Fxyz (Лекции), страница 2

Áóäåì íàçûâàòü ñêàëÿðíóþ ÔÍÏ f (x1 , . . . , xn ) ýëåìåíòàðíîé,åñëè åå çíà÷åíèÿ ïîëó÷àþòñÿ èç x1 ,. . . ,x√n è êîíñòàíò çà êîíå÷íîå ÷èñëî øàãîâ ÷åðåçàðèôìåòè÷åñêèå äåéñòâèÿ è ôóíêöèè k x, ex , ln x, sin x è arctg x. Âåêòîðíàÿ ÔÍÏýëåìåíòàðíàÿ, åñëè ýëåìåíòàðíû âñå åå êîîðäèíàòíûå ôóíêöèè.Ýëåìåíòàðíàÿ ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà âî âñåõ òî÷êàõ D(f )(äîêàçûâàåòñÿ èíäóêöèåé ïî ÷èñëó øàãîâ åå ïîñòðîåíèÿ).Åñëè ÔÍÏ íåïðåðûâíà â òî÷êå A, òî îíà â íåé íåïðåðûâíà ïî ëþáîé êîîðäèíàòåïðè ôèêñèðîâàííûõ îñòàëüíûõ êîîðäèíàòàõ. Îäíàêî, îáðàòíîå íåâåðíî, êàê ïîêàçûâàåò ñëåäóþùèéÏðèìåð 2.1.

 êàæäîé òî÷êå (x; y) ∈ R2 ôóíêöèÿ2xyïðè (x; y) 6= (0; 0)f (x; y) =x2 + y 20ïðè x = y = 0íåïðåðûíà ïî x ïðè ôèêñèðîâàííîì y è íåïðåðûâíà ïî y ïðè ôèêñèðîâàííîì x. Íîîíà ðàçðûâíà â òî÷êå O = (0; 0).2xy, åå îáëàñòüx2 + y 2îïðåäåëåíèÿ D(fo ) = R2 \{O}, íà êîòîðîé îíà ñîâïàäàåò ñ f . Îíà íåïðåðûâíà âêàæäîé òî÷êå (x; y) 6= O =⇒ f òàêæå íåïðåðûâíà â (x; y) 6= O, ïîñêîëüêó â îïðåäåëåíèèïðåäåëà ïî Êîøè âñåãäà ìîæíî âûáèðàòü δ < %((x; y), O). òî÷êå O ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà ïî x ïðè ôèêñèðîâàííîì y = 0 è ïî y ïðèôèêñèðîâàííîì x = 0.

Íî êàê ÔÍÏ îíà ðàçðûâíà â O, è ðàçðûâ íåóñòðàíèì: ìîæíîïîñòðîèòü äâå ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê, ñõîäÿùèåñÿ ê O, íî èìåþùèå ðàçíûå ïðåäåëû:Äîêàçàòåëüñòâî. Ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíóþ ôóíêöèþ fo (x; y) =Ak = (1/k; 1/k) → O, f (Ak ) = 1;Bk = (1/k; 0) → O, f (Ak ) = 0.5Îòîáðàæåíèÿ ìíîæåñòâÎïðåäåëåíèå 2.5. Ïóñòü D(f ) ⊂ Rn , ôóíêöèÿ f ïðèíèìàåò çíà÷åíèÿ â Rm .1) Îáðàçîì ìíîæåñòâà S ⊂ D(f ) ïîä äåéñòâèåì f íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîf (S) = {f (A) : A ∈ S} ⊂ Rm .2) Ïðîîáðàçîì ìíîæåñòâà T ⊂ Rm íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâîf −1 (T ) = {A ∈ D(f ) : f (A) ∈ T }.Îïðåäåëåíèå 2.6. Ìíîæåñòâî S ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ ñâÿçíûì, åñëè äëÿ ëþáûõ äâóõòî÷åê A, B ∈ S íàéäåòñÿ êðèâàÿ ` ⊂ S : A, B ∈ `. îäíîìåðíîì ñëó÷àå S ñâÿçíî ⇐⇒ S ïðîìåæóòîê.Òåîðåìà 2.1.

Åñëè ìíîæåñòâî S ⊂ Rn ñâÿçíî è ôóíêöèÿ f : S 7→ Rm íåïðåðûâíàâ êàæäîé òî÷êå S , òî îáðàç f (S) ñâÿçíîå ìíîæåñòâî â Rm .  ÷àñòíîñòè, äëÿñêàëÿðíîé f f (S) ïðîìåæóòîê.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü X , Y ∈ f (S). Òîãäà X = f (A), Y = f (B), A, B ∈ S .Ñîåäèíèì A è B êðèâîé ` ⊂ S , ïóñòü ` = {P (t) : 0 ≤ t ≤ 1}, P (t) íåïðåðûâíàíà [0; 1]; P (0) = A, P (1) = B . Òîãäà ôóíêöèÿ Q(t) = f ◦ P (t) òîæå íåïðåðûâíà,êðèâàÿ f (`) = {Q(t) : 0 ≤ t ≤ 1} ëåæèò â f (S) è ñîäåðæèò òî÷êè X è Y .Ñëåäñòâèå 2.2.

Åñëè ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ íåïðåðûâíà íà ñâÿçíîì ìíîæåñòâå S èíå îáðàùàåòñÿ íà íåì â 0, òî îíà ñîõðàíÿåò çíàê íà S .Òåîðåìà 2.2. Åñëè ìíîæåñòâî K ⊂ Rn êîìïàêòíî è ôóíêöèÿ f : K 7→ Rm íå-ïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå K , òî f (K) êîìïàêò â Rm (çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî). ÷àñòíîñòè, ñêàëÿðíàÿ íåïðåðûâíàÿ f îãðàíè÷åíà íà K è äîñòèãàåò íà íåì ìèíèìóì è ìàêñèìóì.Äîêàçàòåëüñòâî.

Ïóñòü {Bk = f (Ak )} ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê â f (K). Èç ïîñëåäîâàòåëüíîñòè Ak ∈ K âûáåðåì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü Akj , ñõîäÿùóþñÿ ê òî÷êåAo ∈ K . Òîãäà Bkj → f (Ao ) ∈ f (K) ïðè j → ∞.Òåîðåìà 2.3. Åñëè D(f ) = Rn , f : Rn 7→ Rm íåïðåðûâíà â êàæäîé òî÷êå, òîïðîîáðàçû îòêðûòûõ ìíîæåñòâ îòêðûòûå, à ïðîîáðàçû çàìêíóòûõ çàìêíóòûå.Äîêàçàòåëüñòâî. Èç íåïðåðûâíîñòè ïî Êîøè ñëåäóåò, ÷òî åñëè Y âíóòðåííÿÿòî÷êà ìíîæåñòâà G ⊂ Rm (∃ε > 0: Uε (Y ) ⊂ G), è åñëè A ∈ f −1 (Y ), òî ∃δ > 0:Uδ (A) ⊂ f −1 (G).

Çíà÷èò, åñëè G îòêðûòî, òî f −1 (G) ⊂ Rn òàêæå îòêðûòî. Äëÿçàìêíóòûõ ìíîæåñòâ âñïîìíèì çàìå÷àíèå 1.1 è òî, ÷òî ïðîîáðàç äîïîëíåíèÿ =äîïîëíåíèå ïðîîáðàçà.Ïðèìåðû: {(x; y) : x2 − y 2 > 1} îòêðûòîå (ïðîîáðàç (1; +∞));{(x; y) : x2 − y 2 = 1} çàìêíóòîå (ïðîîáðàç îäíîòî÷å÷íîãî ìíîæåñòâà).63Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñêàëÿðíûõ ÔÍÏÏóñòü D(f ) ⊂ Rn ; A = (x1 , . . . , xn ) âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(f ).  îòëè÷èå îò ôóíêöèèîäíîãî ïåðåìåííîãî, òåïåðü ïðèðàùåíèå àðãóìåíòà âåêòîð, ïîýòîìó âîçìîæíûðàçíûå îïðåäåëåíèÿ ïðîèçâîäíûõ.Îïðåäåëåíèå 3.1. ×àñòíîé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f â òî÷êå A ïî i-îé ïåðåìåííîé íàçûâàåòñÿ ïðåäåë∂ff (At ) − f (A)(A) = limt→0∂xit~ t = t~ei ),(ãäå AA∂f ïðîèçâîäíàÿ ïî ïåðåìåííîé xi ïðè∂xiôèêñèðîâàííûõ îñòàëüíûõ n − 1 ïåðåìåííûõ.åñëè îí ñóùåñòâóåò.

Äðóãèìè ñëîâàìè,Ýòî îïðåäåëåíèå ÿâëÿåòñÿ ÷àñòíûì ñëó÷àåì ñëåäóþùåãî:Îïðåäåëåíèå 3.2. Ïóñòü ~v âåêòîð ñ íîðìîé 1. Ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà ïîíàïðàâëåíèþ ~v â òî÷êå A, åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë∂ff (At ) − f (A)(A) = limt→0∂~vt~ t = t~v ),(ãäå AAíàçûâàåìûé ïðîèçâîäíîé ôóíêöèè f ïî íàïðàâëåíèþ ~v .Íî ãëàâíîå îïðåäåëåíèå òàêîâî:Îïðåäåëåíèå 3.3. Ïóñòü A âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(f ). Ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A, åñëè ñóùåñòâóåò òàêîé âåêòîð-ñòðîêà g , ÷òî ïðè P → A~ + o(|AP~ |).f (P ) − f (A) = g · APÂåêòîð g íàçûâàåòñÿ ãðàäèåíòîì f â òî÷êå A è îáîçíà÷àåòñÿ g = ∇f (A).Èçó÷èì ñâÿçü ýòèõ îïðåäåëåíèé ìåæäó ñîáîé è ñ íåïðåðûâíîñòüþ ôóíêöèè.Òåîðåìà 3.1.

Åñëè ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A = (x1 , . . . , xn ), òî îíàíåïðåðûâíà â A è äèôôåðåíöèðóåìà ïî ëþáîìó íàïðàâëåíèþ â A, ïðè ýòîì ãðàäèåíòðàâåí∂f∂f∇f (A) =(A), . . . ,(A) ,∂x1∂xnà ïðîèçâîäíàÿ ïî íàïðàâëåíèþ ~v ðàâíà∂f(A) = ∇f (A) · ~v .∂~v7Äîêàçàòåëüñòâî. Ïóñòü Ur (A) ⊂ D(f ). Îáîçíà÷èì g = ∇f (A). Ïðè P → A èìååì~ | + o(|AP~ |) → 0, ïîýòîìó f íåïðåðûâíà â òî÷êå A. Ïóñòü òåïåðü|f (P ) − f (A)| = |g · AP~ t = t~v , |t| < r. Âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ f ïî íàïðàâëåíèþ ~v :Pt òàêàÿ òî÷êà, ÷òî APnX∂ff (Pt ) − f (A)g · t~v + o(t)(A) = lim= lim= g · ~v =gi vi .t→0t→0∂~vtti=1Ïîäñòàâèâ â êà÷åñòâå ~v j -é áàçèñíûé âåêòîð ~ej , ïîëó÷àåì∂f(A) = g · ~ej = gj .∂xjÒàêèì îáðàçîì, ãðàäèåíò è ïðîèçâîäíûå ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì âû÷èñëÿþòñÿ÷åðåç ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå.

Ho ñóùåñòâîâàíèå ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ (è äàæå ïðîèçâîäíûõ ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì) íå ãàðàíòèðóåò äèôôåðåíöèðóåìîñòü ôóíêöèè (èäàæå íåïðåðûâíîñòü):Ïðèìåð 3.1. Ðàññìîòðèì ôóíêöèþ 2 ïåðåìåííûõf (x, y) =ψ(y/x2 ) ïðè x 6= 0ãäå ψ(u) =0ïðè x = 0sin2 u ïðè 0 < u < π0èíà÷å. òî÷êå O = (0; 0) ôóíêöèÿ f èìååò ïðîèçâîäíûå ïî âñåì íàïðàâëåíèÿì, ðàâíûå0. Äåéñòâèòåëüíî, f (x, y) îòëè÷íà îò 0 ëèøü íà îòêðûòîì ìíîæåñòâå U , ëåæàùåììåæäó îñüþ Ox è ïàðàáîëîé y = πx2 . Îñè Ox è Oy íå ïåðåñåêàþò U ; äðóãèå ïðÿìûå,ïðîõîäÿùèå ÷åðåç òî÷êó O, ïåðåñåêàþò U íà íåêîòîðîì ðàññòîÿíèè îò O.Îäíàêî, ôóíêöèÿ f (x, y) ðàçðûâíà â O: åñëè âçÿòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê Ak =(1/k; π/2k 2 ), òî Ak → O, íî f (Ak ) = 1 → 1 6= f (O).Òåîðåìà 3.2. (äîñòàòî÷íîå óñëîâèå äèôôåðåíöèðóåìîñòè) Åñëè ñóùåñòâóåòòàêîå r > 0, ÷òî â êàæäîé òî÷êå îêðåñòíîñòè Ur (A) ôóíêöèÿ f èìååò âñå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå, è îíè íåïðåðûâíû â òî÷êå A, òî ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â A.Äîêàçàòåëüñòâî.

Äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé ðàññìîòðèì ñëó÷àé n = 2. Ïóñòü A =(xo , yo ). Ïîñêîëüêó ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå f íåïðåðûâíû â òî÷êå A, äëÿ ëþáîãî ε > 0ìîæíî òàê ïîäîáðàòü δ ∈ (0; r], ÷òî ∂f ∂f∂f∂f , (P ) − < ε ∀ P ∈ Uδ (A). (P ) −(A)(A) ∂y ∂x∂x∂yÏóñòü P = (x1 , y1 ) ∈ Uδ (A). Âîçüìåì âñïîìîãàòåëüíóþ òî÷êó B = (x1 , yo ), îíà òàêæåëåæèò â Uδ (A). Âûðàçèì f (P ) − f (A) ïî òåîðåìå Ëàãðàíæà, ôèêñèðóÿ ïåðåìåííûåïîî÷åðåäíî: ∂f∂ff (B) − f (A) + f (P ) − f (B) =(C) · (x1 − xo ) +(D) · (y1 − yo ),∂x∂y8÷òî îòëè÷àåòñÿ îò âûðàæåíèÿ∂f∂f~(A) · (x1 − xo ) +(A) · (y1 − yo ) = g · AP∂x∂yíà âåëè÷èíó, ïî ìîäóëþ íå ïðåâûøàþùóþ ∂f~ | < 2ε|AP~ |. (C) − ∂f (A) + ∂f (D) − ∂f (A) |AP ∂x∂x∂y∂yÏîñêîëüêó ε → 0 ïðè δ → 0, ìû ïîëó÷àåì~ + o(|AP~ |) ïðè P → A,f (P ) − f (A) = g · APãäå êîìïîíåíòû âåêòîðà g ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå ôóíêöèè f â òî÷êå A.

Òàêèìîáðàçîì, f äèôôåðåíöèðóåìà â A, è åå ãðàäèåíò â A ðàâåí âåêòîðó g .pÏðèìåð 3.2. Ôóíêöèÿ f (x, y) = x2 + 2y 2 îïðåäåëåíà íà âñåé ïëîñêîñòè R2 . Âòî÷êå O = (0; 0) îíà íå èìååò ÷àñòíûõ ïðîèçâîäíûõ.  ëþáîé äðóãîé òî÷êå (x; y)∂ p 2x∂ p 22yèìååìx + 2y 2 = p,x + y2 = p. Îáå ÷àñòíûå ïðî∂x∂yx2 + 2y 2x2 + 2y 2èçâîäíûå ýëåìåíòàðíûå ôóíêöèè =⇒ pîíè íåïðåðûâíû íà âñåé îáëàñòè îïðåäåëåíèÿ(íà R2 \{O}). Ñëåäîâàòåëüíî, f (x, y) = x2 + 2y 2 äèôôåðåíöèðóåìà âî âñåõ òî÷êàõýòîé îáëàñòè.Ãåîìåòðè÷åñêèé ñìûñë ãðàäèåíòà.

Åñëè ~v åäèíè÷íûé âåêòîð, òî ïðîèçâîäíàÿïî åãî íàïðàâëåíèþ ðàâíà∂f(A) = ∇f (A) · ~v = |∇f | · cos(~v\, ∇f ).∂~vÈç ýòîé ôîðìóëû âèäíî, ÷òî ìàêñèìàëüíîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé ïî íàïðàâëåíèþ(ðàâíîå íîðìå ãðàäèåíòà) äîñòèãàåòñÿ â òîì ñëó÷àå, êîãäà ~v ñîíàïðàâëåí ãðàäèåíòó.Òàêèì îáðàçîì, âåêòîð ãðàäèåíòà íàïðàâëåí â ñòîðîíó ìàêñèìàëüíîé ñêîðîñòèðîñòà ôóíêöèè è ïî íîðìå ðàâåí ýòîé ñêîðîñòè.Îïðåäåëåíèå 3.4. Åñëè ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ f (x1 , .