для исследования проводимости использован подход, комбинирующийвакуумнуюгазовуюдинамику(макро-параметрысистем)исредниххарактеристик набора молекул откачиваемого газа (мезо-параметров) [68, 78],которые отражают поведение молекул на микроуровне на базе кинетическойтеории флуктуаций [69, 70] и теории хаоса [71,72]. Газодинамические процессыв вакууме математически описаны на основе мезо-параметров.

Проводимости ивероятности прохождения молекул через вакуумную систему вычисляютсястатистическим методом моделирования течения РГ, методом Монте-Карло дляимитации блуждания «среднестатистических» молекул [73, 78] в вакуумнойсистеме.Имитационнаямезо-модельдвижения«среднестатистических»молекул соответствует физике течения разреженного газа [67]. Данная модельпозволяет определить проводимости вакуумных систем в переходном режиметечения газа, но в ней не рассматривалось взаимодействие молекул РГ снаправленным потоком частиц металлического пара, а также сорбционныепроцессы на поверхности канала и в металлическом паре.В работе [33] приведено аналитическое описание течения разреженногогаза в канале с продольным градиентом температуры в широком диапазонечисел Кнудсена.