Fxyz (Лекции), страница 6

Íàïðàâëÿþùèé äëÿ TA : ∂F /∂x ∂F /∂y ∂F /∂z ∂G/∂x ∂G/∂y ∂G/∂z Ïðèìåð 10.4. Ðàññìîòðèì êðèâóþ èç ïðèìåðà 9.3. Äàíà ñèñòåìà óðàâíåíèéF (x, y, z)G(x, y, z)=x2 + y 2 + z 2 − 4x2 − 2x + y 2=00.√∇F (A) = òî÷êå√ A(1; 1; 2) áàçèñîì íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè áóäåò ïàðà âåêòîðîâ√(2; 2; 2 2) è ∇G(A) = (0; 2; 0). Èõ âåêòîðíîå ïðîèçâåäåíèå ðàâíî 4(− 2; 0; 1), îòñþäàïîëó÷àåì óðàâíåíèÿ íîðìàëüíîé ïëîñêîñòè è êàñàòåëüíîé:√ √√y−1x−1z− 2√ =NA = {− 2(x − 1) + (z − 2) = 0};TA ==.01− 22911Óñëîâíûå ýêñòðåìóìûÎïðåäåëåíèå 11.1. Ïóñòü Ω ⊂ Rn îòêðûòîå ìíîæåñòâî, f : Ω 7→ R; u: Ω 7→ Rk ,1 ≤ k < n.

Ïóñòü A ∈ Ω, u(A) = ~0. Ãîâîðÿò, ÷òî A òî÷êà óñëîâíîãî ìàêñèìóìà (ïðè óñëîâèè u = ~0), åñëèo∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) ∩ {u = ~0}f (P ) < f (A);òî÷êà óñëîâíîãî ìèíèìóìà, åñëèo∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) ∩ {u = ~0}f (P ) > f (A);òî÷êà íåñòðîãîãî óñëîâíîãî ìàêñèìóìà, åñëèo∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) ∩ {u = ~0}f (P ) ≤ f (A);òî÷êà íåñòðîãîãî óñëîâíîãî ìèíèìóìà, åñëèo∃ε > 0 : ∀P ∈ U ε (A) ∩ {u = ~0}f (P ) ≥ f (A).Äàëåå áóäåì ïðåäïîëàãàòü, ÷òî ôóíêöèÿ u äèôôåðåíöèðóåìà è èìååò íåïðåðûâíûå ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå â Ω, ïðè÷åì ðàíã ìàòðèöû Ju âñþäó ðàâåí k (â ñëó÷àåk = 1 ýòî îçíà÷àåò ∇u 6= ~0). Òîãäà ìíîæåñòâî Σ = Ω ∩ {u = ~0} ñîñòîèò èç Ã(n − k)ÌÏïî òåîðåìå 10.2.Íåîáõîäèìûå óñëîâèÿ óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà.

Ôóíêöèè ËàãðàíæàÒåîðåìà 11.1. Ïóñòü A ∈ Σ. Ïóñòü ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A. ÅñëèA òî÷êà (íåñòðîãîãî) óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, òî ñóùåñòâóþò λ1 , . . . , λk :∇f (A) =kXλi ∇ui (A).i=1Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó âåêòîðà ∇u1 (A), . . . ,∇uk (A) îáðàçóþò áàçèñ ïëîñêîñòèNA , íàì íóæíî äîêàçàòü, ÷òî ∇f (A) ∈ NA . Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî íå òàê. Òîãäàíàéäåòñÿ êàñàòåëüíûé âåêòîð ~τ : ∇f (A) · ~τ > 0. Ïóñòü ãëàäêàÿ êðèâàÿ ` = {~r(t) :d|t| < 1} ⊂ Σ; ~r(0) = A; ~r(0) = ~τ . Òîãäà äëÿ ñëîæíîé ôóíêöèè f ◦ ~r ïîëó÷àåì:dtdd~rf (~r(t)) = ∇f (~r(0)) · (0) = ∇f (A) · ~τ > 0.dtdtt=0Ñëåäîâàòåëüíî, ∃ε ∈ (0; 1]: f (~r(t)) > 0 ïðè 0 < t < ε, f (~r(t)) < 0 ïðè −ε < t < 0. Íîïîñêîëüêó ~r(t) ∈ Σ, òî÷êà A íå ìîæåò áûòü (íåñòðîãèì) óñëîâíûì ýêñòðåìóìîì.Ñëåäñòâèå 11.1. Ïóñòü A ∈ Σ; ôóíêöèÿ f äèôôåðåíöèðóåìà â òî÷êå A.

Åñëè A òî÷êà (íåñòðîãîãî) óñëîâíîãî ýêñòðåìóìà, òî ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ËàãðàíæàL(x1 , . . . , xn ) = f (x1 , . . . , xn ) −kXi=1òàêàÿ, ÷òî ∇L(A) = ~0. Î÷åâèäíî, L = f íà Σ.30λi ui (x1 , . . . , xn ),Ïðèìåð 11.1. Íàéäåì óñëîâíûå ýêñòðåìóìû ôóíêöèè f (x, y) = y/x ïðè óñëîâèè√u(x, y) = x2 + y 2 − 6x − 2y + 5 = 0. Çäåñü Ω = {x > 0}; Σ îêðóæíîñòü ðàäèóñàñ öåíòðîì (3; 1). Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèäL(x, y) =5y− λ(x2 + y 2 − 6x − 2y + 5).xÐåøàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé:~∇L(x, y) = 0⇐⇒u(x, y) = 0−y/x2 − λ(2x − 6) = 01/x − λ(2y − 2) = 0x2 + y 2 − 6x − 2y + 5 = 0(1)(2)(3)−1Èç (2) =⇒ λ = 2x(y − 1) . Äîìíîæèì (1) íà x, ïîäñòàâèâ λ:−x−3y==⇒ −y(y − 1) = x(x − 3) ⇐⇒ x2 + y 2 − 3x − y = 0.xy−1Âû÷òÿ îòñþäà (3), ïîëó÷èì y = 5 − 3x.

Ïîäñòàâèâ òàêîé y â (3), ïîëó÷èì 10x2 − 30x +20 = 0 =⇒ x1 = 1, x2 = 2. Èòàê, íàéäåíû äâå òî÷êè: A(1; 2), B(2; −1).Ïîñêîëüêó Σ êîìïàêò, minΣ f è maxΣ f äîëæíû äîñòèãàòüñÿ. Ñðàâíèâ çíà÷åíèÿf (A) è f (B), ïîëó÷àåì, ÷òî A òî÷êà óñëîâíîãî ìàêñèìóìà, B òî÷êà óñëîâíîãîìèíèìóìà.1Åñëè ìû âû÷èñëèì λ =, òî ïîëó÷èì λ = 1/2 äëÿ A è λ = −1/8 äëÿ2x(y − 1)B . Òàê ÷òî äëÿ îäíèõ è òåõ æå f è u ìîãóò áûòü ðàçíûå ôóíêöèè Ëàãðàíæà, ñîîòâåòñòâóþùèå ðàçíûì êðèòè÷åñêèì òî÷êàì.Ïðèìåð 11.2.  ýëëèïñîèä {x2 +2y 2 +5z 2 = 1} âïèñàòü ïðÿìîóãîëüíûé ïàðàëëåëåïèïåäñ ðåáðàìè, ïàðàëëåëüíûìè êîîðäèíàòíûì îñÿì, èìåþùèé ìàêñèìàëüíóþ ïëîùàäüïîâåðõíîñòè.Ðåêîìåíäóþ ðàññìîòðåòü íà ñåìèíàðå.Îòâåò: Smax = 1.Äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿ óñëîâíîãî ýêñòðåìóìàÒåîðåìà 11.2.

Ïóñòü f , u äâàæäû äèôôåðåíöèðóåìû â îêðåñòíîñòè òî÷êè A, èâòîðûå ÷àñòíûåïðîèçâîäíûå íåïðåðûâíû â A. Ïóñòü ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿ ËàãðàíæàPL = f − ki=1 λi ui , òàêàÿ, ÷òî ∇L(A) = ~0. Îáîçíà÷èì H = HL (A). Òîãäà:311. Åñëè äëÿ ∀ êàñàòåëüíîãî âåêòîðà ~τ 6= ~0 ~τ T ·H·~τ > 0, òî A óñëîâíûé ìèíèìóì;2. Åñëè ∀~τ 6= ~0 ~τ T · H · ~τ < 0, òî A óñëîâíûé ìàêñèìóì;3.

Åñëè ∀~τ ~τ T ·H·~τ ≥ 0, ∃~τ ~τ T ·H·~τ > 0, òî A (íåñòðîãèé) óñëîâíûé ìèíèìóìèëè óñëîâíàÿ ñåäëîâàÿ òî÷êà;4. Åñëè ∀~τ ~τ T · H · ~τ ≤ 0, ∃~τ : ~τ T · H · ~τ < 0, òî A (íåñòðîãèé) óñëîâíûéìàêñèìóì èëè óñëîâíàÿ ñåäëîâàÿ;5. Åñëè ∃~τ1 , ~τ2 : ~τ1T · H · ~τ1 < 0 < ~τ2T · H · ~τ2 , òî A óñëîâíàÿ ñåäëîâàÿ;6. Åñëè ∀~τ ~τ T · H · ~τ = 0, òî âîçìîæíû âñå ñëó÷àè.Äîêàçàòåëüñòâî. Ïîñêîëüêó L = f íà ïîâåðõíîñòè Σ, ìû áóäåì ðàññìàòðèâàòüôóíêöèþ L âìåñòî f . Ïî òåîðåìå 10.1 â îêðåñòíîñòè òî÷êè A ìîæíî ïðåäñòàâèòük ïåðåìåííûõ xj1 ,.

. . ,xjk (äëÿ ïðîñòîòû îáîçíà÷åíèé ïðåäïîëîæèì, ÷òî ýòî x1 ,. . . ,xk )êàê äèôôåðåíöèðóåìûå ôóíêöèè îò îñòàëüíûõ n − k ïåðåìåííûõ. Òîãäà óðàâíåíèåêàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè TA áóäåò âûãëÿäåòü òàê:nX∂xj 0x j − aj =(A )(xi − ai ),∂xii=k+11 ≤ j ≤ k < i ≤ n.o~ , ò.e. ∀ε > 0 ∃δ > 0: åñëè X ∈ Σ ∩ U δ (A), òîÑëåäîâàòåëüíî, %(X, TA ) = o(|AX|)~ .%(X, TA ) < ε|AX|Îáîçíà÷èì H = HL (A).

Âûïèøåì ôîðìóëó Òåéëîðà äëÿ ôóíêöèè L, ó÷èòûâàÿ, ÷òî∇L(A) = ~0:1 ~ T~ + o(|AX|~ 2 ).L(X) − L(A) = AX· H · AX2Ïóñòü Y îðòîãîíàëüíàÿ ïðîåêöèÿ òî÷êè X íà ïëîñêîñòü TA . Òîãäà ïðè X → A~ | ∼ |AX|~ , |Y~X| = o(|AX|)~ , è ïîëó÷àåìèìååì |AY1 ~~ + Y~X) + o(|AX|~ 2) =L(X) − L(A) = (AY+ Y~X)T · H · (AY21 ~ T~ 2) =~ + AY~ T · H · Y~X + 1 Y~X T · H · Y~X + o(|AX|= AY· H · AY| {z } 2 |{z}2~o(|AX|)~ 2)o(|AX|1 ~ T~ + o(|AY~ |2 ).= AY· H · AY2Pàññìîòðèì êâàäðàòè÷íóþ ôîðìó, ïîðîæäåííóþ H íà (n − k)-ìåðíîé ïëîñêîñòè TA ;åå ñîáñòâåííûå çíà÷åíèÿ îáîçíà÷èì â ïîðÿäêå âîçðàñòàíèÿ µ1 , . . . , µn−k (ýòè çíà÷åíèÿíå îáÿçàíû áûòü ïîäìíîæåñòâîì ñîáñòâåííûõ çíà÷åíèé H íà Rn ).o1~ |2 + o(|AY~ |2 ) > 0 ïðè ∀X ∈ U δ (A) ∩ Σ äëÿ1.

Åñëè µ1 > 0, òî L(X) − L(A) ≥ µ1 |AY2íåêîòîðîãî δ > 0, ò. e. A òî÷êà óñëîâíîãî ìèíèìóìà.322. Ñëó÷àé µn−k < 0 ðàññìàòðèâàåòñÿ àíàëîãè÷íî.3. Åñëè µ1 = 0, íî µn−k = L > 0, òî âûáåðåì åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ~τ , äëÿêîòîðîãî ~τ T · H · ~τ = L, è ðàññìîòðèì ãëàäêóþ êðèâóþ ` = {Xt : |t| < 1} ⊂ Σ;d~ t = t~τ , òîãäà |Yt~Xt | = o(t).X0 = A; Xt (0) = ~τ .

Ïóñòü Yt ∈ TA òàêàÿ òî÷êà, ÷òî AYdtÏîëó÷àåìL(Xt ) − L(A) =Tt2 T1~τ · H · ~τ + t ~τ T · H · Yt~Xt + Yt~Xt · H · Yt~Xt + o(t2 ){z}| {z } 2 |2o(t2 )o(t)= t2 (L/2 + o(1)) > 0 ïðè |t| < δ . Ñëåäîâàòåëüíî, â òî÷êå A íåâîçìîæåí (íåñòðîãèé)óñëîâíûé ìàêñèìóì.4. Åñëè µn−k = 0, íî µ1 < 0, òî àíàëîãè÷íûå ðàññóæäåíèÿ ïîêàçûâàþò, ÷òî íåâîçìîæåí(íåñòðîãèé) óñëîâíûé ìèíèìóì.5. Åñëè µ1 < 0 < µn−k , òî íåâîçìîæåí íèêàêîé (íåñòðîãèé) óñëîâíûé ýêñòðåìóì =⇒òî÷êà óñëîâíàÿ ñåäëîâàÿ.Ïðèìåð 11.3. Èññëåäóåì ôóíêöèþ f (x, y, z) = (x−3)2 +y 2 +z 2 ïðè óñëîâèè u(x, y, z) =x2 + y 2 + 4z 2 − 25 = 0.Ôóíêöèÿ Ëàãðàíæà èìååò âèäL(x, y, z) = (x − 3)2 + y 2 + z 2 − λ(x2 + y 2 + 4z 2 − 25).Ðåøàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé:x − 3 − λx~y − λy∇L(x, y, z) = 0⇐⇒z− 4λzu(x, y, z) = 0 2x + y 2 + 4z 2=0=0=0= 25(1)(2)(3)(4)Åñëè λ = 1, òî (1) íåâûïîëíèìî.Åñëè λ = 1/4, òî x = 4, y = 0, è èç (4) íàõîäèì z = ±3/2.Åñëè 1 6= λ 6= 1/4, òî x = 3/(1 − λ), y = z = 0, òîãäà (4)=⇒ x = ±5; eñëè x = 5, òîλ = 2/5, a åñëè x = −5, òî λ = 8/5.33Íàéäåíî 4 êðèòè÷åñêèå òî÷êè.

Ìàòðèöà Ãåññå ôóíêöèè Ëàãðàíæà ðàâíà2 − 2λ00.02 − 2λ0H=002 − 8λÒî÷êà A(4; 0; 3/2): çäåñü ∇u(A) = (8; 0; 12) =⇒ TA = {2x + 3z =25}, êàñàòåëüíûå2âåêòîðà èìåþò âèä ~τ = (3s; t; −2s). Ïåðåìíîæèì:3/2 0 03s273~τ T · HA · ~τ = (3s; t; −2s)  0 3/2 0   t  = s2 + t2 > 0.2200 0−2sÑëåäîâàòåëüíî, A òî÷êà óñëîâíîãî ìèíèìóìà.Òî÷êà B(4; 0; −3/2) òo æå ñàìîå.Òî÷êà C(5; 0; 0): çäåñü ∇u(C) = (10; 0; 0) =⇒ TC = {x = 5}, êàñàòåëüíûå âåêòîðàèìåþò âèä ~τ = (0; t; s). Ïåðåìíîæèì: 6/5 000ïåðå6 2T20 6/50t = (t − s ) − ìåííîãî~τ · HC · ~τ = (0; t; s)500 −6/5sçíàêà.Ñëåäîâàòåëüíî, C óñëîâíàÿ ñåäëîâàÿ.Òî÷êà D(−5; 0; 0): ïîñêîëüêó λ = 8/5, ìàòðèöà HD îòðèöàòåëüíî îïðåäåëåíà íà âñåìR3 =⇒ è íà TD =⇒ D òî÷êà óñëîâíîãî ìàêñèìóìà.Òåïåðü ðàññìîòðèì çàäà÷ó íà óñëîâíûé ýêñòðåìóì ñ äâóìåðíûì óñëîâèåì.Ïðèìåð 11.4.

Èññëåäîâàòü ôóíêöèþ f (x, y, z) = x+y+z íà ýêñòðåìóì ïðè óñëîâèÿõu(x, y, z) = x2 + y 2 + z 2 − 5 = 0, v(x, y, z) = xyz − 1 = 0 â îáëàñòè x, y, z > 0.Ôóíêöèÿ ËàãðàíæàL(x, y, z) = x + y + z − λ(x2 + y 2 + z 2 − 5) − µ(xyz − 1).34Ðåøàåì ñèñòåìó óðàâíåíèé:1 − 2λx − µyz = 0 1 − 2λy − µxz = 01 − 2λz − µxy = 0x2 + y 2 + z 2 = 5xyz= 1.Äîìíîæèâ ïåðâûå òðè óðàâíåíèÿñîîòâ. íà x, y, z, ïîëó÷èìx − 2λx2 = y − 2λy 2 = z − 2λz 2 = µ.Åñëè λ = 0, òî ïîëó÷èì x = y = z , ÷òî íåâîçìîæíî ïðè óñëîâèè u = v = 0.